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Dunford Pettis Eigenschaft Die nach N Dunford und B J Pettis ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysi

Dunford-Pettis-Eigenschaft

Die Dunford-Pettis-Eigenschaft (nach N. Dunford und B. J. Pettis) ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Eigenschaft von Banachräumen.

Definition Bearbeiten

Die folgende Definition geht auf A. Grothendieck (1953) zurück:

Ein Banachraum hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft, wenn für jeden Banachraum jeder schwach-kompakte lineare Operator bereits vollstetig ist.

Nach der englischen Bezeichnung „Dunford-Pettis-Property“ verwendet man die Abkürzung DPP und sagt kurz, habe oder sei DPP.

Beispiele Bearbeiten

  • Die Folgenräume , und haben die Dunford-Pettis-Eigenschaft, die Folgenräume hingegen nicht.
  • Ist ein endlicher Maßraum, so hat L1 die Dunford-Pettis-Eigenschaft. Dass dies der Fall ist, wurde zuvor von N. Dunford und B. J. Pettis bewiesen und war für Grothendieck die Motivation zur Namensgebung.
  • Ist ein kompakter Hausdorff-Raum, so hat der Banachraum der stetigen Funktionen die Dunford-Pettis-Eigenschaft, wie von Grothendieck bewiesen wurde.
  • Kein unendlich-dimensionaler reflexiver Banachraum hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft.

Eine Charakterisierung Bearbeiten

Für einen Banachraum sind folgende Aussagen äquivalent:

Eigenschaften Bearbeiten

Hat der Dualraum des Banachraums die Dunford-Pettis-Eigenschaft, so auch .

Da als kommutative C*-Algebra von der Form ist mit einem kompakten Hausdorff-Raum (siehe Satz von Gelfand-Neumark), hat nach dem unter den Beispielen erwähnten Satz von Grothendieck die Dunford-Pettis-Eigenschaft. Da und (siehe Artikel Folgenraum), ergibt sich, dass auch und die Dunford-Pettis-Eigenschaft haben.

Gemäß Definition sind alle schwach-kompakten Operatoren auf Räumen mit der Dunford-Pettis-Eigenschaft vollstetig, die Umkehrung muss aber nicht gelten. Beispielsweise hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft und die Identität ist vollstetig, denn wegen der Schur-Eigenschaft sind schwach-kompakte Mengen bereits norm-kompakt. ist aber nicht schwach-kompakt, denn sonst wäre die Einheitskugel bereits schwach-kompakt und wäre reflexiv, was aber nicht der Fall ist.

Quellen Bearbeiten

  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer, New York 1998, ISBN 0-387-98431-3.
  • Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. Springer, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo 1984, ISBN 0-387-90859-5.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Dunford Pettis Eigenschaft nach N Dunford und B J Pettis ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Eigenschaft von Banachraumen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eine Charakterisierung 4 Eigenschaften 5 QuellenDefinition BearbeitenDie folgende Definition geht auf A Grothendieck 1953 zuruck Ein Banachraum X displaystyle X nbsp hat die Dunford Pettis Eigenschaft wenn fur jeden Banachraum Y displaystyle Y nbsp jeder schwach kompakte lineare Operator X Y displaystyle X rightarrow Y nbsp bereits vollstetig ist Nach der englischen Bezeichnung Dunford Pettis Property verwendet man die Abkurzung DPP und sagt kurz X displaystyle X nbsp habe oder sei DPP Beispiele BearbeitenDie Folgenraume c 0 displaystyle c 0 nbsp ℓ 1 displaystyle ell 1 nbsp und ℓ displaystyle ell infty nbsp haben die Dunford Pettis Eigenschaft die Folgenraume ℓ p 1 lt p lt displaystyle ell p 1 lt p lt infty nbsp hingegen nicht Ist W S m displaystyle Omega Sigma mu nbsp ein endlicher Massraum so hat L1 W S m displaystyle Omega Sigma mu nbsp die Dunford Pettis Eigenschaft Dass dies der Fall ist wurde zuvor von N Dunford und B J Pettis bewiesen und war fur Grothendieck die Motivation zur Namensgebung Ist K displaystyle K nbsp ein kompakter Hausdorff Raum so hat der Banachraum C K displaystyle C K nbsp der stetigen Funktionen K C displaystyle K to mathbb C nbsp die Dunford Pettis Eigenschaft wie von Grothendieck bewiesen wurde Kein unendlich dimensionaler reflexiver Banachraum hat die Dunford Pettis Eigenschaft Eine Charakterisierung BearbeitenFur einen Banachraum X displaystyle X nbsp sind folgende Aussagen aquivalent X displaystyle X nbsp hat die Dunford Pettis Eigenschaft Ist x n n displaystyle x n n nbsp eine Folge in X displaystyle X nbsp mit schwachem Grenzwert x displaystyle x nbsp und f n n displaystyle f n n nbsp eine Folge im Dualraum X displaystyle X nbsp mit schwachem Grenzwert f displaystyle f nbsp so gilt f n x n f x displaystyle f n x n to f x nbsp fur n displaystyle n to infty nbsp Ist x n n displaystyle x n n nbsp eine Folge in X displaystyle X nbsp mit schwachem Grenzwert 0 displaystyle 0 nbsp und f n n displaystyle f n n nbsp eine Folge im Dualraum X displaystyle X nbsp mit schwachem Grenzwert 0 displaystyle 0 nbsp so gilt f n x n 0 displaystyle f n x n to 0 nbsp fur n displaystyle n to infty nbsp Eigenschaften BearbeitenHat der Dualraum X displaystyle X nbsp des Banachraums X displaystyle X nbsp die Dunford Pettis Eigenschaft so auch X displaystyle X nbsp Da ℓ displaystyle ell infty nbsp als kommutative C Algebra von der Form C K displaystyle C K nbsp ist mit einem kompakten Hausdorff Raum K displaystyle K nbsp siehe Satz von Gelfand Neumark hat ℓ displaystyle ell infty nbsp nach dem unter den Beispielen erwahnten Satz von Grothendieck die Dunford Pettis Eigenschaft Da c 0 ℓ 1 displaystyle c 0 cong ell 1 nbsp und ℓ 1 ℓ displaystyle ell 1 cong ell infty nbsp siehe Artikel Folgenraum ergibt sich dass auch c 0 displaystyle c 0 nbsp und ℓ 1 displaystyle ell 1 nbsp die Dunford Pettis Eigenschaft haben Gemass Definition sind alle schwach kompakten Operatoren auf Raumen mit der Dunford Pettis Eigenschaft vollstetig die Umkehrung muss aber nicht gelten Beispielsweise hat ℓ 1 displaystyle ell 1 nbsp die Dunford Pettis Eigenschaft und die Identitat i d ℓ 1 displaystyle mathrm id ell 1 nbsp ist vollstetig denn wegen der Schur Eigenschaft sind schwach kompakte Mengen bereits norm kompakt i d ℓ 1 displaystyle mathrm id ell 1 nbsp ist aber nicht schwach kompakt denn sonst ware die Einheitskugel bereits schwach kompakt und ℓ 1 displaystyle ell 1 nbsp ware reflexiv was aber nicht der Fall ist Quellen BearbeitenRobert E Megginson An Introduction to Banach Space Theory Springer New York 1998 ISBN 0 387 98431 3 Joseph Diestel Sequences and Series in Banach Spaces Springer New York Berlin Heidelberg Tokyo 1984 ISBN 0 387 90859 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dunford Pettis Eigenschaft amp oldid 229067566