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Clausius Mossotti Gleichung Die verknüpft die makroskopisch messbare Größe Permittivitätszahl ε r displaystyle varepsilo

Clausius-Mossotti-Gleichung

Die Clausius-Mossotti-Gleichung verknüpft die makroskopisch messbare Größe Permittivitätszahl mit der mikroskopischen (molekularen) Größe elektrische Polarisierbarkeit . Sie ist benannt nach den beiden Physikern Rudolf Clausius und Ottaviano Fabrizio Mossotti und lautet:

Dabei ist

Die Gleichung gilt für unpolare Stoffe ohne permanentes Dipolmoment, d. h., es gibt nur induzierte Dipole (Verschiebungspolarisation). Für Stoffe mit permanenten Dipolen wird die Debye-Gleichung verwendet, die neben der Verschiebungspolarisation auch die Orientierungspolarisation berücksichtigt.

Herleitung Bearbeiten

Die makroskopische Polarisation ist die Summe aller induzierten Dipole geteilt durch das betrachtete Volumen (die Polarisation entspricht einer Dipoldichte):

wobei die Teilchenzahldichte, Polarisierbarkeit, lokale elektrische Feldstärke am Ort des Atoms/Moleküls.

Die makroskopisch messbaren Größen elektrische Suszeptibilität bzw. die Permittivitätszahl stellen den Zusammenhang zwischen der Polarisation und dem E-Feld her:

Man erhält durch Gleichsetzen folgende Gleichung:

Um weiterführende Aussagen machen zu können, muss das lokale Feld bestimmt werden.

Nebenbemerkung: Für verdünnte Gase beeinflussen sich die induzierten Dipole nicht, das lokale Feld ist gleich dem angelegten äußeren Feld    und daraus:

Für ein Dielektrikum höherer Dichte ist das lokale Feld ungleich dem angelegten äußeren Feld, da in der Nähe befindliche induzierte Dipole auch ein elektrisches Feld aufbauen.

Dies ergibt ein lokales E-Feld von:

Eingesetzt in obige Gleichung:

Umstellen liefert:

Bzw. nach aufgelöst:

Nun kann man noch die Teilchendichte durch makroskopisch messbare Größen ausdrücken (Dichte , molare Masse und Avogadrokonstante ):

Einsetzen liefert die Clausius-Mossotti-Gleichung:

Bzw. nach aufgelöst:

Lorentz-Lorenz-Gleichung Bearbeiten

Die Lorentz-Lorenz-Gleichung ist eine andere Form der Clausius-Mossotti-Gleichung, die sich aus dieser ergibt, wenn man das Ergebnis der elektromagnetischen Wellengleichung einsetzt. Die Lorentz-Lorenz-Gleichung hat ihren Namen von dem dänischen Mathematiker und Wissenschaftler Ludvig Lorenz, selbige 1869 publizierte, und dem holländischen Physiker Hendrik Lorentz, der sie unabhängig davon ableitete und 1878 veröffentlichte.

Die Lorentz-Lorenz-Gleichung lautet demnach:

Die Gleichung ist wie die Clausius-Mossotti-Gleichung auch näherungsweise gültig für homogene Festkörper als auch für Flüssigkeiten.

Für die meisten Gase gilt , weshalb sich näherungsweise ergibt, dass

und mit Hilfe von

Diese Formel ist anwendbar für Gase unter Normaldruck. Der Brechungsindex des Gases kann dann mit Hilfe der Molrefraction als

ausgedrückt werden, mit dem Druck des Gases , ist die Gaskonstante, und die (absolute) Temperatur, die zusammen die Teilchenzahldichte bestimmen. Dementsprechend gilt , mit der molaren Konzentration. Setzt man für den komplexen Brechungsindex , mit dem Absorptionsindex , ein, so ergibt sich:

Demgemäß ist der Imaginärteil, also der Absorptionsindex, proportional zur molaren Konzentration

und damit zur Absorbanz. Dementsprechend lässt sich das Beer'sche Gesetz aus der Lorentz-Lorenz-Gleichung ableiten. Die Änderung des Brechungsindex in verdünnten Lösungen ist damit ebenfalls näherungsweise proportional zur molaren Konzentration.

Literatur Bearbeiten

  • Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Lectures on Physics, Volume II. Definitive Edition Auflage. Addison-Wesley, 2005, ISBN 0-8053-9047-2.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Thomas Günter Mayerhöfer, Jürgen Popp: Beyond Beer’s law: Revisiting the Lorentz-Lorenz equation. In: ChemPhysChem. n/a, n/a, 12. Mai 2020, ISSN 1439-4235, doi:10.1002/cphc.202000301.
  2. Thomas G. Mayerhöfer, Alicja Dabrowska, Andreas Schwaighofer, Bernhard Lendl, Jürgen Popp: Beyond Beer's Law: Why the Index of Refraction Depends (Almost) Linearly on Concentration. In: ChemPhysChem. Band 21, Nr. 8, 20. April 2020, ISSN 1439-4235, S. 707–711, doi:10.1002/cphc.202000018.
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Die Clausius Mossotti Gleichung verknupft die makroskopisch messbare Grosse Permittivitatszahl e r displaystyle varepsilon mathrm r mit der mikroskopischen molekularen Grosse elektrische Polarisierbarkeit a displaystyle alpha Sie ist benannt nach den beiden Physikern Rudolf Clausius und Ottaviano Fabrizio Mossotti und lautet P m e r 1 e r 2 M m r N A 3 e 0 a displaystyle P m frac varepsilon mathrm r 1 varepsilon mathrm r 2 frac M m rho frac N mathrm A 3 varepsilon 0 alpha Dabei ist P m displaystyle P m die molare Polarisation ihre Einheit ist die eines molaren Volumens also z B m3 mol M m displaystyle M m die molare Masse in kg mol r displaystyle rho die Dichte in kg m3 N A displaystyle N mathrm A die Avogadrokonstante e 0 8 854 187 812 8 13 10 12 A s V m displaystyle varepsilon 0 8 854 187 812 8 13 cdot 10 12 frac mathrm As mathrm Vm die Dielektrizitatskonstante oder Permittivitat im Vakuum Die Gleichung gilt fur unpolare Stoffe ohne permanentes Dipolmoment d h es gibt nur induzierte Dipole Verschiebungspolarisation Fur Stoffe mit permanenten Dipolen wird die Debye Gleichung verwendet die neben der Verschiebungspolarisation auch die Orientierungspolarisation berucksichtigt Inhaltsverzeichnis 1 Herleitung 2 Lorentz Lorenz Gleichung 3 Literatur 4 EinzelnachweiseHerleitung BearbeitenDie makroskopische Polarisation P displaystyle vec P nbsp ist die Summe aller induzierten Dipole p ind displaystyle vec p text ind nbsp geteilt durch das betrachtete Volumen die Polarisation entspricht einer Dipoldichte P N p ind N a E lokal displaystyle vec P N vec p text ind N alpha vec E text lokal nbsp wobei N displaystyle N nbsp die Teilchenzahldichte a displaystyle alpha nbsp Polarisierbarkeit E lokal displaystyle vec E text lokal nbsp lokale elektrische Feldstarke am Ort des Atoms Molekuls Die makroskopisch messbaren Grossen elektrische Suszeptibilitat x displaystyle chi nbsp bzw die Permittivitatszahl e r displaystyle varepsilon mathrm r nbsp stellen den Zusammenhang zwischen der Polarisation und dem E Feld her P x e 0 E e r 1 e 0 E displaystyle vec P chi varepsilon 0 vec E left varepsilon mathrm r 1 right varepsilon 0 vec E nbsp Man erhalt durch Gleichsetzen folgende Gleichung e r 1 e 0 E N a E lokal displaystyle left varepsilon mathrm r 1 right varepsilon 0 vec E N alpha vec E text lokal nbsp Um weiterfuhrende Aussagen machen zu konnen muss das lokale Feld bestimmt werden Nebenbemerkung Fur verdunnte Gase beeinflussen sich die induzierten Dipole nicht das lokale Feld ist gleich dem angelegten ausseren Feld E lokal E displaystyle vec E text lokal vec E nbsp und daraus e r 1 N e 0 a displaystyle left varepsilon mathrm r 1 right frac N varepsilon 0 alpha nbsp Fur ein Dielektrikum hoherer Dichte ist das lokale Feld ungleich dem angelegten ausseren Feld da in der Nahe befindliche induzierte Dipole auch ein elektrisches Feld aufbauen E lokal E E L displaystyle vec E text lokal vec E vec E text L nbsp E displaystyle vec E nbsp von aussen angelegtes elektrisches Feld auf Dielektrikum Oberflache erzeugtes Polarisationsfeld Entelektrisierungsfeld E L P 3 e 0 displaystyle vec E text L vec P 3 varepsilon 0 nbsp Feld der Polarisationsladungen auf der Oberflache einer fiktiven Kugel um das betrachtete Molekul Lorentzfeld Dies ergibt ein lokales E Feld von E lokal E 1 3 e 0 P E e r 1 e 0 3 e 0 E e r 2 3 E displaystyle vec E text lokal vec E frac 1 3 varepsilon 0 vec P vec E frac left varepsilon mathrm r 1 right varepsilon 0 3 varepsilon 0 vec E frac varepsilon mathrm r 2 3 vec E nbsp Eingesetzt in obige Gleichung e r 1 e 0 E N a e r 2 3 E displaystyle left varepsilon mathrm r 1 right varepsilon 0 vec E N alpha frac varepsilon mathrm r 2 3 vec E nbsp Umstellen liefert e r 1 e r 2 N a 3 e 0 displaystyle frac varepsilon mathrm r 1 varepsilon mathrm r 2 frac N alpha 3 varepsilon 0 nbsp Bzw nach e r displaystyle varepsilon r nbsp aufgelost e r 1 x e 1 3 N a 3 e 0 N a displaystyle varepsilon mathrm r 1 chi e 1 frac 3N alpha 3 varepsilon 0 N alpha nbsp Nun kann man noch die Teilchendichte N displaystyle N nbsp durch makroskopisch messbare Grossen ausdrucken Dichte r displaystyle rho nbsp molare Masse M m displaystyle M m nbsp und Avogadrokonstante N A displaystyle N mathrm A nbsp N N A r M m displaystyle N frac N A rho M m nbsp Einsetzen liefert die Clausius Mossotti Gleichung e r 1 e r 2 M m r N A 3 e 0 a displaystyle frac varepsilon mathrm r 1 varepsilon mathrm r 2 frac M m rho frac N mathrm A 3 varepsilon 0 alpha nbsp Bzw nach e r displaystyle varepsilon mathrm r nbsp aufgelost e r 1 x e 1 3 N A r a 3 M m e 0 N A r a displaystyle varepsilon mathrm r 1 chi e 1 frac 3N mathrm A rho alpha 3M m varepsilon 0 N mathrm A rho alpha nbsp Lorentz Lorenz Gleichung BearbeitenDie Lorentz Lorenz Gleichung ist eine andere Form der Clausius Mossotti Gleichung die sich aus dieser ergibt wenn man das Ergebnis der elektromagnetischen Wellengleichung e r n 2 textstyle varepsilon mathrm r n 2 nbsp einsetzt Die Lorentz Lorenz Gleichung hat ihren Namen von dem danischen Mathematiker und Wissenschaftler Ludvig Lorenz selbige 1869 publizierte und dem hollandischen Physiker Hendrik Lorentz der sie unabhangig davon ableitete und 1878 veroffentlichte Die Lorentz Lorenz Gleichung lautet demnach n 2 1 n 2 2 N a 3 e 0 displaystyle frac n 2 1 n 2 2 frac N alpha 3 varepsilon 0 nbsp Die Gleichung ist wie die Clausius Mossotti Gleichung auch naherungsweise gultig fur homogene Festkorper als auch fur Flussigkeiten Fur die meisten Gase gilt n 2 1 displaystyle n 2 approx 1 nbsp weshalb sich naherungsweise ergibt dass n 2 1 N a e 0 displaystyle n 2 1 approx frac N alpha varepsilon 0 nbsp und mit Hilfe von n 2 1 2 n 1 displaystyle n 2 1 approx 2 n 1 nbsp n 1 N a 2 e 0 displaystyle n 1 approx frac N alpha 2 varepsilon 0 nbsp Diese Formel ist anwendbar fur Gase unter Normaldruck Der Brechungsindex n displaystyle n nbsp des Gases kann dann mit Hilfe der Molrefraction A displaystyle A nbsp als n 1 3 A p R T displaystyle n approx sqrt 1 frac 3Ap RT nbsp ausgedruckt werden mit dem Druck des Gases p displaystyle p nbsp R displaystyle R nbsp ist die Gaskonstante und T displaystyle T nbsp die absolute Temperatur die zusammen die Teilchenzahldichte N displaystyle N nbsp bestimmen Dementsprechend gilt N N A c displaystyle N N mathrm A cdot c nbsp mit c displaystyle c nbsp der molaren Konzentration Setzt man fur n displaystyle n nbsp den komplexen Brechungsindex m n i k displaystyle m n ik nbsp mit dem Absorptionsindex k displaystyle k nbsp ein so ergibt sich m 1 c N A a 2 e 0 displaystyle m approx 1 c frac N mathrm A cdot alpha 2 varepsilon 0 nbsp Demgemass ist der Imaginarteil also der Absorptionsindex proportional zur molaren Konzentration k c N A a 2 e 0 displaystyle k approx c frac N mathrm A cdot alpha 2 varepsilon 0 nbsp und damit zur Absorbanz Dementsprechend lasst sich das Beer sche Gesetz aus der Lorentz Lorenz Gleichung ableiten 1 Die Anderung des Brechungsindex in verdunnten Losungen ist damit ebenfalls naherungsweise proportional zur molaren Konzentration 2 Literatur BearbeitenRichard P Feynman Robert B Leighton Matthew Sands Lectures on Physics Volume II Definitive Edition Auflage Addison Wesley 2005 ISBN 0 8053 9047 2 Einzelnachweise Bearbeiten Thomas Gunter Mayerhofer Jurgen Popp Beyond Beer s law Revisiting the Lorentz Lorenz equation In ChemPhysChem n a n a 12 Mai 2020 ISSN 1439 4235 doi 10 1002 cphc 202000301 Thomas G Mayerhofer Alicja Dabrowska Andreas Schwaighofer Bernhard Lendl Jurgen Popp Beyond Beer s Law Why the Index of Refraction Depends Almost Linearly on Concentration In ChemPhysChem Band 21 Nr 8 20 April 2020 ISSN 1439 4235 S 707 711 doi 10 1002 cphc 202000018 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Clausius Mossotti Gleichung amp oldid 217207671