Casimirs Trick nach dem niederlandischen Physiker Hendrik Casimir benannt ist ein Verfahren zur einfachen Berechnung von Spin gemittelten quadrierten Matrixelementen in Quantenfeldtheorien Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines 2 Details 2 1 Mathematischer Hintergrund 2 2 Beispiel Elektron Myon Streuung 3 LiteraturAllgemeines BearbeitenEin in den Quantenfeldtheorien haufig vorkommender Ausdruck ist das Matrixelement der S Matrix M displaystyle mathcal M nbsp welche den Ubergang von einem anfanglichen Zustand in einen Endzustand beschreibt Dieses Matrixelement kann mithilfe von Feynman Diagrammen graphisch dargestellt und in einen rigorosen mathematischen Ausdruck ubersetzt werden Sind Fermionen also Teilchen mit einem Spin von 1 2 displaystyle 1 2 nbsp beteiligt so treten in den Berechnungen der Matrixelemente Dirac Spinoren also vierkomponentige Vektoren mit zusatzlichen Spin Indizes auf Eine lorentzinvariante skalare Grosse ist das quadrierte Matrixelement M 2 M M displaystyle left mathcal M right 2 mathcal M mathcal M nbsp welches im Allgemeinen komplexe Ausdrucke aus Produkten von Dirac Spinoren enthalt Ist man in der Rechnung jedoch nur an einem uber alle moglichen Spin Einstellungen gemittelten Matrixelement interessiert lasst sich das Matrixelement mithilfe von Casimirs Trick in ein Produkt aus Spuren uber Dirac Matrizen uberfuhren die auf Basis der Dirac Algebra einfach ausgefuhrt werden konnen Details BearbeitenBezeichnen u k v k displaystyle u k bar v k nbsp die Spinoren fur einlaufende Anti Teilchen in Feynman Diagrammen und u k v k displaystyle bar u k v k nbsp Spinoren fur auslaufende Anti Teilchen so gilt s 1 s 2 v s 1 k G u s 2 p v s 1 k G u s 2 p Tr G g a p a m 2 G g b k b m 1 displaystyle sum s 1 s 2 left bar v s 1 k Gamma u s 2 p right left bar v s 1 k Gamma u s 2 p right text Tr left Gamma left gamma alpha p alpha m 2 right bar Gamma left gamma beta k beta m 1 right right nbsp s 1 s 2 u s 1 k G v s 2 p u s 1 k G v s 2 p Tr G g a p a m 2 G g b k b m 1 displaystyle sum s 1 s 2 left bar u s 1 k Gamma v s 2 p right left bar u s 1 k Gamma v s 2 p right text Tr left Gamma left gamma alpha p alpha m 2 right bar Gamma left gamma beta k beta m 1 right right nbsp s 1 s 2 v s 1 k G v s 2 p v s 1 k G v s 2 p Tr G g a p a m 2 G g b k b m 1 displaystyle sum s 1 s 2 left bar v s 1 k Gamma v s 2 p right left bar v s 1 k Gamma v s 2 p right text Tr left Gamma left gamma alpha p alpha m 2 right bar Gamma left gamma beta k beta m 1 right right nbsp s 1 s 2 u s 1 k G u s 2 p u s 1 k G u s 2 p Tr G g a p a m 2 G g b k b m 1 displaystyle sum s 1 s 2 left bar u s 1 k Gamma u s 2 p right left bar u s 1 k Gamma u s 2 p right text Tr left Gamma left gamma alpha p alpha m 2 right bar Gamma left gamma beta k beta m 1 right right nbsp Dabei bezeichnet G displaystyle Gamma nbsp eine beliebige 4 4 displaystyle 4 times 4 nbsp Matrix g displaystyle gamma nbsp die Dirac Matrizen und ein Uberstrich die Dirac Adjungierte G g 0 G g 0 displaystyle bar Gamma gamma 0 Gamma dagger gamma 0 nbsp m i displaystyle m i nbsp bezeichne die Massen der jeweiligen Teilchen Antiteilchen wobei der Index i displaystyle i nbsp der gleiche wie bei der Zuordnung der Spins ist Mathematischer Hintergrund Bearbeiten Die Dirac Spinoren lassen sich in zwei unabhangige Spinoren u displaystyle u nbsp fur Teilchen und v displaystyle v nbsp fur Antiteilchen zerlegen Diese erfullen jeweils eine Vollstandigkeitsrelation Spins u p u p g m p m m displaystyle sum text Spins u p bar u p gamma mu p mu m nbsp Spins v k v k g m k m m displaystyle sum text Spins v k bar v k gamma mu k mu m nbsp Im Matrixelement kommen typische Ausdrucke wie zum Beispiel M v k G u p displaystyle mathcal M propto bar v k Gamma u p nbsp vor Das quadrierte Matrixelement lautet also M 2 v k G u p v k G u p v k G u p u p G v k displaystyle left mathcal M right 2 propto left bar v k Gamma u p right left bar v k Gamma u p right bar v k Gamma u p bar u p bar Gamma v k nbsp Wenn uber die Spin Indizes summiert wird so kann zuerst im mittleren Paar der Dirac Spinoren die Vollstandigkeitsrelation angewandt werden Es ist im Folgenden zweckmassig die Spin Spinor und Raumzeit Indizes aus Grunden der Nachvollziehbarkeit nicht zu unterdrucken wobei s 1 s 2 displaystyle s 1 s 2 nbsp uber die Spins m n r s displaystyle mu nu rho sigma nbsp uber die vier Komponenten der Spinoren und a b displaystyle alpha beta nbsp uber die vier Dirac Matrizen Raumzeit Indizes summieren s 1 s 2 M 2 s 1 s 2 v m s 1 k G m n u n s 2 p u r s 2 p G r s v s s 1 k s 1 v m s 1 k G m n g a p a m 2 n r G r s v s s 1 k displaystyle sum s 1 s 2 left mathcal M right 2 propto sum s 1 s 2 bar v mu s 1 k Gamma mu nu u nu s 2 p bar u rho s 2 p bar Gamma rho sigma v sigma s 1 k sum s 1 bar v mu s 1 k Gamma mu nu left gamma alpha p alpha m 2 right nu rho bar Gamma rho sigma v sigma s 1 k nbsp In Komponentenschreibweise ist offensichtlicher dass die Summation uber s 1 displaystyle s 1 nbsp einfach vollzogen werden kann da alle Objekte nun kommutieren es gilt somit s 1 s 2 M 2 G m n g a p a m 2 n r G r s g b k b m 1 s m Tr G g a p a m 2 G g b k b m 1 displaystyle sum s 1 s 2 left mathcal M right 2 propto Gamma mu nu left gamma alpha p alpha m 2 right nu rho bar Gamma rho sigma left gamma beta k beta m 1 right sigma mu text Tr left Gamma left gamma alpha p alpha m 2 right bar Gamma left gamma beta k beta m 1 right right nbsp Fur die anderen drei Falle lauft der Beweis analog Beispiel Elektron Myon Streuung Bearbeiten Bezeichnen p p displaystyle p p nbsp den Impuls des ein aus laufenden Elektrons und k k displaystyle k k nbsp den des ein aus laufenden Myons so lautet das Matrixelement der Elektron Myon Streuung e m e m displaystyle e mu rightarrow e mu nbsp in niedrigster Ordnung in der Quantenelektrodynamik M u p i e g m u p i g m n p k 2 u k i e g n u k displaystyle mathcal M bar u p mathrm i e gamma mu u p frac mathrm i g mu nu p k 2 bar u k mathrm i e gamma nu u k nbsp Wird uber die Spins der einlaufenden Teilchen gemittelt und uber die Spins der auslaufenden Teilchen summiert so ergibt sich nach zweimaliger Anwendung von Casimirs Trick 1 4 s 1 s 2 s 1 s 2 M 2 1 4 e 4 p k 4 Tr g m g a p a m e g n g b p b m e Tr g m g a k a m m g n g b k b m m displaystyle frac 1 4 sum s 1 s 2 s 1 s 2 left mathcal M right 2 frac 1 4 frac e 4 p k 4 text Tr left gamma mu gamma alpha p alpha m e gamma nu gamma beta p beta m e right text Tr left gamma mu gamma alpha k alpha m mu gamma nu gamma beta k beta m mu right nbsp Literatur BearbeitenDavid Griffiths Einfuhrung in die Elementarteilchenphysik Ubersetzt von Thomas Stange Akademie Verlag Berlin 1996 ISBN 3 05 501627 0 Abraham Pais Inward Bound Oxford New York 1986 ISBN 978 0198519713 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Casimirs Trick amp oldid 214694871
