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Maximumprinzip von Bauer Das auch genannt als das H Bauersche Maximum Prinzip englisch H Bauer s maximum principle ist e

Maximumprinzip von Bauer

Das Maximumprinzip von Bauer, auch genannt als das H. Bauersche Maximum-Prinzip (englisch H. Bauer's maximum principle), ist ein mathematischer Lehrsatz, der im Übergangsfeld zwischen den Teilgebieten der Analysis, der Linearen Optimierung und der Variationsrechnung angesiedelt ist. Es entstammt einer wissenschaftlichen Arbeit des deutschen Mathematikers Heinz Bauer (1928–2002) aus dem Jahre 1960 und ist verwandt sowohl mit dem weierstraßschen Satz vom Minimum und Maximum als auch mit dem Fundamentalsatz der Variationsrechnung. Wie diese behandelt das Maximumprinzip die grundlegende Frage der Existenz von Extremstellen gewisser reellwertiger Funktionale und formuliert Bedingungen, unter denen diese ihr Maximum annehmen. Darüber hinaus kann auch der Satz von Krein-Milman als Folgerung aus dem Bauer'schen Maximumprinzip verstanden werden.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Das Maximumprinzip von Bauer lässt sich angeben wie folgt:

Bedeutung für die Lineare Optimierung Bearbeiten

Dazu bemerken Philippe Blanchard und Erwin Brüning in ihrem Springer-Lehrbuch Direkte Methoden der Variationsrechnung (1982):

Literatur Bearbeiten

  • Bernard Beauzamy: Introduction to Banach Spaces and their Geometry. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1964 (= North-Holland Mathematics Studies. Band 68). North-Holland Publishing Company, Amsterdam [u. a.] 1982, ISBN 0-444-86416-4 (MR0670943).
  • Heinz Bauer: Minimalstellen von Funktionen und Extremalpunkte. II. In: Archiv der Mathematik. Band 11, 1960, S. 200–205 (MR0130390).
  • Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung. Ein Lehrbuch. Springer Verlag, Wien, New York 1982, ISBN 3-211-81692-5 (MR0687073).
  • Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Variational Methods in Mathematical Physics. A unified approach. Translated from the German by Gillian M. Hayes. (= Texts and Monographs in Physics). Springer Verlag, Berlin 1992 (MR1230382).
  • Gustave Choquet: Lectures on Analysis / Volume II : Representation Theory. Edited by J. Marsden, T. Lance and S. Gelbart (= Mathematics Lecture Note Series). W. A. Benjamin, Inc., New York, Amsterdam 1969 (MR0250012).
  • D. A. Edwards: On the representation of certain functionals by measures on the Choquet boundary. In: Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier. Band 13, 1963, S. 111–121 (MR0147900).
  • Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuser, Boston, Basel, Berlin 2007, ISBN 0-8176-4367-2 (MR2300779).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch. 1982, S. 30 ff.
  2. ↑ Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Variational Methods in Mathematical Physics. 1992, S. 30 ff.
  3. ↑ Gustave Choquet: Lectures on Analysis / Volume II. 1969, S. 102 ff.
  4. ↑ Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. 2007, S. 231
  5. Bernard Beauzamy: Introduction to Banach Spaces and their Geometry. 1982, S. 125
  6. Beauzamy, op. cit., S. 123
  7. Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch. 1982, S. 30–31.
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Das Maximumprinzip von Bauer auch genannt als das H Bauersche Maximum Prinzip englisch H Bauer s maximum principle ist ein mathematischer Lehrsatz der im Ubergangsfeld zwischen den Teilgebieten der Analysis der Linearen Optimierung und der Variationsrechnung angesiedelt ist Es entstammt einer wissenschaftlichen Arbeit des deutschen Mathematikers Heinz Bauer 1928 2002 aus dem Jahre 1960 und ist verwandt sowohl mit dem weierstrassschen Satz vom Minimum und Maximum als auch mit dem Fundamentalsatz der Variationsrechnung Wie diese behandelt das Maximumprinzip die grundlegende Frage der Existenz von Extremstellen gewisser reellwertiger Funktionale und formuliert Bedingungen unter denen diese ihr Maximum annehmen 1 2 3 4 Daruber hinaus kann auch der Satz von Krein Milman als Folgerung aus dem Bauer schen Maximumprinzip verstanden werden 5 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Bedeutung fur die Lineare Optimierung 3 Literatur 4 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenDas Maximumprinzip von Bauer lasst sich angeben wie folgt 1 2 3 4 6 Gegeben seien ein hausdorffscher lokalkonvexer topologischer R displaystyle mathbb R nbsp Vektorraum X displaystyle X nbsp und darin eine nichtleere konvexe kompakte Teilmenge K X displaystyle K subset X nbsp Dann gilt Jedes konvexe oberhalbstetige Funktional ϕ K R displaystyle phi colon K to mathbb R nbsp und insbesondere jedes lineare stetige Funktional ϕ X R displaystyle phi colon X to mathbb R nbsp nimmt auf K displaystyle K nbsp sein Maximum in einem der Extremalpunkte von K displaystyle K nbsp an Das bedeutet Fur jedes solche ϕ displaystyle phi nbsp existiert ein nicht notwendig eindeutig bestimmter Extremalpunkt e 0 K displaystyle e 0 in K nbsp mitϕ e 0 sup x K ϕ x max x K ϕ x displaystyle phi e 0 sup x in K phi x max x in K phi x nbsp dd Bedeutung fur die Lineare Optimierung BearbeitenDazu bemerken Philippe Blanchard und Erwin Bruning in ihrem Springer Lehrbuch Direkte Methoden der Variationsrechnung 1982 Die Aussage des Satzes ist fur die Bestimmung des Maximums sehr wichtig weil dadurch die Menge der potentiellen Extremalpunkte der Funktion ganz stark eingeschrankt wird Speziell im Falle von konvexen Polyedern wie er in konkreten Anwendungen oft vorliegt braucht man also die Extrema der Funktion nur noch in der endlichen Menge der Extremalpunkte des Polyeders zu suchen 7 Literatur BearbeitenBernard Beauzamy Introduction to Banach Spaces and their Geometry Unveranderter Nachdruck der 1 Auflage von 1964 North Holland Mathematics Studies Band 68 North Holland Publishing Company Amsterdam u a 1982 ISBN 0 444 86416 4 MR0670943 Heinz Bauer Minimalstellen von Funktionen und Extremalpunkte II In Archiv der Mathematik Band 11 1960 S 200 205 MR0130390 Philippe Blanchard Erwin Bruning Direkte Methoden der Variationsrechnung Ein Lehrbuch Springer Verlag Wien New York 1982 ISBN 3 211 81692 5 MR0687073 Philippe Blanchard Erwin Bruning Variational Methods in Mathematical Physics A unified approach Translated from the German by Gillian M Hayes Texts and Monographs in Physics Springer Verlag Berlin 1992 MR1230382 Gustave Choquet Lectures on Analysis Volume II Representation Theory Edited by J Marsden T Lance and S Gelbart Mathematics Lecture Note Series W A Benjamin Inc New York Amsterdam 1969 MR0250012 D A Edwards On the representation of certain functionals by measures on the Choquet boundary In Universite de Grenoble Annales de l Institut Fourier Band 13 1963 S 111 121 MR0147900 Albrecht Pietsch History of Banach Spaces and Linear Operators Birkhauser Boston Basel Berlin 2007 ISBN 0 8176 4367 2 MR2300779 Einzelnachweise Bearbeiten a b Philippe Blanchard Erwin Bruning Direkte Methoden der Variationsrechnung Ein Lehrbuch 1982 S 30 ff a b Philippe Blanchard Erwin Bruning Variational Methods in Mathematical Physics 1992 S 30 ff a b Gustave Choquet Lectures on Analysis Volume II 1969 S 102 ff a b Albrecht Pietsch History of Banach Spaces and Linear Operators 2007 S 231 Bernard Beauzamy Introduction to Banach Spaces and their Geometry 1982 S 125 Beauzamy op cit S 123 Philippe Blanchard Erwin Bruning Direkte Methoden der Variationsrechnung Ein Lehrbuch 1982 S 30 31 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Maximumprinzip von Bauer amp oldid 228683368