In der Mathematik ist die nach Michael Artin and Barry Mazur benannte Artin-Mazursche Zeta-Funktion ein Hilfsmittel beim Studium iterierter Funktionen in dynamischen Systemen. Sie wird gelegentlich auch als topologische Zeta-Funktion bezeichnet.
Artin und Mazur haben diese Zeta-Funktion im Jahr 1965 eingeführt. Diese Funktion wurde dann von Stephen Smale weiter untersucht und allgemein bekannt gemacht.
Die Artin-Mazursche Zeta-Funktion wird als formale Potenzreihe definiert:
Dabei bezeichnet die Menge der Fixpunkte der -ten Iteration der Funktion , und die Kardinalität dieser Menge von Fixpunkten. Dabei sind hier nur endliche Kardinalitäten zugelassen.
Die Artin-Mazursche Zeta-Funktion ist eine topologische Invariante, das heißt, sie ist invariant unter topologischen Konjugationen. Damit verbindet sie lokale Eigenschaften der Funktion mit globalen Eigenschaften der von den diskreten Trajektorien (Orbits) erzeugten Mannigfaltigkeit.
Umfassende Konvergenzuntersuchungen wurden von William Parry und Mark Pollicott durchgeführt.
Eine Weiterentwicklung der Artin-Mazursche Zeta-Funktion in der Theorie der dynamischen Systeme erfolgte durch David Ruelle, Viviane Baladi und andere zur Ruelleschen Zeta-Funktion und dynamischen Zeta-Funktion.
Weblinks Bearbeiten
- John Baez: This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 216). 2005 (zum Zusammenhang mit anderen Zeta-Funktionen).
- David Ruelle: Dynamical Zeta Functions and Transfer Operators. 2002 (PDF; 233 kB).
- Predrag Cvitanović et al.: Chaos: Classical and Quantum. 2009. (u. a. Kapitel 15 zur Anwendung in der theoretischen Physik).
Einzelnachweise Bearbeiten
- Michael Artin, Barry Mazur: On periodic points. In: Annals of Mathematics. 81, 1965, S. 82–99.
- Stephen Smale: Differential dynamical systems. In: Bulletin of the American Mathematical Society. 73, 1967, S. 747–817.
- William Parry, Mark Pollicott: Zeta functions and the periodic orbit structure of hyperbolic dynamics. In: Astérisque. vol. 187-188, 1990, Société Mathématique de France, Paris.