www.wikidata.de-de.nina.az

Abgeschlossene Abbildung en werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet Es handelt sich um Abbildungen

Abgeschlossene Abbildung

Abgeschlossene Abbildungen werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet. Es handelt sich um Abbildungen zwischen zwei topologischen Räumen, die abgeschlossene Mengen wieder auf abgeschlossene Mengen abbilden.

Definition Bearbeiten

Sei eine Abbildung zwischen den topologischen Räumen und . heißt abgeschlossen, wenn für jede abgeschlossene Menge auch die Bildmenge abgeschlossen ist.

Beispiele Bearbeiten

  • Jede stetige Abbildung von einem beschränkten, abgeschlossenen Intervall in die reellen Zahlen ist abgeschlossen. Auf unbeschränkten Intervallen gilt das nicht, so ist zum Beispiel die stetige Arkustangens-Funktion nicht abgeschlossen, denn ist abgeschlossen, aber die Bildmenge ist nicht abgeschlossen.
  • Allgemeiner ist jede stetige Abbildung von einem kompakten Raum in einen Hausdorffraum abgeschlossen. Ist nämlich abgeschlossen, so ist als abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raums kompakt und daher ist auch das Bild kompakt. Als kompakte Teilmenge eines Hausdorffraums ist abgeschlossen.
  • Homöomorphismen sind abgeschlossen. Genauer gilt, dass eine bijektive Abbildung zwischen topologischen Räumen genau dann ein Homöomorphismus ist, wenn stetig und abgeschlossen ist.
  • Eigentliche Abbildungen sind abgeschlossen. Genauer ist eine stetige Abbildung genau dann eigentlich, wenn sie abgeschlossen ist und kompakt ist für jedes .
  • Offene Abbildungen müssen nicht abgeschlossen sein. Die Abbildung ist offen, die Bildmenge der abgeschlossenen Menge ist die nicht-abgeschlossene Menge . Umgekehrt müssen abgeschlossene Abbildungen nicht offen sein, wie das Beispiel einer konstanten Abbildung zeigt.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Kompositionen abgeschlossener Abbildungen sind wieder abgeschlossen.
  • Sei eine abgeschlossene Abbildung, und es sei offen. Dann ist offen.
  • Eine Abbildung zwischen topologischen Räumen ist genau dann abgeschlossen, falls für alle Teilmengen .

Abgrenzung Bearbeiten

In der Funktionalanalysis betrachtet man sogenannte abgeschlossene Operatoren zwischen topologischen Vektorräumen und , das sind solche linearen Operatoren, deren Graph eine abgeschlossene Menge im Produktraum ist. Das darf nicht mit dem oben betrachteten Begriff der abgeschlossenen Abbildung zwischen topologischen Räumen verwechselt werden. So ist zum Beispiel die Inklusionsabbildung der Folgenräume mit ihren üblichen Normtopologien als stetiger, linearer Operator sicher abgeschlossen, aber es handelt sich nicht um eine abgeschlossene Abbildung zwischen den zugehörigen topologischen Räumen, denn ist abgeschlossen, aber das Bild ist nicht abgeschlossen.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Wolfgang Franz: Topologie I. Walter de Gruyter, 1973, ISBN 3-11-004117-0, S. 37.
  2. Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-67790-9, Definition 2.26.
  3. H. J. Kowalsky: Topologische Räume. Springer-Verlag, 1961, ISBN 978-3-0348-6907-2, Definition 17b.
  4. Wolfgang Franz: Topologie I. Walter de Gruyter, 1973, ISBN 3-11-004117-0, Satz 5.7.
  5. Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-67790-9, Satz 2.28.
  6. Erich Ossa: Topologie. Verlag Vieweg+Teubner, ISBN 3-8348-0874-1, Satz 2.4.20.
  7. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, hinter Definition IV.3.1.
  8. H. J. Kowalsky: Topologische Räume. Springer-Verlag, 1961, ISBN 978-3-0348-6907-2, Satz 17.9.
  9. H. J. Kowalsky: Topologische Räume. Springer-Verlag, 1961, ISBN 978-3-0348-6907-2, Satz 17.8.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Abgeschlossene Abbildungen werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet Es handelt sich um Abbildungen zwischen zwei topologischen Raumen die abgeschlossene Mengen wieder auf abgeschlossene Mengen abbilden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Abgrenzung 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei f X Y displaystyle f colon X rightarrow Y nbsp eine Abbildung zwischen den topologischen Raumen X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp f displaystyle f nbsp heisst abgeschlossen wenn fur jede abgeschlossene Menge A X displaystyle A subset X nbsp auch die Bildmenge f A Y displaystyle f A subset Y nbsp abgeschlossen ist 1 2 3 Beispiele BearbeitenJede stetige Abbildung f a b R displaystyle f colon a b rightarrow mathbb R nbsp von einem beschrankten abgeschlossenen Intervall in die reellen Zahlen ist abgeschlossen Auf unbeschrankten Intervallen gilt das nicht so ist zum Beispiel die stetige Arkustangens Funktion a r c t a n R R displaystyle mathrm arctan colon mathbb R rightarrow mathbb R nbsp nicht abgeschlossen denn A 0 R displaystyle A 0 infty subset mathbb R nbsp ist abgeschlossen aber die Bildmenge a r c t a n A 0 p 2 R displaystyle textstyle mathrm arctan A 0 frac pi 2 subset mathbb R nbsp ist nicht abgeschlossen Allgemeiner ist jede stetige Abbildung f X Y displaystyle f colon X rightarrow Y nbsp von einem kompakten Raum X displaystyle X nbsp in einen Hausdorffraum Y displaystyle Y nbsp abgeschlossen Ist namlich A X displaystyle A subset X nbsp abgeschlossen so ist A displaystyle A nbsp als abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raums kompakt und daher ist auch das Bild f A displaystyle f A nbsp kompakt Als kompakte Teilmenge eines Hausdorffraums ist f A displaystyle f A nbsp abgeschlossen Homoomorphismen sind abgeschlossen Genauer gilt dass eine bijektive Abbildung f X Y displaystyle f colon X rightarrow Y nbsp zwischen topologischen Raumen genau dann ein Homoomorphismus ist wenn f displaystyle f nbsp stetig und abgeschlossen ist 4 5 Eigentliche Abbildungen sind abgeschlossen Genauer ist eine stetige Abbildung f X Y displaystyle f colon X rightarrow Y nbsp genau dann eigentlich wenn sie abgeschlossen ist und f 1 y X displaystyle f 1 y subset X nbsp kompakt ist fur jedes y f X displaystyle y in f X nbsp 6 Offene Abbildungen mussen nicht abgeschlossen sein Die Abbildung f R 2 R s t s displaystyle f colon mathbb R 2 to mathbb R s t mapsto s nbsp ist offen die Bildmenge der abgeschlossenen Menge s t s 0 s t 1 displaystyle s t colon s geq 0 st geq 1 nbsp ist die nicht abgeschlossene Menge 0 displaystyle 0 infty nbsp 7 Umgekehrt mussen abgeschlossene Abbildungen nicht offen sein wie das Beispiel einer konstanten Abbildung zeigt Eigenschaften BearbeitenKompositionen abgeschlossener Abbildungen sind wieder abgeschlossen Sei f X Y displaystyle f colon X rightarrow Y nbsp eine abgeschlossene Abbildung B Y displaystyle B subset Y nbsp und es sei f 1 B X displaystyle f 1 B subset X nbsp offen Dann ist B displaystyle B nbsp offen 8 Eine Abbildung f X Y displaystyle f colon X rightarrow Y nbsp zwischen topologischen Raumen ist genau dann abgeschlossen falls f A f A displaystyle f overline A supset overline f A nbsp fur alle Teilmengen A X displaystyle A subset X nbsp 9 Abgrenzung BearbeitenIn der Funktionalanalysis betrachtet man sogenannte abgeschlossene Operatoren T X Y displaystyle T colon X rightarrow Y nbsp zwischen topologischen Vektorraumen X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp das sind solche linearen Operatoren deren Graph eine abgeschlossene Menge im Produktraum X Y displaystyle X times Y nbsp ist Das darf nicht mit dem oben betrachteten Begriff der abgeschlossenen Abbildung zwischen topologischen Raumen verwechselt werden So ist zum Beispiel die Inklusionsabbildung i ℓ 1 ℓ displaystyle iota colon ell 1 rightarrow ell infty nbsp der Folgenraume mit ihren ublichen Normtopologien als stetiger linearer Operator sicher abgeschlossen aber es handelt sich nicht um eine abgeschlossene Abbildung zwischen den zugehorigen topologischen Raumen denn A ℓ 1 ℓ 1 displaystyle A ell 1 subset ell 1 nbsp ist abgeschlossen aber das Bild i A ℓ displaystyle iota A subset ell infty nbsp ist nicht abgeschlossen Einzelnachweise Bearbeiten Wolfgang Franz Topologie I Walter de Gruyter 1973 ISBN 3 11 004117 0 S 37 Boto von Querenburg Mengentheoretische Topologie 3 Auflage Springer Berlin 2001 ISBN 3 540 67790 9 Definition 2 26 H J Kowalsky Topologische Raume Springer Verlag 1961 ISBN 978 3 0348 6907 2 Definition 17b Wolfgang Franz Topologie I Walter de Gruyter 1973 ISBN 3 11 004117 0 Satz 5 7 Boto von Querenburg Mengentheoretische Topologie 3 Auflage Springer Berlin 2001 ISBN 3 540 67790 9 Satz 2 28 Erich Ossa Topologie Verlag Vieweg Teubner ISBN 3 8348 0874 1 Satz 2 4 20 Dirk Werner Funktionalanalysis 6 Auflage Springer Verlag 2007 ISBN 978 3 540 72533 6 hinter Definition IV 3 1 H J Kowalsky Topologische Raume Springer Verlag 1961 ISBN 978 3 0348 6907 2 Satz 17 9 H J Kowalsky Topologische Raume Springer Verlag 1961 ISBN 978 3 0348 6907 2 Satz 17 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Abgeschlossene Abbildung amp oldid 197652119