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Weylsches Einbettungsproblem Das Weylsche Einbettungsproblem ist ein klassisches Problem der Differentialgeometrie und w

Weylsches Einbettungsproblem

Das Weylsche Einbettungsproblem ist ein klassisches Problem der Differentialgeometrie und wurde erstmals 1916 von Hermann Weyl formuliert. Es hat Generationen von Mathematikern beschäftigt und wurde 1953 von Louis Nirenberg mit Hilfe einer Monge-Ampèreschen Gleichung gelöst, jedoch unter sehr restriktiven Bedingungen. Das Weylsche Einbettungsproblem ist dem Minkowski-Problem sehr verwandt.

Formulierung Bearbeiten

Gibt es zu jeder auf der Einheitssphäre gegebenen positiv definiten quadratischen Form mit positiver gaußscher Krümmung eine konkrete Realisierung durch eine Fläche (d.h. eine Einbettung) im , also eine Fläche, die diese Form als erste Fundamentalform besitzt?

Etwas kürzer und abstrakter: Sei eine positiv definite Metrik auf der Einheitssphäre mit überall positiver Gaußkrümmung. Kann dann die riemannsche Mannigfaltigkeit isometrisch in den eingebettet werden?

Lösung Bearbeiten

Bedeutende Antworten auf das Weylsche Einbettungsproblem gaben zunächst Hans Lewy (1938) und später Louis Nirenberg (1953) in einer allgemein als bahnbrechend angesehenen Arbeit. Die bislang letzte Antwort auf das Weylsche Einbettungsproblem gab Erhard Heinz 1962, sie lautet: „Ja, wenn die erste Fundamentalform dreimal differenzierbar ist.“ Es ist nicht bekannt, ob eine Einbettung auch mit schwächeren Anforderungen an die Regularität der ersten Fundamentalform möglich ist.

Literatur Bearbeiten

  • Hermann Weyl: Über die Bestimmung einer geschlossenen konvexen Fläche durch ihr Linienelement. In: Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich. 61, 1916, ISSN 0042-5672, S. 148–178.
  • Hans Lewy: On the existence of a closed convex surface realizing a given Riemannian metric. In: Proceedings of the National Academy of Sciences. 24, 2, 1938, ISSN 0027-8424, S. 104–106.
  • Louis Nirenberg: The Weyl and Minkowski problems in differential geometry in the large. In: Communications on Pure and Applied Mathematics. 6, 3, 1953, ISSN 0010-3640, S. 337–394, doi:10.1002/cpa.3160060303.
  • Erhard Heinz: On Weyl's embedding problem. In: Journal of Mathematics and Mechanics. 11, 3, 1962, ISSN 0095-9057, S. 421–454.
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Veröffentlichungsdatum:
Das Weylsche Einbettungsproblem ist ein klassisches Problem der Differentialgeometrie und wurde erstmals 1916 von Hermann Weyl formuliert Es hat Generationen von Mathematikern beschaftigt und wurde 1953 von Louis Nirenberg mit Hilfe einer Monge Ampereschen Gleichung gelost jedoch unter sehr restriktiven Bedingungen Das Weylsche Einbettungsproblem ist dem Minkowski Problem sehr verwandt Formulierung BearbeitenGibt es zu jeder auf der Einheitssphare gegebenen positiv definiten quadratischen Form mit positiver gaussscher Krummung eine konkrete Realisierung durch eine Flache d h eine Einbettung im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp also eine Flache die diese Form als erste Fundamentalform besitzt Etwas kurzer und abstrakter Sei d s 2 displaystyle mathrm d s 2 nbsp eine positiv definite Metrik auf der Einheitssphare S 2 displaystyle S 2 nbsp mit uberall positiver Gausskrummung Kann dann die riemannsche Mannigfaltigkeit S 2 d s 2 displaystyle S 2 mathrm d s 2 nbsp isometrisch in den R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp eingebettet werden Losung BearbeitenBedeutende Antworten auf das Weylsche Einbettungsproblem gaben zunachst Hans Lewy 1938 und spater Louis Nirenberg 1953 in einer allgemein als bahnbrechend angesehenen Arbeit Die bislang letzte Antwort auf das Weylsche Einbettungsproblem gab Erhard Heinz 1962 sie lautet Ja wenn die erste Fundamentalform dreimal differenzierbar ist Es ist nicht bekannt ob eine Einbettung auch mit schwacheren Anforderungen an die Regularitat der ersten Fundamentalform moglich ist Literatur BearbeitenHermann Weyl Uber die Bestimmung einer geschlossenen konvexen Flache durch ihr Linienelement In Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zurich 61 1916 ISSN 0042 5672 S 148 178 Hans Lewy On the existence of a closed convex surface realizing a given Riemannian metric In Proceedings of the National Academy of Sciences 24 2 1938 ISSN 0027 8424 S 104 106 Louis Nirenberg The Weyl and Minkowski problems in differential geometry in the large In Communications on Pure and Applied Mathematics 6 3 1953 ISSN 0010 3640 S 337 394 doi 10 1002 cpa 3160060303 Erhard Heinz On Weyl s embedding problem In Journal of Mathematics and Mechanics 11 3 1962 ISSN 0095 9057 S 421 454 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Weylsches Einbettungsproblem amp oldid 218267015