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Monge Ampèresche Gleichung Eine Monge Ampère sche Gleichung oder Monge Ampère sche Differentialgleichung ist eine spezie

Monge-Ampèresche Gleichung

Eine Monge-Ampère'sche Gleichung, oder Monge-Ampère'sche Differentialgleichung, ist eine spezielle nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in Variablen.

Sie wurde von Gaspard Monge Anfang des 19. Jahrhunderts eingeführt, um ein Massentransportproblem („problème du remblai-déblai“, etwa: „Problem von Erdaufschüttung und -aushub“) für militärische Zwecke zu lösen. Trotz ihrer recht einfachen Form ist sie im Allgemeinen schwierig zu lösen. Die Gleichung ist zusätzlich nach André-Marie Ampère benannt, der sich mit ihr um 1820 befasste.

Mathematische Formulierung Bearbeiten

Allgemein hat eine Monge-Ampère'sche Gleichung über einem offenen Gebiet die Form

wobei , mit die unbekannte Funktion ist, eine gegebene Funktion , und

die Hesse-Matrix von . Speziell für den zweidimensionalen Fall ergibt sich die einfache Gestalt

mit und den Funktionen und . Oft wird für den Fall n=2 aber auch die folgende Darstellung als allgemeine Monge-Ampère'sche Gleichung bezeichnet:

wobei und Funktionen von () sind. Man erkennt gleich, dass sich mit und die obige einfachere Gestalt ergibt.

Konkretes Beispiel Bearbeiten

Sei und . Dann ist eine Lösung der Monge-Ampère'schen Differentialgleichung, denn und daher

Klassifizierung als partielle Differentialgleichung Bearbeiten

Eine Monge-Ampère'sche Gleichung ist eine voll nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in Variablen. Erläuterungen:

  • „partielle Differentialgleichung“, denn es wird eine von mehreren Variablen abhängende Funktion gesucht, deren partielle Ableitungen der gegebenen Gleichung gehorchen müssen.
  • „voll nichtlinear“, da alle Terme mit zweiten (also den höchsten) Ableitungen von quadratisch auftauchen.

Eine wichtige Klasse sind die elliptischen Monge-Ampère'schen Gleichungen, die für die Bedingungen und erfüllen, bzw. in der einfacheren Form einfach .

Anwendungen Bearbeiten

Die meisten Anwendungen der Monge-Ampère'schen Gleichung sind innermathematischer Art insbesondere in der Differentialgeometrie. Beim Minkowski-Problem beispielsweise wird eine strikt konvexe Hyperfläche mit vorgegebener Gaußkrümmung gesucht, was auf eine Monge-Ampère'sche Gleichung führt. Das Problem wurde 1953 von Nirenberg gelöst.

Eine unerwartete Anwendung im Bereich der String-Theorie ergab sich durch ein 1978 veröffentlichtes Resultat von Yau, der eine Vermutung von Calabi über die Krümmung bestimmter Kähler-Mannigfaltigkeiten mit Hilfe der Lösung einer komplexen Monge-Ampère'schen Gleichung bewies (Satz von Yau). Man spricht heute entsprechend von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Bedeutende Beiträge zu Monge-Ampère'schen Gleichungen im Verlaufe des 20. Jahrhunderts kamen von Hermann Weyl, Franz Rellich, Erhard Heinz, Louis Nirenberg, Shing-Tung Yau, Luis Caffarelli, Alexei Wassiljewitsch Pogorelow, Thierry Aubin, Sébastien Boucksom, Alessio Figalli und Guido de Philippis.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Eine Monge Ampere sche Gleichung oder Monge Ampere sche Differentialgleichung ist eine spezielle nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in n displaystyle n Variablen Sie wurde von Gaspard Monge Anfang des 19 Jahrhunderts eingefuhrt um ein Massentransportproblem probleme du remblai deblai etwa Problem von Erdaufschuttung und aushub fur militarische Zwecke zu losen Trotz ihrer recht einfachen Form ist sie im Allgemeinen schwierig zu losen Die Gleichung ist zusatzlich nach Andre Marie Ampere benannt der sich mit ihr um 1820 befasste Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Formulierung 2 Konkretes Beispiel 3 Klassifizierung als partielle Differentialgleichung 4 Anwendungen 5 WeblinksMathematische Formulierung BearbeitenAllgemein hat eine Monge Ampere sche Gleichung uber einem offenen Gebiet W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp die Form det D 2 u f displaystyle det D 2 u f nbsp wobei u W R displaystyle u colon Omega to mathbb R nbsp mit u u x 1 x n displaystyle u u x 1 ldots x n nbsp die unbekannte Funktion ist f W R n 1 R displaystyle f colon Omega times mathbb R n 1 to mathbb R nbsp eine gegebene Funktion f f x 1 x n u u x 1 u x n displaystyle f f x 1 ldots x n u u x 1 ldots u x n nbsp und D 2 u u x 1 x 1 u x 1 x n u x n x 1 u x n x n mit u x i x j 2 u x i x j displaystyle D 2 u begin pmatrix u x 1 x 1 amp cdots amp u x 1 x n vdots amp ddots amp vdots u x n x 1 amp cdots amp u x n x n end pmatrix qquad mbox mit u x i x j frac partial 2 u partial x i partial x j nbsp die Hesse Matrix von u displaystyle u nbsp Speziell fur den zweidimensionalen Fall n 2 displaystyle n 2 nbsp ergibt sich die einfache Gestalt u x x u y y u x y 2 f displaystyle u xx u yy u xy 2 f nbsp mit x y W R 2 displaystyle x y in Omega subset mathbb R 2 nbsp und den Funktionen u x y displaystyle u x y nbsp und f x y u u x u y displaystyle f x y u u x u y nbsp Oft wird fur den Fall n 2 aber auch die folgende Darstellung als allgemeine Monge Ampere sche Gleichung bezeichnet A r 2 B s C t r t s 2 E mit r u x x s u x y t u y y p u x q u y displaystyle Ar 2Bs Ct rt s 2 E qquad mbox mit r u xx s u xy t u yy p u x q u y nbsp wobei A B C displaystyle A B C nbsp und E displaystyle E nbsp Funktionen von x y u p q displaystyle x y u p q nbsp sind Man erkennt gleich dass sich mit A B C 0 displaystyle A B C 0 nbsp und E f displaystyle E f nbsp die obige einfachere Gestalt ergibt Konkretes Beispiel BearbeitenSei n 2 displaystyle n 2 nbsp und f x y 4 1 y 2 1 x 2 16 x 2 y 2 displaystyle f x y 4 1 y 2 1 x 2 16x 2 y 2 nbsp Dann ist u x y 1 x 2 1 y 2 displaystyle u x y 1 x 2 1 y 2 nbsp eine Losung der Monge Ampere schen Differentialgleichung denn u x x 2 1 y 2 displaystyle u xx 2 1 y 2 nbsp u y y 2 1 x 2 displaystyle u yy 2 1 x 2 nbsp u x y u y x 4 x y displaystyle u xy u yx 4xy nbsp und daher det D 2 u det 2 1 y 2 4 x y 4 x y 2 1 x 2 f x y displaystyle det D 2 u det begin pmatrix 2 1 y 2 amp 4xy 4xy amp 2 1 x 2 end pmatrix f x y nbsp Klassifizierung als partielle Differentialgleichung BearbeitenEine Monge Ampere sche Gleichung ist eine voll nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in n displaystyle n nbsp Variablen Erlauterungen partielle Differentialgleichung denn es wird eine von mehreren Variablen abhangende Funktion u displaystyle u nbsp gesucht deren partielle Ableitungen der gegebenen Gleichung gehorchen mussen voll nichtlinear da alle Terme mit zweiten also den hochsten Ableitungen von u displaystyle u nbsp quadratisch auftauchen Eine wichtige Klasse sind die elliptischen Monge Ampere schen Gleichungen die fur n 2 displaystyle n 2 nbsp die Bedingungen A C B 2 E gt 0 displaystyle AC B 2 E gt 0 nbsp und t A gt 0 displaystyle t A gt 0 nbsp erfullen bzw in der einfacheren Form einfach f gt 0 displaystyle f gt 0 nbsp Anwendungen BearbeitenDie meisten Anwendungen der Monge Ampere schen Gleichung sind innermathematischer Art insbesondere in der Differentialgeometrie Beim Minkowski Problem beispielsweise wird eine strikt konvexe Hyperflache mit vorgegebener Gausskrummung gesucht was auf eine Monge Ampere sche Gleichung fuhrt Das Problem wurde 1953 von Nirenberg gelost Eine unerwartete Anwendung im Bereich der String Theorie ergab sich durch ein 1978 veroffentlichtes Resultat von Yau der eine Vermutung von Calabi uber die Krummung bestimmter Kahler Mannigfaltigkeiten mit Hilfe der Losung einer komplexen Monge Ampere schen Gleichung bewies Satz von Yau Man spricht heute entsprechend von Calabi Yau Mannigfaltigkeiten Bedeutende Beitrage zu Monge Ampere schen Gleichungen im Verlaufe des 20 Jahrhunderts kamen von Hermann Weyl Franz Rellich Erhard Heinz Louis Nirenberg Shing Tung Yau Luis Caffarelli Alexei Wassiljewitsch Pogorelow Thierry Aubin Sebastien Boucksom Alessio Figalli und Guido de Philippis Weblinks BearbeitenPlots von Losungen Monge Amperescher Gleichungen Memento vom 5 Februar 2005 im Internet Archive Eintrag in MathWorld engl Pogorelov Monge Ampere equation Encyclopedia of Mathematics Springer 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