In der Mathematik ist die Weylsche Integralformel oder Integralformel von Weyl eine Formel zur Berechnung des Integrals von Funktionen auf kompakten Lie Gruppen mit der insbesondere die Berechnung des Integrals von Klassenfunktionen auf eine Integration uber den maximalen Torus reduziert werden kann Sie ist nach Hermann Weyl benannt Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 1 1 Spezialfall 1 2 Erlauterungen 2 Beispiel 3 Beweis 4 LiteraturAussage BearbeitenSei G displaystyle G nbsp eine kompakte zusammenhangende Lie Gruppe T G displaystyle T subset G nbsp ein maximaler Torus und f G C displaystyle f colon G to mathbb C nbsp eine stetige Funktion Dann ist G f g d g 1 W T det Id Ad G T t 1 G T f g t g 1 d g d t displaystyle int G f g dg frac 1 W int T det operatorname Id operatorname Ad G T t 1 int G T f gtg 1 dg dt nbsp wobei W displaystyle W nbsp die Weyl Gruppe von G displaystyle G nbsp und Ad G T T Aut T e G T displaystyle operatorname Ad G T colon T to operatorname Aut T e G T nbsp die Einschrankung der adjungierten Darstellung Ad T displaystyle operatorname Ad mid T nbsp auf den ersten Summanden der Ad T displaystyle operatorname Ad mid T nbsp invarianten Zerlegung g T e G T t displaystyle mathfrak g T e G T oplus mathfrak t nbsp bedeutet Spezialfall Bearbeiten Insbesondere erhalt man fur eine stetige Klassenfunktion G f g d g 1 W T det Id Ad G T t 1 f t d t displaystyle int G f g dg frac 1 W int T det operatorname Id operatorname Ad G T t 1 f t dt nbsp man braucht also nur uber den maximalen Torus zu integrieren Erlauterungen Bearbeiten Es gilt det Id Ad G T t 1 a gt 0 e a t 2 e a t 2 displaystyle det operatorname Id operatorname Ad G T t 1 prod alpha gt 0 left e alpha t 2 e alpha t 2 right nbsp wobei a t displaystyle alpha t nbsp vom Eigenwertproblem abhangt Beispiel BearbeitenFur G U n displaystyle G mathbb U n nbsp ergibt sich G f g d g 1 n T f diag x 1 x n D 2 i 1 n d x i x i displaystyle int G f g mathrm d g frac 1 n int T f operatorname diag x 1 ldots x n Delta 2 prod i 1 n frac mathrm d x i x i nbsp wobei D 2 displaystyle Delta 2 nbsp die Vandermonde Determinante ist ausserdem ist W n displaystyle W n nbsp Beweis BearbeitenDer Beweis folgt aus den Eigenschaften der durch q g t g t g 1 displaystyle q g t gtg 1 nbsp definierten Abbildung q G T T G displaystyle q colon G T times T to G nbsp namlich deg q W displaystyle deg q W nbsp fur den Abbildungsgrad und det d q g T t det Ad G T t 1 Id displaystyle det mathrm d q gT t det operatorname Ad G T t 1 operatorname Id nbsp fur die Determinante des Differentials von q displaystyle q nbsp Literatur BearbeitenT Brocker T tom Dieck Representations of compact Lie groups Springer Verlag New York 1985 M Sepanski Compact Lie groups Springer Verlag New York 2007 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Weylsche Integralformel amp oldid 236197588
