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Vollständigkeit Statistik Als Vollständigkeit bezeichnet man in der Schätztheorie einem Teilgebiet der mathematischen St

Vollständigkeit (Statistik)

Als Vollständigkeit bezeichnet man in der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik, eine Eigenschaft von Verteilungsklassen, σ-Algebren oder messbaren Funktionen. Im Allgemeinen sind vollständige Verteilungsklassen „groß“, wohingegen vollständige σ-Algebren „klein“ sind.

Die Vollständigkeit spielt meist in Verbindung mit der Suffizienz eine Rolle. So liefert sie Kriterien für die Minimalsuffizienz oder die Existenz gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer mittels des Satzes von Lehmann-Scheffé.

Definition Bearbeiten

Für Verteilungsklassen Bearbeiten

Gegeben sei ein Messraum und eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf diesem Messraum. Dann heißt vollständig, wenn die Menge der -Nullschätzer -trivial ist. Sprich für alle

gilt

Dabei bezeichnet den Raum aller -integrierbaren Funktionen (siehe Lp-Raum).

Für σ-Algebren Bearbeiten

Eine Unter-σ-Algebra von heißt vollständig für , wenn vollständig auf dem Messraum ist. Dabei bedeutet , dass man den Definitionsbereich aller Wahrscheinlichkeitsmaße in auf die kleinere σ-Algebra einschränkt.

Für Statistiken Bearbeiten

Eine Statistik

heißt vollständig, wenn die von ihr erzeugte σ-Algebra vollständig ist bzw. vollständig ist.

Häufig wird die Verteilungsklasse mit einem Index versehen, man schreibt dann . Formuliert man in dieser Schreibweise die Vollständigkeit aus, so erhält man die gängige Definition:

Eine Statistik heißt vollständig, wenn für alle integrierbaren mit

immer folgt, dass

Erläuterung Bearbeiten

Intuitiv zugänglicher ist die folgende Definition der Vollständigkeit einer Verteilungsklasse: Eine Verteilungsklasse ist vollständig, genau dann wenn sie eine trennende Familie für ist. Das heißt, für beliebige mit

folgt

Die Verteilungsklasse ist also groß genug, um alle Funktionen aus unterscheiden zu können.

Gegenbeispiele Bearbeiten

Seien unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert und beschränkter Varianz.

Dann ist . Die Funktion ist also ein erwartungstreuer Schätzer von 0 und der Integrand ist nicht die Nullfunktion.

Präzisierungen Bearbeiten

Beschränkte Vollständigkeit Bearbeiten

Sei die Menge der beschränkten Funktionen auf . Eine Verteilungsklasse heißt beschränkt vollständig, wenn sie vollständig für ist. Die Definitionen einer beschränkt vollständigen σ-Algebra und einer beschränkt vollständigen Statistik folgen wie oben.

L-Vollständigkeit Bearbeiten

Für eine gegebene Menge von Funktionen heißt eine Verteilungsklasse -vollständig, wenn sie vollständig für ist. Die Definitionen einer -vollständigen σ-Algebra und einer -vollständigen Statistik folgen wie oben.

Beschränkte L-Vollständigkeit Bearbeiten

Die beiden obigen Begriffe lassen sich auch kombinieren: Eine Verteilungsklasse heißt beschränkt -vollständig, wenn sie vollständig für ist. Die Definitionen einer beschränkt -vollständigen σ-Algebra und einer beschränkt -vollständigen Statistik folgen wie oben.

Anwendung Bearbeiten

Statistische Vollständigkeit ist eine Voraussetzung für den Satz von Lehmann-Scheffé, in diesem Zusammenhang wurde der Begriff von E. L. Lehmann und H. Scheffé auch in die Statistik eingeführt. Die Sätze von Basu stellen einen Zusammenhang zwischen der Vollständigkeit, der Suffizienz und der Verteilungsfreiheit her.

Literatur Bearbeiten

  • Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
  • Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.
  • E.L. Lehmann, H. Scheffé: Completeness, similar regions, and unbiased estimation. I. In: Sankhyā. 10, Nr. 4, 1950, S. 305–340.
  • E.L. Lehmann, H. Scheffé: Completeness, similar regions, and unbiased estimation. II. In: Sankhyā. 15, Nr. 3, 1955, S. 219–236.
  • Helmut Pruscha: Vorlesungen über Mathematische Statistik. B. G. Teubner, Stuttgart 2000, ISBN 3-519-02393-8, Abschnitt II.3.
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Veröffentlichungsdatum:
Als Vollstandigkeit bezeichnet man in der Schatztheorie einem Teilgebiet der mathematischen Statistik eine Eigenschaft von Verteilungsklassen s Algebren oder messbaren Funktionen Im Allgemeinen sind vollstandige Verteilungsklassen gross wohingegen vollstandige s Algebren klein sind Die Vollstandigkeit spielt meist in Verbindung mit der Suffizienz eine Rolle So liefert sie Kriterien fur die Minimalsuffizienz oder die Existenz gleichmassig bester erwartungstreuer Schatzer mittels des Satzes von Lehmann Scheffe Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Fur Verteilungsklassen 1 2 Fur s Algebren 1 3 Fur Statistiken 2 Erlauterung 3 Gegenbeispiele 4 Prazisierungen 4 1 Beschrankte Vollstandigkeit 4 2 L Vollstandigkeit 4 3 Beschrankte L Vollstandigkeit 5 Anwendung 6 LiteraturDefinition BearbeitenFur Verteilungsklassen Bearbeiten Gegeben sei ein Messraum X A displaystyle X mathcal A nbsp und eine Menge P displaystyle mathcal P nbsp von Wahrscheinlichkeitsmassen auf diesem Messraum Dann heisst P displaystyle mathcal P nbsp vollstandig wenn die Menge der P displaystyle mathcal P nbsp Nullschatzer P displaystyle mathcal P nbsp trivial ist Sprich fur alle f L X A P mit E P f 0 f u r a l l e P P displaystyle f in mathcal L X mathcal A mathcal P text mit operatorname E P f 0 quad mathrm f ddot u r alle P in mathcal P nbsp gilt f 0 P fast sicher displaystyle f 0 quad mathcal P text fast sicher nbsp Dabei bezeichnet L X A P displaystyle mathcal L X mathcal A mathcal P nbsp den Raum aller P displaystyle mathcal P nbsp integrierbaren Funktionen siehe Lp Raum Fur s Algebren Bearbeiten Eine Unter s Algebra T displaystyle mathcal T nbsp von A displaystyle mathcal A nbsp heisst vollstandig fur P displaystyle mathcal P nbsp wenn P T displaystyle mathcal P mathcal T nbsp vollstandig auf dem Messraum X T displaystyle X mathcal T nbsp ist Dabei bedeutet P T displaystyle mathcal P mathcal T nbsp dass man den Definitionsbereich aller Wahrscheinlichkeitsmasse in P displaystyle mathcal P nbsp auf die kleinere s Algebra T displaystyle mathcal T nbsp einschrankt Fur Statistiken Bearbeiten Eine Statistik T X A Y A displaystyle T X mathcal A to Y mathcal A nbsp heisst vollstandig wenn die von ihr erzeugte s Algebra s T displaystyle sigma T nbsp vollstandig ist bzw P s T displaystyle mathcal P sigma T nbsp vollstandig ist Haufig wird die Verteilungsklasse P displaystyle mathcal P nbsp mit einem Index ϑ displaystyle vartheta nbsp versehen man schreibt dann P P ϑ ϑ 8 displaystyle mathcal P P vartheta vartheta in Theta nbsp Formuliert man in dieser Schreibweise die Vollstandigkeit aus so erhalt man die gangige Definition Eine Statistik T displaystyle T nbsp heisst vollstandig wenn fur alle integrierbaren g displaystyle g nbsp mit E ϑ g T 0 f u r a l l e ϑ 8 displaystyle operatorname E vartheta g T 0 quad mathrm f ddot u r alle vartheta in Theta nbsp immer folgt dass P ϑ g T 0 1 f u r a l l e ϑ 8 displaystyle P vartheta g T 0 1 quad mathrm f ddot u r alle vartheta in Theta nbsp Erlauterung BearbeitenIntuitiv zuganglicher ist die folgende Definition der Vollstandigkeit einer Verteilungsklasse Eine Verteilungsklasse ist vollstandig genau dann wenn sie eine trennende Familie fur L X A P displaystyle mathcal L X mathcal A mathcal P nbsp ist Das heisst fur beliebige f g L X A P displaystyle f g in mathcal L X mathcal A mathcal P nbsp mit f d P g d P f u r a l l e P P displaystyle int f mathrm d P int g mathrm d P quad mathrm f ddot u r alle P in mathcal P nbsp folgt f g P fast sicher displaystyle f g quad mathcal P text fast sicher nbsp Die Verteilungsklasse P displaystyle mathcal P nbsp ist also gross genug um alle Funktionen aus L X A P displaystyle mathcal L X mathcal A mathcal P nbsp unterscheiden zu konnen Gegenbeispiele BearbeitenSeien X 1 X 2 displaystyle X 1 X 2 nbsp unabhangig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert ϑ displaystyle vartheta nbsp und beschrankter Varianz Dann ist E X 1 X 2 E g X 1 X 2 0 displaystyle operatorname E X 1 X 2 operatorname E g X 1 X 2 0 nbsp Die Funktion g displaystyle g nbsp ist also ein erwartungstreuer Schatzer von 0 und der Integrand ist nicht die Nullfunktion Prazisierungen BearbeitenBeschrankte Vollstandigkeit Bearbeiten Sei B X A displaystyle B X mathcal A nbsp die Menge der beschrankten Funktionen auf X A displaystyle X mathcal A nbsp Eine Verteilungsklasse P displaystyle mathcal P nbsp heisst beschrankt vollstandig wenn sie vollstandig fur B X A L X A P displaystyle B X mathcal A cap L X mathcal A mathcal P nbsp ist Die Definitionen einer beschrankt vollstandigen s Algebra und einer beschrankt vollstandigen Statistik folgen wie oben L Vollstandigkeit Bearbeiten Fur eine gegebene Menge von Funktionen L displaystyle mathcal L nbsp heisst eine Verteilungsklasse L displaystyle mathcal L nbsp vollstandig wenn sie vollstandig fur L L X A P displaystyle mathcal L cap L X mathcal A mathcal P nbsp ist Die Definitionen einer L displaystyle mathcal L nbsp vollstandigen s Algebra und einer L displaystyle mathcal L nbsp vollstandigen Statistik folgen wie oben Beschrankte L Vollstandigkeit Bearbeiten Die beiden obigen Begriffe lassen sich auch kombinieren Eine Verteilungsklasse heisst beschrankt L displaystyle mathcal L nbsp vollstandig wenn sie vollstandig fur L B X A L X A P displaystyle mathcal L cap B X mathcal A cap L X mathcal A mathcal P nbsp ist Die Definitionen einer beschrankt L displaystyle mathcal L nbsp vollstandigen s Algebra und einer beschrankt L displaystyle mathcal L nbsp vollstandigen Statistik folgen wie oben Anwendung BearbeitenStatistische Vollstandigkeit ist eine Voraussetzung fur den Satz von Lehmann Scheffe in diesem Zusammenhang wurde der Begriff von E L Lehmann und H Scheffe auch in die Statistik eingefuhrt Die Satze von Basu stellen einen Zusammenhang zwischen der Vollstandigkeit der Suffizienz und der Verteilungsfreiheit her Literatur BearbeitenLudger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Claudia Czado Thorsten Schmidt Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2011 ISBN 978 3 642 17260 1 doi 10 1007 978 3 642 17261 8 E L Lehmann H Scheffe Completeness similar regions and unbiased estimation I In Sankhya 10 Nr 4 1950 S 305 340 E L Lehmann H Scheffe Completeness similar regions and unbiased estimation II In Sankhya 15 Nr 3 1955 S 219 236 Helmut Pruscha Vorlesungen uber Mathematische Statistik B G Teubner Stuttgart 2000 ISBN 3 519 02393 8 Abschnitt II 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vollstandigkeit Statistik amp oldid 196434978