www.wikidata.de-de.nina.az

Satz von Lehmann Scheffé Der ist ein zentrales Resultat der Schätztheorie einem Teilgebiet der mathematischen Statistik

Satz von Lehmann-Scheffé

Der Satz von Lehmann-Scheffé ist ein zentrales Resultat der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Die auf dem Satz von Rao-Blackwell aufbauende Aussage liefert Kriterien, unter denen erwartungstreue Punktschätzer auch gleichmäßig beste erwartungstreue Schätzer sind, also eine geringere Varianz als alle weiteren erwartungstreuen Schätzer besitzen.

Der Satz ist nach Erich Leo Lehmann und Henry Scheffé benannt.

Aussage Bearbeiten

Der Satz von Lehmann-Scheffé lässt sich auf unterschiedliche Weisen formulieren, die sich in ihrer Notation und den verwendeten Strukturen unterscheiden, inhaltlich aber identisch sind.

Für σ-Algebren Bearbeiten

Gegeben sei ein statistisches Modell und sei die Menge aller erwartungstreuer Schätzer mit endlicher Varianz für die Parameterfunktion . Die Unter-σ-Algebra sei sowohl suffizient für als auch vollständig für .

Ist , dann ist die Rao-Blackwell-Verbesserung von bezüglich gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für . Sprich es gilt

und alle weiteren .

Für Statistiken Bearbeiten

Die Formulierung mittels Statistiken folgt direkt aus der obigen: Die suffiziente, vollständige σ-Algebra wird durch eine suffiziente, vollständige Statistik ersetzt. Teils wird auch als notiert. Dies bedeutet nicht, dass die Aussage nur für parametrische Modelle gilt. Voll ausformuliert lautet die Aussage dann: ist ein gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für , sprich es ist

und alle weiteren .

Alternative Formulierungen Bearbeiten

Mögliche Umformulierungen der obigen Aussagen sind:

  • Ist suffizient und vollständig für und ist , so ist gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für .
  • Ist eine vollständige suffiziente Statistik und existiert ein , so dass ein erwartungstreuer Schätzer für ist, so ist ein gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für . Dies gilt, da . Setzt man nun in der obigen Aussage , so folgt diese Formulierung.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Eine Spezialisierung des Satzes von Lehmann-Scheffé ist der Satz von Barankin und Stein, der die Struktur lokal minimaler Schätzer beschreibt.

Literatur Bearbeiten

  • Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
  • Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Lehmann Scheffe ist ein zentrales Resultat der Schatztheorie einem Teilgebiet der mathematischen Statistik Die auf dem Satz von Rao Blackwell aufbauende Aussage liefert Kriterien unter denen erwartungstreue Punktschatzer auch gleichmassig beste erwartungstreue Schatzer sind also eine geringere Varianz als alle weiteren erwartungstreuen Schatzer besitzen Der Satz ist nach Erich Leo Lehmann und Henry Scheffe benannt Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 1 1 Fur s Algebren 1 2 Fur Statistiken 2 Alternative Formulierungen 3 Verallgemeinerungen 4 LiteraturAussage BearbeitenDer Satz von Lehmann Scheffe lasst sich auf unterschiedliche Weisen formulieren die sich in ihrer Notation und den verwendeten Strukturen unterscheiden inhaltlich aber identisch sind Fur s Algebren Bearbeiten Gegeben sei ein statistisches Modell X A P displaystyle X mathcal A mathcal P nbsp und sei D g displaystyle D g nbsp die Menge aller erwartungstreuer Schatzer mit endlicher Varianz fur die Parameterfunktion g displaystyle g nbsp Die Unter s Algebra S A displaystyle mathcal S subset mathcal A nbsp sei sowohl suffizient fur P displaystyle mathcal P nbsp als auch vollstandig fur L 2 X A P displaystyle mathcal L 2 X mathcal A mathcal P nbsp Ist T D g displaystyle T in D g nbsp dann ist die Rao Blackwell Verbesserung T E T S displaystyle T operatorname E bullet T mathcal S nbsp von T displaystyle T nbsp bezuglich S displaystyle mathcal S nbsp gleichmassig bester erwartungstreuer Schatzer fur g displaystyle g nbsp Sprich es gilt Var P T Var P K f u r a l l e P P displaystyle operatorname Var P T leq operatorname Var P K quad mathrm f ddot u r alle P in mathcal P nbsp und alle weiteren K D g displaystyle K in D g nbsp Fur Statistiken Bearbeiten Die Formulierung mittels Statistiken folgt direkt aus der obigen Die suffiziente vollstandige s Algebra S displaystyle mathcal S nbsp wird durch eine suffiziente vollstandige Statistik S displaystyle S nbsp ersetzt Teils wird P displaystyle mathcal P nbsp auch als P ϑ ϑ 8 displaystyle P vartheta vartheta in Theta nbsp notiert Dies bedeutet nicht dass die Aussage nur fur parametrische Modelle gilt Voll ausformuliert lautet die Aussage dann T E T S displaystyle T operatorname E bullet T S nbsp ist ein gleichmassig bester erwartungstreuer Schatzer fur g displaystyle g nbsp sprich es ist Var ϑ T Var ϑ K f u r a l l e ϑ 8 displaystyle operatorname Var vartheta T leq operatorname Var vartheta K quad mathrm f ddot u r alle vartheta in Theta nbsp und alle weiteren K D g displaystyle K in D g nbsp Alternative Formulierungen BearbeitenMogliche Umformulierungen der obigen Aussagen sind Ist S displaystyle mathcal S nbsp suffizient und vollstandig fur L 2 X A P displaystyle mathcal L 2 X mathcal A mathcal P nbsp und ist T L 2 X S P D g displaystyle T in mathcal L 2 X mathcal S mathcal P cap D g nbsp so ist T displaystyle T nbsp gleichmassig bester erwartungstreuer Schatzer fur g displaystyle g nbsp Ist T displaystyle T nbsp eine vollstandige suffiziente Statistik und existiert ein h displaystyle h nbsp so dass h T displaystyle h circ T nbsp ein erwartungstreuer Schatzer fur g displaystyle g nbsp ist so ist h T displaystyle h circ T nbsp ein gleichmassig bester erwartungstreuer Schatzer fur g displaystyle g nbsp Dies gilt da E h T T h T displaystyle operatorname E bullet h circ T T h circ T nbsp Setzt man nun in der obigen Aussage S h T displaystyle S h circ T nbsp so folgt diese Formulierung Verallgemeinerungen BearbeitenEine Spezialisierung des Satzes von Lehmann Scheffe ist der Satz von Barankin und Stein der die Struktur lokal minimaler Schatzer beschreibt Literatur BearbeitenLudger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Claudia Czado Thorsten Schmidt Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2011 ISBN 978 3 642 17260 1 doi 10 1007 978 3 642 17261 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Lehmann Scheffe amp oldid 189247910