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Suffiziente σ Algebra Eine suffiziente σ Algebra ist ein spezielles Mengensystem in der mathematischen Statistik das ver

Suffiziente σ-Algebra

Eine suffiziente σ-Algebra ist ein spezielles Mengensystem in der mathematischen Statistik, das verwendet wird, um die Kompression von Daten ohne Informationsverlust mittels suffizienter Statistiken zu formalisieren.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein statistisches Modell sowie eine Teil-σ-Algebra . Sei der bedingte Erwartungswert gegeben unter Verwendung des Wahrscheinlichkeitsmaßes . Die σ-Algebra heißt dann suffizient für , wenn für jedes eine -messbare Funktion existiert, so dass

Bemerkungen Bearbeiten

Ein Defizit des Suffizienzbegriffes ist, dass wenn σ-Algebren sind mit und suffizient ist (bezüglich einer vorgegebenen Verteilungsklasse), dann folgt im Allgemeinen nicht, dass auch suffizient ist. Das würde man aber intuitiv erwarten, denn wenn schon die kleinere σ-Algebra ausreichend ist, um eine verlustfreie Datenkompression zu ermöglichen, dann sollte dies ebenso für die größere gelten, da sie ja die kleinere enthält, in der alle Informationen von Belang schon vorhanden sind. Zu beachten ist hier, dass die Datenkompression hier dem Weglassen der Mengen aus der größeren σ-Algebra entspricht.

Formell lässt sich dieses Defizit wie folgt einsehen: ist suffizient, so gilt laut Definition des bedingten Erwartungswertes

für alle , aber eben nicht notwendigerweise für alle .

Erläuterung Bearbeiten

Klar wird die Bedeutung des Begriffes, wenn man die Wahrscheinlichkeitsmaße aus auf einschränkt. Dann gilt

Da aber nicht von abhängt, können sich die Wahrscheinlichkeitsmaße nur dann unterscheiden, wenn schon deren Einschränkungen auf verschieden sind. Damit sind alle möglichen Informationen, welche die Wahrscheinlichkeitsmaße aus liefern können, bereits in enthalten.

Stabilität bezüglich Operationen Bearbeiten

  • Ist und ist suffizient für , so ist genau dann suffizient für , wenn suffizient ist für .
  • Sei die Mengen aller -Nullmengen. Sind und suffizient und ist , so ist auch suffizient.
  • Ist suffizient und ist eine abzählbar erzeugte σ-Algebra, so ist auch suffizient. Daraus folgt direkt, dass abzählbar erzeugte Ober-σ-Algebren von suffizienten σ-Algebren wieder suffizient sind.

Suffizienz und dominierte Verteilungsklassen Bearbeiten

Mittels des Satzes von Halmos-Savage lassen sich für dominierte Verteilungsklassen einige stärkere Aussagen zeigen:

  • Sei suffizient und . Dann ist jede σ-Algebra mit
  • ist genau dann suffizient bezüglich , wenn suffizient bezüglich ist für alle .
  • Sind für die Verteilungsklassen auf dominiert und ist suffizient, so ist auch suffizient bezüglich .

Eine weitere Möglichkeit zur Überprüfung der Suffizienz einer σ-Algebra bei Vorliegen einer dominierten Verteilungsklasse ist das Neyman-Kriterium.

Verwandte Begriffe Bearbeiten

Der bekannteste Begriff, der sich aus der Suffizienz einer σ-Algebra ableiten lässt, ist die suffiziente Statistik. Eine Statistik heißt suffizient, wenn die von ihr erzeugte σ-Algebra suffizient ist.

Eine Abwandlung des hier behandelten Suffizienzbegriffes ist die starke Suffizienz, die mittels Markow-Kernen definiert wird. Auf borelschen Räumen stimmen die beiden Begriffe überein. Eine Verstärkung der Suffizienz ist die Minimalsuffizienz: eine σ-Algebra ist minimalsuffizient, wenn sie bis auf -Nullmengen in jeder weiteren suffizienten σ-Algebra enthalten ist. Demnach ist eine minimalsuffiziente σ-Algebra die maximal mögliche Datenreduktion.

Ein ebenfalls verwandter, aber gegenläufiger Begriff ist der einer vollständigen Verteilungsklasse. Dies ist eine Verteilungsklasse , so dass auf alle Funktionen unterschieden werden können.

Gegenteil des Suffizienzbegriffs ist die Verteilungsfreiheit. Sie formalisiert, dass eine σ-Algebra keine Informationen trägt bzw. dass eine Statistik keine Informationen überträgt.

Eine Verbindung von Suffizienz, Vollständigkeit und Verteilungsfreiheit schlagen die drei Sätze von Basu.

Literatur Bearbeiten

  • Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
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Veröffentlichungsdatum:
Eine suffiziente s Algebra ist ein spezielles Mengensystem in der mathematischen Statistik das verwendet wird um die Kompression von Daten ohne Informationsverlust mittels suffizienter Statistiken zu formalisieren Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Bemerkungen 3 Erlauterung 4 Stabilitat bezuglich Operationen 5 Suffizienz und dominierte Verteilungsklassen 6 Verwandte Begriffe 7 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein statistisches Modell W A P displaystyle Omega mathcal A mathcal P nbsp sowie eine Teil s Algebra S A displaystyle mathcal S subset mathcal A nbsp Sei E P S displaystyle operatorname E P cdot mathcal S nbsp der bedingte Erwartungswert gegeben S displaystyle mathcal S nbsp unter Verwendung des Wahrscheinlichkeitsmasses P displaystyle P nbsp Die s Algebra S displaystyle mathcal S nbsp heisst dann suffizient fur P displaystyle mathcal P nbsp wenn fur jedes A A displaystyle A in mathcal A nbsp eine S displaystyle mathcal S nbsp messbare Funktion f A displaystyle f A nbsp existiert so dass f A E P 1 A S fur alle P P displaystyle f A operatorname E P mathbf 1 A mathcal S text fur alle P in mathcal P nbsp Bemerkungen BearbeitenEin Defizit des Suffizienzbegriffes ist dass wenn S 1 S 2 displaystyle mathcal S 1 mathcal S 2 nbsp s Algebren sind mit S 1 S 2 displaystyle mathcal S 1 subset mathcal S 2 nbsp und S 1 displaystyle mathcal S 1 nbsp suffizient ist bezuglich einer vorgegebenen Verteilungsklasse dann folgt im Allgemeinen nicht dass auch S 2 displaystyle mathcal S 2 nbsp suffizient ist Das wurde man aber intuitiv erwarten denn wenn schon die kleinere s Algebra ausreichend ist um eine verlustfreie Datenkompression zu ermoglichen dann sollte dies ebenso fur die grossere gelten da sie ja die kleinere enthalt in der alle Informationen von Belang schon vorhanden sind Zu beachten ist hier dass die Datenkompression hier dem Weglassen der Mengen aus der grosseren s Algebra entspricht Formell lasst sich dieses Defizit wie folgt einsehen ist S 1 displaystyle mathcal S 1 nbsp suffizient so gilt laut Definition des bedingten Erwartungswertes S f A d P P A S displaystyle int S f A mathrm d P P A cap S nbsp fur alle S S 1 displaystyle S in mathcal S 1 nbsp aber eben nicht notwendigerweise fur alle S S 2 displaystyle S in mathcal S 2 nbsp Erlauterung BearbeitenKlar wird die Bedeutung des Begriffes wenn man die Wahrscheinlichkeitsmasse aus P displaystyle mathcal P nbsp auf S displaystyle mathcal S nbsp einschrankt Dann gilt P A P A S d P S f A d P S displaystyle P A int P A mathcal S mathrm d P mathcal S int f A mathrm d P mathcal S nbsp Da aber f A displaystyle f A nbsp nicht von P P displaystyle P in mathcal P nbsp abhangt konnen sich die Wahrscheinlichkeitsmasse nur dann unterscheiden wenn schon deren Einschrankungen auf S displaystyle mathcal S nbsp verschieden sind Damit sind alle moglichen Informationen welche die Wahrscheinlichkeitsmasse aus P displaystyle mathcal P nbsp liefern konnen bereits in S displaystyle mathcal S nbsp enthalten Stabilitat bezuglich Operationen BearbeitenIst S S A displaystyle mathcal S subset mathcal S subset mathcal A nbsp und ist S displaystyle mathcal S nbsp suffizient fur P displaystyle mathcal P nbsp so ist S displaystyle mathcal S nbsp genau dann suffizient fur W A P displaystyle Omega mathcal A mathcal P nbsp wenn S displaystyle mathcal S nbsp suffizient ist fur W S P S displaystyle Omega mathcal S mathcal P mathcal S nbsp Sei N P displaystyle mathcal N mathcal P nbsp die Mengen aller P displaystyle mathcal P nbsp Nullmengen Sind S 1 displaystyle mathcal S 1 nbsp und S 2 displaystyle mathcal S 2 nbsp suffizient und ist N P S 1 displaystyle mathcal N mathcal P subset mathcal S 1 nbsp so ist auch S 1 S 2 displaystyle mathcal S 1 cap mathcal S 2 nbsp suffizient Ist S displaystyle mathcal S nbsp suffizient und ist E displaystyle mathcal E nbsp eine abzahlbar erzeugte s Algebra so ist auch s S E displaystyle sigma mathcal S mathcal E nbsp suffizient Daraus folgt direkt dass abzahlbar erzeugte Ober s Algebren von suffizienten s Algebren wieder suffizient sind Suffizienz und dominierte Verteilungsklassen BearbeitenMittels des Satzes von Halmos Savage lassen sich fur dominierte Verteilungsklassen P displaystyle mathcal P nbsp einige starkere Aussagen zeigen Sei S displaystyle mathcal S nbsp suffizient und S A displaystyle mathcal S subset mathcal A nbsp Dann ist jede s Algebra S displaystyle mathcal S nbsp mitS S A displaystyle mathcal S subset mathcal S subset mathcal A nbsp ebenfalls suffizient S displaystyle mathcal S nbsp ist genau dann suffizient bezuglich P displaystyle mathcal P nbsp wenn S displaystyle mathcal S nbsp suffizient bezuglich P P i P j displaystyle mathcal P P i P j nbsp ist fur alle P i P j P displaystyle P i P j in mathcal P nbsp Sind fur i 1 2 displaystyle i 1 2 nbsp die Verteilungsklassen P i displaystyle mathcal P i nbsp auf W i A i displaystyle Omega i mathcal A i nbsp dominiert und ist S i A i displaystyle mathcal S i subset mathcal A i nbsp suffizient so ist auch S 1 S 2 displaystyle mathcal S 1 otimes mathcal S 2 nbsp suffizient bezuglich P 1 P 2 displaystyle mathcal P 1 otimes mathcal P 2 nbsp Eine weitere Moglichkeit zur Uberprufung der Suffizienz einer s Algebra bei Vorliegen einer dominierten Verteilungsklasse ist das Neyman Kriterium Verwandte Begriffe BearbeitenDer bekannteste Begriff der sich aus der Suffizienz einer s Algebra ableiten lasst ist die suffiziente Statistik Eine Statistik T displaystyle T nbsp heisst suffizient wenn die von ihr erzeugte s Algebra s T displaystyle sigma T nbsp suffizient ist Eine Abwandlung des hier behandelten Suffizienzbegriffes ist die starke Suffizienz die mittels Markow Kernen definiert wird Auf borelschen Raumen stimmen die beiden Begriffe uberein Eine Verstarkung der Suffizienz ist die Minimalsuffizienz eine s Algebra ist minimalsuffizient wenn sie bis auf P displaystyle mathcal P nbsp Nullmengen in jeder weiteren suffizienten s Algebra enthalten ist Demnach ist eine minimalsuffiziente s Algebra die maximal mogliche Datenreduktion Ein ebenfalls verwandter aber gegenlaufiger Begriff ist der einer vollstandigen Verteilungsklasse Dies ist eine Verteilungsklasse P displaystyle mathcal P nbsp so dass auf L W S P displaystyle mathcal L Omega mathcal S mathcal P nbsp alle Funktionen unterschieden werden konnen Gegenteil des Suffizienzbegriffs ist die Verteilungsfreiheit Sie formalisiert dass eine s Algebra keine Informationen tragt bzw dass eine Statistik keine Informationen ubertragt Eine Verbindung von Suffizienz Vollstandigkeit und Verteilungsfreiheit schlagen die drei Satze von Basu Literatur BearbeitenLudger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Suffiziente s Algebra amp oldid 195260779