Satz von Halmos Savage Der ist ein Lehrsatz der mathematischen Statistik der bei Vorliegen einer dominierten Verteilungs

Satz von Halmos-Savage

Der Satz von Halmos-Savage ist ein Lehrsatz der mathematischen Statistik, der bei Vorliegen einer dominierten Verteilungsklasse ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Suffizienz von σ-Algebren (und damit auch von Statistiken) liefert. Damit ist der Satz von Halmos-Savage ein Hilfsmittel, um zu überprüfen, ob gewisse Funktionen eine Datenkompression ohne Informationsverlust ermöglichen. Aus dem Satz von Halmos-Savage lässt sich das leichter zu handhabende Neyman-Kriterium für Suffizienz ableiten. Ebenso lassen sich aus dem Satz Kriterien für die Existenz von minimalsuffizienten σ-Algebren ableiten.

Der Satz wurde 1949 von Paul Halmos und Leonard J. Savage bewiesen.

Rahmenbedingungen Bearbeiten

Gegeben sei ein statistisches Modell mit einer dominierten Verteilungsklasse .

Für eine beliebige Verteilungsklasse sei die Menge aller -Nullmengen. Für eine dominierte Verteilungsklasse existiert nun immer ein dominierendes , so dass und eine abzählbare Konvexkombination mit echt positiven Koeffizienten von Elementen aus ist. Es gilt also

Aussage Bearbeiten

Sei eine dominierte Verteilungsklasse und wie oben angegeben. Dann ist eine Unter-σ-Algebra von genau dann suffizient, wenn für alle eine Funktion existiert, so dass -fast sicher die Radon-Nikodým-Ableitung von bezüglich ist, also

Beispiel Bearbeiten

Seien σ-Algebren und sei suffizient. Außerdem sei eine dominierte Verteilungsklasse. Dann existiert nach dem Satz von Halmos-Savage ein , so dass und

Da aber ist, gilt . Da immer noch die Dichten-Eigenschaft erfüllt, ist mit nochmaliger Anwendung des Satzes auch suffizient.

Man beachte, dass diese Aussage im Allgemeinen nicht gilt und dies eines der Defizite des Suffizienzbegriffs darstellt.

Literatur Bearbeiten

Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.

Einzelnachweise Bearbeiten

Halmos, Savage: Application of the Radon-Nikodym Theorem to the Theory of Sufficient Statistics, Annals of Mathematical Statistics, Band 20, 1949, S. 225–241, Project Euclid

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 02, 2023, 23:41 pm

Der Satz von Halmos Savage ist ein Lehrsatz der mathematischen Statistik der bei Vorliegen einer dominierten Verteilungsklasse ein notwendiges und hinreichendes Kriterium fur die Suffizienz von s Algebren und damit auch von Statistiken liefert Damit ist der Satz von Halmos Savage ein Hilfsmittel um zu uberprufen ob gewisse Funktionen eine Datenkompression ohne Informationsverlust ermoglichen Aus dem Satz von Halmos Savage lasst sich das leichter zu handhabende Neyman Kriterium fur Suffizienz ableiten Ebenso lassen sich aus dem Satz Kriterien fur die Existenz von minimalsuffizienten s Algebren ableiten Der Satz wurde 1949 von Paul Halmos und Leonard J Savage bewiesen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Rahmenbedingungen 2 Aussage 3 Beispiel 4 Literatur 5 EinzelnachweiseRahmenbedingungen BearbeitenGegeben sei ein statistisches Modell X A P displaystyle X mathcal A mathcal P nbsp mit einer dominierten Verteilungsklasse P displaystyle mathcal P nbsp Fur eine beliebige Verteilungsklasse P displaystyle mathcal P nbsp sei N P displaystyle mathcal N mathcal P nbsp die Menge aller P displaystyle mathcal P nbsp Nullmengen Fur eine dominierte Verteilungsklasse existiert nun immer ein dominierendes P displaystyle P nbsp so dass N P N P displaystyle mathcal N mathcal P mathcal N P nbsp und P displaystyle P nbsp eine abzahlbare Konvexkombination mit echt positiven Koeffizienten von Elementen aus P displaystyle mathcal P nbsp ist Es gilt also P i 1 a i P i mit a i gt 0 und i 1 a i 1 displaystyle P sum i 1 infty alpha i P i text mit alpha i gt 0 text und sum i 1 infty alpha i 1 nbsp Aussage BearbeitenSei P displaystyle mathcal P nbsp eine dominierte Verteilungsklasse und P displaystyle P nbsp wie oben angegeben Dann ist eine Unter s Algebra S displaystyle mathcal S nbsp von A displaystyle mathcal A nbsp genau dann suffizient wenn fur alle P P displaystyle P in mathcal P nbsp eine Funktion f P L X S displaystyle f P in mathcal L X mathcal S nbsp existiert so dass f P displaystyle f P nbsp P displaystyle P nbsp fast sicher die Radon Nikodym Ableitung von P displaystyle P nbsp bezuglich P displaystyle P nbsp ist also f P d P d P P fast sicher displaystyle f P frac mathrm d P mathrm d P quad P text fast sicher nbsp Beispiel BearbeitenSeien S 1 S 2 A displaystyle mathcal S 1 subset mathcal S 2 subset mathcal A nbsp s Algebren und sei S 1 displaystyle mathcal S 1 nbsp suffizient Ausserdem sei P displaystyle mathcal P nbsp eine dominierte Verteilungsklasse Dann existiert nach dem Satz von Halmos Savage ein f P displaystyle f P nbsp so dass f P L X S 1 displaystyle f P in mathcal L X mathcal S 1 nbsp und f P d P d P P fast sicher displaystyle f P frac mathrm d P mathrm d P quad P text fast sicher nbsp Da aber L X S 1 L X S 2 displaystyle L X mathcal S 1 subset L X mathcal S 2 nbsp ist gilt f P L X S 2 displaystyle f P in L X mathcal S 2 nbsp Da f P displaystyle f P nbsp immer noch die Dichten Eigenschaft erfullt ist mit nochmaliger Anwendung des Satzes auch S 2 displaystyle mathcal S 2 nbsp suffizient Man beachte dass diese Aussage im Allgemeinen nicht gilt und dies eines der Defizite des Suffizienzbegriffs darstellt Literatur BearbeitenLudger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Einzelnachweise Bearbeiten Halmos Savage Application of the Radon Nikodym Theorem to the Theory of Sufficient Statistics Annals of Mathematical Statistics Band 20 1949 S 225 241 Project Euclid Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Halmos Savage amp oldid 208779041