Die Minimalsuffizienz ist in der mathematischen Statistik eine Verschärfung der Suffizienz. Die Suffizienz beantwortet die Frage, ob ein Mengensystem alle relevanten Informationen enthält oder ob eine Abbildung alle relevanten Informationen überträgt. Die Minimalsuffizienz fragt dann nach der maximal möglichen Komprimierung der Daten, also beispielsweise nach der kleinsten σ-Algebra, die alle Informationen von Interesse enthält. Wie bei der Suffizienz wird Minimalsuffizienz für σ-Algebren und darauf aufbauend für Statistiken definiert. Die eng verwandte minimalsuffiziente Statistik kann mit dieser Definition zusammenfallen, tut dies jedoch im Allgemeinen nicht.
Definition Bearbeiten
Gegeben sei ein statistisches Modell mit Verteilungsklasse . Eine suffiziente σ-Algebra heißt eine minimalsuffiziente σ-Algebra, wenn sie bis auf -Nullmengen in jeder weiteren suffizienten σ-Algebra enthalten ist, also
Bezeichnet man mit die Menge aller -Nullmengen, so ist dies äquivalent zu .
Abgeleitet heißt eine Statistik
minimalsuffizient, wenn eine minimalsuffiziente σ-Algebra ist.
Davon zu unterscheiden ist die minimalsuffiziente Statistik: die Statistik heißt eine minimalsuffiziente Statistik (auch minimal-erschöpfende Statistik genannt), wenn für jede suffiziente Statistik
in einen weiteren Messraum eine Abbildung
existiert, so dass bis auf -Nullmengen.
Bemerkungen Bearbeiten
- Wie schon bemerkt fällt die Minimalsuffizienz der von einer Statistik erzeugten σ-Algebra und die Tatsache, dass es sich bei der Statistik um eine minimalsuffiziente Statistik handelt, nicht immer zusammen. In borelschen Räumen sind aber beide Begriffe identisch. Allgemein ist hier jedoch sprachliche Präzision gefordert, um Missverständnissen vorzubeugen.
- Im Allgemeinen existiert keine minimalsuffiziente σ-Algebra und damit auch keine Statistik, deren erzeugte σ-Algebra minimalsuffizient ist.
Existenzaussagen Bearbeiten
Bei dominierten Verteilungsklassen Bearbeiten
Ist eine dominierte Verteilungsklasse, so existiert eine minimalsuffiziente σ-Algebra, sie ist gegeben durch
Die minimalsuffiziente σ-Algebra wird also von den Dichten der Wahrscheinlichkeitsmaße bezüglich erzeugt. Dabei ist ein dominierendes Maß, das als abzählbare Konvexkombination von Elementen von dargestellt werden kann. Der Beweis erfolgt mit dem Satz von Halmos-Savage.
Bei Separabilität der Verteilungsklasse Bearbeiten
Ist die Verteilungsklasse separabel bezüglich der Totalvariationsnorm, so existiert eine minimalsuffiziente Statistik.
Weblinks Bearbeiten
- A.S. Kholevo: Minimal sufficient statistic. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
Literatur Bearbeiten
- Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.