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Verteilungsfreiheit Die ist ein Konzept der mathematischen Statistik welches formalisiert dass aus gewissen Mengensystem

Verteilungsfreiheit

Die Verteilungsfreiheit ist ein Konzept der mathematischen Statistik, welches formalisiert, dass aus gewissen Mengensystemen oder mittels gewisser messbarer Abbildungen keine Informationen extrahiert werden können, sie sind also uninformativ. Somit ist die Verteilungsfreiheit das Gegenstück zur Suffizienz, die formalisiert, dass alle relevanten Daten extrahiert werden können. Wie auch bei der Suffizienz unterscheidet man in verteilungsfreie σ-Algebren und verteilungsfreie Statistiken.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein statistisches Modell mit Verteilungsklasse .

Verteilungsfreie σ-Algebra Bearbeiten

Ist eine σ-Algebra, so heißt eine verteilungsfreie σ-Algebra bezüglich , wenn

gilt.

Bezeichnet man mit die Einschränkung des Definitionsbereiches des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die σ-Algebra , so gilt für eine Verteilungsfreie σ-Algebra bezüglich also

Die Wahrscheinlichkeitsmaße lassen sich also nicht anhand ihrer Werte auf unterscheiden.

Verteilungsfreie Statistik Bearbeiten

Eine Statistik

heißt genau dann eine verteilungsfreie Statistik, wenn die von erzeugte σ-Algebra eine verteilungsfreie σ-Algebra bezüglich ist. Äquivalent dazu ist, dass die von der Statistik erzeugten Bildmaße von alle identisch sind.

Wichtige Aussagen Bearbeiten

Die drei Sätze von Basu stellen einen Zusammenhang her zwischen den Begriffen der Verteilungsfreiheit, der Suffizienz und der Vollständigkeit. Verkürzt lauten sie:

  1. Eine suffiziente beschränkt vollständige Statistik und eine verteilungsfreie Statistik sind für alle stochastisch unabhängig.
  2. Sind für alle voneinander unabhängige σ-Algebren und ist suffizient, so ist (unter gewissen Zusatzannahmen) verteilungsfrei.
  3. Seien die σ-Algebren stochastisch unabhängig für alle und sei verteilungsfrei. Ist dann , so ist suffizient.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Eine Verallgemeinerung einer verteilungsfreien Statistik ist eine Pivotstatistik. Diese finden bei der Konstruktion von Bereichsschätzern und somit bei der Bestimmung von Konfidenzbereichen Anwendung.

Literatur Bearbeiten

  • Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
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Die Verteilungsfreiheit ist ein Konzept der mathematischen Statistik welches formalisiert dass aus gewissen Mengensystemen oder mittels gewisser messbarer Abbildungen keine Informationen extrahiert werden konnen sie sind also uninformativ Somit ist die Verteilungsfreiheit das Gegenstuck zur Suffizienz die formalisiert dass alle relevanten Daten extrahiert werden konnen Wie auch bei der Suffizienz unterscheidet man in verteilungsfreie s Algebren und verteilungsfreie Statistiken Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Verteilungsfreie s Algebra 1 2 Verteilungsfreie Statistik 2 Wichtige Aussagen 3 Verallgemeinerungen 4 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein statistisches Modell W A P displaystyle Omega mathcal A mathcal P nbsp mit Verteilungsklasse P displaystyle mathcal P nbsp Verteilungsfreie s Algebra Bearbeiten Ist V A displaystyle mathcal V subset mathcal A nbsp eine s Algebra so heisst V displaystyle mathcal V nbsp eine verteilungsfreie s Algebra bezuglich P displaystyle mathcal P nbsp wenn P i V P j V fur alle V V und alle P i P j P displaystyle P i V P j V text fur alle V in mathcal V text und alle P i P j in mathcal P nbsp gilt Bezeichnet man mit P V displaystyle P mathcal V nbsp die Einschrankung des Definitionsbereiches des Wahrscheinlichkeitsmasses auf die s Algebra V displaystyle mathcal V nbsp so gilt fur eine Verteilungsfreie s Algebra bezuglich P displaystyle mathcal P nbsp also P i V P j V fur alle P i P j P displaystyle P i mathcal V P j mathcal V text fur alle P i P j in mathcal P nbsp Die Wahrscheinlichkeitsmasse lassen sich also nicht anhand ihrer Werte auf V displaystyle mathcal V nbsp unterscheiden Verteilungsfreie Statistik Bearbeiten Eine Statistik T W A W A displaystyle T Omega mathcal A to Omega mathcal A nbsp heisst genau dann eine verteilungsfreie Statistik wenn die von T displaystyle T nbsp erzeugte s Algebra s T T 1 A displaystyle sigma T T 1 mathcal A nbsp eine verteilungsfreie s Algebra bezuglich P displaystyle mathcal P nbsp ist Aquivalent dazu ist dass die von der Statistik erzeugten Bildmasse von P displaystyle mathcal P nbsp alle identisch sind Wichtige Aussagen BearbeitenDie drei Satze von Basu stellen einen Zusammenhang her zwischen den Begriffen der Verteilungsfreiheit der Suffizienz und der Vollstandigkeit Verkurzt lauten sie Eine suffiziente beschrankt vollstandige Statistik und eine verteilungsfreie Statistik sind fur alle P P displaystyle P in mathcal P nbsp stochastisch unabhangig Sind C D displaystyle mathcal C mathcal D nbsp fur alle P P displaystyle P in mathcal P nbsp voneinander unabhangige s Algebren und ist C displaystyle mathcal C nbsp suffizient so ist unter gewissen Zusatzannahmen D displaystyle mathcal D nbsp verteilungsfrei Seien die s Algebren C D displaystyle mathcal C mathcal D nbsp stochastisch unabhangig fur alle P P displaystyle P in mathcal P nbsp und sei D displaystyle mathcal D nbsp verteilungsfrei Ist dann s C D A displaystyle sigma mathcal C mathcal D mathcal A nbsp so ist C displaystyle mathcal C nbsp suffizient Verallgemeinerungen BearbeitenEine Verallgemeinerung einer verteilungsfreien Statistik ist eine Pivotstatistik Diese finden bei der Konstruktion von Bereichsschatzern und somit bei der Bestimmung von Konfidenzbereichen Anwendung Literatur BearbeitenLudger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Verteilungsfreiheit amp oldid 195260930