Topologischer Nullteiler Ein topologischer Nullteiler ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren

Topologischer Nullteiler

Ein topologischer Nullteiler ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Unter Ausnutzung der Topologie wird der algebraische Begriff des Nullteilers verallgemeinert.

Definition Bearbeiten

Sei eine Banachalgebra über dem Körper der komplexen Zahlen. Ein von 0 verschiedenes Element heißt linker topologischer Nullteiler, falls es eine Folge in gibt mit:

für alle ,
.

Ein rechter topologischer Nullteiler wird analog definiert, wobei im letzten Punkt natürlich zu schreiben ist.

Ein beidseitiger oder zweiseitiger topologischer Nullteiler ist ein linker und gleichzeitig rechter topologischer Nullteiler.

In kommutativen Banachalgebren fallen diese drei Begriffe zusammen und man spricht einfach von topologischen Nullteilern. Manche Autoren lassen auch 0 als topologischen Nullteiler zu; hier liegt also die gleiche uneinheitliche Situation wie bei den algebraischen Nullteilern vor.

Beispiele Bearbeiten

Linke (rechte, zweiseitige) Nullteiler sind linke (rechte, zweiseitige) topologische Nullteiler; man kann in diesem Fall eine konstante Folge wählen.

Skizze zu den verwendeten Funktionen

In der Funktionenalgebra der stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall [0,1] mit der Supremumsnorm ist ein topologischer Nullteiler, der kein Nullteiler ist. ist kein Nullteiler, denn ist , so muss zunächst für gelten, da auf nicht 0 ist. Die Stetigkeit von liefert dann für alle die Eigenschaft und damit muss (also die Nullfunktion auf ) sein und ist kein Nullteiler.

Ist eine Banachalgebra mit Einselement 1, kein Vielfaches des Einselements und aus dem topologischen Rand des Spektrums von , so ist ein topologischer Nullteiler. Daraus ergibt sich mit dem Satz von Gelfand-Mazur folgende auf W. Żelasko zurückgehende Aussage: Entweder ist isomorph zu oder hat topologische Nullteiler.

Permanent singuläre Elemente Bearbeiten

Ein Element einer Banachalgebra heißt bekanntlich singulär, wenn es nicht invertierbar ist. Ein Element heißt permanent singulär, falls es keine Banachalgebra gibt mit (bzw. ist isometrisch in eingebettet), so dass es in invertierbar ist. Es gilt folgender von R. Arens bewiesener Satz:

Ein Element einer kommutativen -Banachalgebra ist genau dann permanent singulär, wenn es ein topologischer Nullteiler ist.

Nullteiler Bearbeiten

Man kann jeden topologischen Nullteiler einer Banachalgebra als echten (algebraischen) Nullteiler einer umfassenden Banachalgebra realisieren. Genauer gilt:

Zu jeder Banachalgebra gibt es eine Banachalgebra , so dass folgendes gilt:

ist isometrisch isomorph zu einer Unterbanachalgebra von .
Jeder linke (rechte, zweiseitige) topologische Nullteiler von ist ein linker (rechter, zweiseitiger) Nullteiler in .

Zur Konstruktion von sei die Algebra aller beschränkten Folgen in . Für sei . Dann ist ein Ideal in und der Quotient ist mit der durch induzierten Quotientennorm eine Banachalgebra. Mittels konstanter Folgen kann man isometrisch isomorph in einbetten. Ist nun ein linker topologischer Nullteiler, so gibt es definitionsgemäß eine Folge in mit . Daher ist , aufgefasst als Element in , ein linker Nullteiler.

Einzelnachweise Bearbeiten

Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14: Topological Divisors of Zero
F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §1.12
Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.4
Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.7
Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.8

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Veröffentlichungsdatum: Februar 11, 2024, 22:20 pm

Ein topologischer Nullteiler ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren Unter Ausnutzung der Topologie wird der algebraische Begriff des Nullteilers verallgemeinert Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Permanent singulare Elemente 4 Nullteiler 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei A displaystyle A nbsp eine Banachalgebra uber dem Korper der komplexen Zahlen Ein von 0 verschiedenes Element x A displaystyle x in A nbsp heisst linker topologischer Nullteiler falls es eine Folge x n n displaystyle x n n nbsp in A displaystyle A nbsp gibt mit x n 1 displaystyle x n 1 nbsp fur alle n displaystyle n nbsp x x n n 0 displaystyle x cdot x n xrightarrow n to infty 0 nbsp Ein rechter topologischer Nullteiler wird analog definiert wobei im letzten Punkt naturlich x n x n 0 displaystyle x n cdot x xrightarrow n to infty 0 nbsp zu schreiben ist Ein beidseitiger oder zweiseitiger topologischer Nullteiler ist ein linker und gleichzeitig rechter topologischer Nullteiler 1 2 In kommutativen Banachalgebren fallen diese drei Begriffe zusammen und man spricht einfach von topologischen Nullteilern Manche Autoren lassen auch 0 als topologischen Nullteiler zu hier liegt also die gleiche uneinheitliche Situation wie bei den algebraischen Nullteilern vor Beispiele BearbeitenLinke rechte zweiseitige Nullteiler sind linke rechte zweiseitige topologische Nullteiler man kann in diesem Fall eine konstante Folge x n n displaystyle x n n nbsp wahlen nbsp Skizze zu den verwendeten FunktionenIn der Funktionenalgebra C 0 1 displaystyle C 0 1 nbsp der stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall 0 1 mit der Supremumsnorm ist x i d 0 1 displaystyle x mathrm id 0 1 nbsp ein topologischer Nullteiler der kein Nullteiler ist x displaystyle x nbsp ist kein Nullteiler denn ist x y 0 displaystyle xy 0 nbsp so muss y t 0 displaystyle y t 0 nbsp zunachst fur 0 lt t 1 displaystyle 0 lt t leq 1 nbsp gelten da x displaystyle x nbsp auf 0 1 displaystyle 0 1 nbsp nicht 0 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Nullteiler Daraus ergibt sich mit dem Satz von Gelfand Mazur folgende auf W Zelasko zuruckgehende Aussage Entweder ist A displaystyle A nbsp isomorph zu C displaystyle mathbb C nbsp oder A displaystyle A nbsp hat topologische Nullteiler 3 Permanent singulare Elemente BearbeitenEin Element einer Banachalgebra A displaystyle A nbsp heisst bekanntlich singular wenn es nicht invertierbar ist Ein Element heisst permanent singular falls es keine Banachalgebra A displaystyle tilde A nbsp gibt mit A A displaystyle A subset tilde A nbsp bzw A displaystyle A nbsp ist isometrisch in A displaystyle tilde A nbsp eingebettet so dass es in A displaystyle tilde A nbsp invertierbar ist Es gilt folgender von R Arens bewiesener Satz 4 Ein Element einer kommutativen C displaystyle mathbb C nbsp Banachalgebra ist genau dann permanent singular wenn es ein topologischer Nullteiler ist Nullteiler BearbeitenMan kann jeden topologischen Nullteiler einer Banachalgebra als echten algebraischen Nullteiler einer umfassenden Banachalgebra realisieren Genauer gilt 5 Zu jeder Banachalgebra A displaystyle A nbsp gibt es eine Banachalgebra A displaystyle tilde A nbsp so dass folgendes gilt A displaystyle A nbsp ist isometrisch isomorph zu einer Unterbanachalgebra von A displaystyle tilde A nbsp Jeder linke rechte zweiseitige topologische Nullteiler von A displaystyle A nbsp ist ein linker rechter zweiseitiger Nullteiler in A displaystyle tilde A nbsp Zur Konstruktion von A displaystyle tilde A nbsp sei A displaystyle overline A nbsp die Algebra aller beschrankten Folgen in A displaystyle A nbsp Fur x n n A displaystyle x n n in overline A nbsp sei x n n lim sup n x n displaystyle x n n limsup n to infty x n nbsp Dann ist N x n n A x n n 0 displaystyle N x n n in overline A x n n 0 nbsp ein Ideal in A displaystyle overline A nbsp und der Quotient A A N displaystyle tilde A overline A N nbsp ist mit der durch displaystyle cdot nbsp induzierten Quotientennorm eine Banachalgebra Mittels konstanter Folgen kann man A displaystyle A nbsp isometrisch isomorph in A displaystyle tilde A nbsp einbetten Ist nun x A displaystyle x in A nbsp ein linker topologischer Nullteiler so gibt es definitionsgemass eine Folge x n n displaystyle x n n nbsp in A displaystyle A nbsp mit lim sup n x x n 0 displaystyle limsup n to infty x cdot x n 0 nbsp Daher ist x displaystyle x nbsp aufgefasst als Element in A displaystyle tilde A nbsp ein linker Nullteiler Einzelnachweise Bearbeiten Wieslaw Zelazko Banach Algebras Elsevier 1973 ISBN 0 444 40991 2 14 Topological Divisors of Zero F F Bonsall J Duncan Complete Normed Algebras Springer Verlag 1973 ISBN 3 540 06386 2 1 12 Wieslaw Zelazko Banach Algebras Elsevier 1973 ISBN 0 444 40991 2 14 4 Wieslaw Zelazko Banach Algebras Elsevier 1973 ISBN 0 444 40991 2 14 7 Wieslaw Zelazko Banach Algebras Elsevier 1973 ISBN 0 444 40991 2 14 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Topologischer Nullteiler amp oldid 239013448