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Satz von Gelfand Mazur Der nach Israel Gelfand und Stanisław Mazur ist einer der Ausgangspunkte der Theorie der Banachal

Satz von Gelfand-Mazur

Der Satz von Gelfand-Mazur (nach Israel Gelfand und Stanisław Mazur) ist einer der Ausgangspunkte der Theorie der Banachalgebren. Er besagt, dass die einzige -Banachalgebra ist, die ein Schiefkörper ist.

Lemma über das Spektrum Bearbeiten

Sei eine -Banachalgebra mit Einselement . Dann gibt es zu jedem ein , so dass nicht invertierbar ist.

Man nennt die Menge aller , für die nicht invertierbar ist, auch das Spektrum von . Damit lässt sich diese Aussage prägnanter so formulieren, dass das Spektrum eines Elementes einer -Banachalgebra mit Einselement nicht leer ist.

Beweis Bearbeiten

Der Beweis besteht aus einem Zusammenspiel von Funktionalanalysis (Satz von Hahn-Banach) und Funktionentheorie (Satz von Liouville):

Wir nehmen an, sei für jedes invertierbar. Dann gilt für voneinander verschiedene

Man wende nun ein beliebiges an und teile obige Gleichung durch . Es folgt

.

Die rechte Seite existiert aus Stetigkeitsgründen für , denn die algebraischen Operationen inklusive Inversion in sind stetig und ist stetig. Daher ist die Funktion holomorph auf ganz . Sie verschwindet im Unendlichen, denn und ist stetig. Daher ist diese Funktion beschränkt und nach dem Satz von Liouville konstant, sie muss also auf ganz gleich sein. Da beliebig war, folgt aus dem Satz von Hahn-Banach, dass , aber das kann für ein invertierbares Element nicht sein. Dieser Widerspruch beendet den Beweis.

Satz von Gelfand-Mazur Bearbeiten

Ist die -Banachalgebra ein Schiefkörper, so ist .

Ist nämlich , so gibt es nach obigem Lemma ein , so dass nicht invertierbar ist. Da das einzige nicht-invertierbare Element in einem Schiefkörper ist, muss sein. Also ist jedes Element von ein -Vielfaches der Eins, und es folgt die Behauptung.

Folgerungen Bearbeiten

Aus dem obigen Lemma folgt unmittelbar der Fundamentalsatz der Algebra (im Spezialfall besagt der Satz schließlich genau, dass jede Matrix einen Eigenwert hat) und erscheint als ein elementares Beispiel des Satzes von Gelfand-Mazur.

Aus dem Satz von Gelfand-Mazur folgt trivialerweise der Vollständigkeitssatz von Ostrowski über archimedisch bewertete Körpererweiterungen von , da Absolutbeträge von Körpern zugleich Normen von Schiefkörpern sind.

Siehe auch Bearbeiten

Quellen Bearbeiten

  • R. V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983
  • R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg (1992)
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Der Satz von Gelfand Mazur nach Israel Gelfand und Stanislaw Mazur ist einer der Ausgangspunkte der Theorie der Banachalgebren Er besagt dass C displaystyle mathbb C die einzige C displaystyle mathbb C Banachalgebra ist die ein Schiefkorper ist Inhaltsverzeichnis 1 Lemma uber das Spektrum 2 Beweis 3 Satz von Gelfand Mazur 4 Folgerungen 5 Siehe auch 6 QuellenLemma uber das Spektrum BearbeitenSei A displaystyle A nbsp eine C displaystyle mathbb C nbsp Banachalgebra mit Einselement 1 displaystyle 1 nbsp Dann gibt es zu jedem a A displaystyle a in A nbsp ein l C displaystyle lambda in mathbb C nbsp so dass a l 1 displaystyle a lambda 1 nbsp nicht invertierbar ist Man nennt die Menge aller l C displaystyle lambda in mathbb C nbsp fur die a l 1 displaystyle a lambda 1 nbsp nicht invertierbar ist auch das Spektrum von a displaystyle a nbsp Damit lasst sich diese Aussage pragnanter so formulieren dass das Spektrum eines Elementes einer C displaystyle mathbb C nbsp Banachalgebra mit Einselement nicht leer ist Beweis BearbeitenDer Beweis besteht aus einem Zusammenspiel von Funktionalanalysis Satz von Hahn Banach und Funktionentheorie Satz von Liouville Wir nehmen an a l 1 displaystyle a lambda 1 nbsp sei fur jedes l C displaystyle lambda in mathbb C nbsp invertierbar Dann gilt fur voneinander verschiedene l m C displaystyle lambda mu in mathbb C nbsp a l 1 1 l m a m 1 1 a l 1 1 a m 1 a l 1 a m 1 1 a l 1 1 a m 1 1 displaystyle a lambda 1 1 lambda mu a mu 1 1 a lambda 1 1 a mu 1 a lambda 1 a mu 1 1 a lambda 1 1 a mu 1 1 nbsp Man wende nun ein beliebiges f A displaystyle f in A nbsp an und teile obige Gleichung durch l m displaystyle lambda mu nbsp Es folgtf a l 1 1 f a m 1 1 l m f a l 1 1 a m 1 1 displaystyle frac f a lambda 1 1 f a mu 1 1 lambda mu f a lambda 1 1 a mu 1 1 nbsp Die rechte Seite existiert aus Stetigkeitsgrunden fur m l displaystyle mu rightarrow lambda nbsp denn die algebraischen Operationen inklusive Inversion in A displaystyle A nbsp sind stetig und f displaystyle f nbsp ist stetig Daher ist die Funktion l f a l 1 1 displaystyle lambda mapsto f a lambda 1 1 nbsp holomorph auf ganz C displaystyle mathbb C nbsp Sie verschwindet im Unendlichen denn lim l a l 1 1 0 displaystyle lim lambda rightarrow infty a lambda 1 1 0 nbsp und f displaystyle f nbsp ist stetig Daher ist diese Funktion beschrankt und nach dem Satz von Liouville konstant sie muss also auf ganz C displaystyle mathbb C nbsp gleich 0 displaystyle 0 nbsp sein Da f A displaystyle f in A nbsp beliebig war folgt aus dem Satz von Hahn Banach dass a l 1 1 0 displaystyle a lambda 1 1 0 nbsp aber das kann fur ein invertierbares Element nicht sein Dieser Widerspruch beendet den Beweis Satz von Gelfand Mazur BearbeitenIst die C displaystyle mathbb C nbsp Banachalgebra A displaystyle A nbsp ein Schiefkorper so ist A C displaystyle A cong mathbb C nbsp Ist namlich a A displaystyle a in A nbsp so gibt es nach obigem Lemma ein l C displaystyle lambda in mathbb C nbsp so dass a l 1 displaystyle a lambda 1 nbsp nicht invertierbar ist Da 0 displaystyle 0 nbsp das einzige nicht invertierbare Element in einem Schiefkorper ist muss a l 1 displaystyle a lambda 1 nbsp sein Also ist jedes Element von A displaystyle A nbsp ein C displaystyle mathbb C nbsp Vielfaches der Eins und es folgt die Behauptung Folgerungen BearbeitenAus dem obigen Lemma folgt unmittelbar der Fundamentalsatz der Algebra im Spezialfall A C n n displaystyle A mathbb C n times n nbsp besagt der Satz schliesslich genau dass jede Matrix einen Eigenwert hat und erscheint als ein elementares Beispiel des Satzes von Gelfand Mazur Aus dem Satz von Gelfand Mazur folgt trivialerweise der Vollstandigkeitssatz von Ostrowski uber archimedisch bewertete Korpererweiterungen von C displaystyle mathbb C nbsp da Absolutbetrage von Korpern zugleich Normen von Schiefkorpern sind Siehe auch BearbeitenVollstandigkeitssatz von Ostrowski uber vollstandige archimedisch bewertete Korper Fundamentalsatz der Algebra Satz von Frobenius reelle Divisionsalgebren Quellen BearbeitenR V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras 1983 R Meise D Vogt Einfuhrung in die Funktionalanalysis Vieweg 1992 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Gelfand Mazur amp oldid 233088275