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Sternprodukt Das ist ein mathematischer Operator auf einer Poisson Mannigfaltigkeit der die Multiplikation der Algebra d

Sternprodukt

Das Sternprodukt ist ein mathematischer Operator auf einer Poisson-Mannigfaltigkeit, der die Multiplikation der Algebra der glatten komplexwertigen Funktionen deformiert, so dass eine nicht-kommutative assoziative Algebra entsteht.

Der Operator ist eine sogenannte „Deformierungsquantisierung“, eine Formalisierung der Quantisierung aus der Physik, welches den Übergang eines Systems aus der klassischen Physik in die Quantenphysik bezeichnet. Das Sternprodukt ist ein Spezialfall einer formalen Deformation.

Einführung Bearbeiten

Eine Poisson-Algebra, welche zusätzlich eine *-Algebra ist, nennt man Poisson-*-Algebra.

Die klassischen Observablen in der Physik bilden eine kommutative Poisson-*-Algebra von glatten, komplexen Funktionen auf einer Poisson-Mannigfaltigkeit , wohingegen die Quanten-Observablen eine *-Algebra von Operatoren auf einem Unterraum eines Hilbertraum bilden.

Die Quanten-Observablen sind Familien von selbstadjungierten Operatoren und ist im Allgemeinen nicht-kommutativ.

Der Übergang eines Systems aus der klassischen Mechanik in die Quantenmechanik nennt man „Quantisierung“. Eine Quantisierungsmethode ist die sogenannte „Deformierungsquantisierung“ (die von Flato, Lichnerowicz und Sternheimer eingeführt wurde), wobei die Struktur der Algebra der klassischen Observablen deformiert wird, sodass eine nicht-kommutative Algebra von Quanten-Observablen entsteht (statt die Observablen zu ändern).

Formale Deformation Bearbeiten

Sei ein kommutativer Ring und eine Algebra über . Sei der Ring der formalen Potenzreihen und mit bezeichne man die Algebra der formalen Potenzreihen über mit Koeffizienten in .

Dann nennt man eine formale Deformation des Multiplikationsoperators (der Algebra ), wenn eine -bilineare Abbildung ist

so dass für jedes

wobei die Multiplikation für formale Potenzreihen ist:

Definition Bearbeiten

Sei eine Poisson-Mannigfaltigkeit, wobei der Poisson-Tensor ist.

Ein Sternprodukt ist eine formale Deformation auf , das heißt es ist eine -bilineare Multiplikation

der Form:

wobei die -bilineare Abbildungen sind

so dass Folgendes gilt:

  1. Der ist assoziativ: für alle
  3. (wobei die Poisson-Klammern bezeichnet)
  4. für alle

Falls die bidifferentiale Operatoren sind, nennt man ein differentielles Sternprodukt.

Falls jedes ein bidifferentialer Operator der Ordnung in jedem Argument ist, so nennt man ein natürliches Sternprodukt.

Man nennt ein vom Weyl-Typ, falls und hermitesch ist, das heißt es gilt (mit Konvention )

Erläuterungen Bearbeiten

Die assoziative Struktur der Multiplikation wird gleichzeitig mit der Lie-Struktur der Poisson-Klammern deformiert.

Beispiele Bearbeiten

Existenz Bearbeiten

Auf symplektischen Mannigfaltigkeiten Bearbeiten

De Wilde und Lecomte bewiesen, dass auf jeder symplektischen Mannigfaltigkeit ein differentielles Sternprodukt existiert.

Auf Poisson-Mannigfaltigkeiten Bearbeiten

Maxim Konzewitsch bewies, dass sich jede endlichdimensionale Poisson-Mannigfaltigkeit quantisieren lässt, was die Existenz von differentiellen Sternprodukten auf beliebigen Poisson-Mannigfaltigkeiten impliziert. Er zeigte, dass die Menge der Äquivalenzklassen der differentiellen Sternprodukte auf einer Poisson-Mannigfaltigkeit mit der Menge der Äquivalenzklassen von Poisson-Deformationen von übereinstimmt.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Chiara Esposito: Formality Theory. Springer Verlag, 2015, ISBN 978-3-319-09289-8.
  2. Stefan Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6.
  3. Marc de Wilde, Pierre B. A. Lecomte: Existence of star-products and of formal deformations of the Poisson Lie algebra of arbitrary symplectic manifolds. In: Letters in Mathematical Physics. Band 7, Nr. 6, 1. November 1983, S. 487–496, doi:10.1007/BF00402248.
  4. Maxim Kontsevich: Deformation Quantization of Poisson Manifolds. In: Letters in Mathematical Physics. Band 66, Nr. 3, 1. Dezember 2003, S. 157–216, doi:10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf, arxiv:q-alg/9709040v1.
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Das Sternprodukt ist ein mathematischer Operator auf einer Poisson Mannigfaltigkeit der die Multiplikation der Algebra der glatten komplexwertigen Funktionen deformiert so dass eine nicht kommutative assoziative Algebra entsteht Der Operator ist eine sogenannte Deformierungsquantisierung eine Formalisierung der Quantisierung aus der Physik welches den Ubergang eines Systems aus der klassischen Physik in die Quantenphysik bezeichnet Das Sternprodukt ist ein Spezialfall einer formalen Deformation Inhaltsverzeichnis 1 Einfuhrung 1 1 Formale Deformation 2 Definition 2 1 Erlauterungen 3 Beispiele 4 Existenz 4 1 Auf symplektischen Mannigfaltigkeiten 4 2 Auf Poisson Mannigfaltigkeiten 5 EinzelnachweiseEinfuhrung BearbeitenEine Poisson Algebra welche zusatzlich eine Algebra ist nennt man Poisson Algebra Die klassischen Observablen in der Physik bilden eine kommutative Poisson Algebra A C C M displaystyle mathcal A C subseteq C infty M nbsp von glatten komplexen Funktionen auf einer Poisson Mannigfaltigkeit M p displaystyle M pi nbsp wohingegen die Quanten Observablen eine Algebra A Q M displaystyle mathcal A QM nbsp von Operatoren auf einem Unterraum D displaystyle D nbsp eines Hilbertraum H D displaystyle H supseteq D nbsp bilden Die Quanten Observablen sind Familien von selbstadjungierten Operatoren und A Q M displaystyle mathcal A QM nbsp ist im Allgemeinen nicht kommutativ Der Ubergang eines Systems aus der klassischen Mechanik in die Quantenmechanik nennt man Quantisierung Eine Quantisierungsmethode ist die sogenannte Deformierungsquantisierung die von Flato Lichnerowicz und Sternheimer eingefuhrt wurde wobei die Struktur der Algebra der klassischen Observablen deformiert wird sodass eine nicht kommutative Algebra von Quanten Observablen entsteht statt die Observablen zu andern Formale Deformation Bearbeiten Sei R displaystyle R nbsp ein kommutativer Ring und A displaystyle mathcal A nbsp eine Algebra uber R displaystyle R nbsp Sei R l displaystyle R lambda nbsp der Ring der formalen Potenzreihen und mit A l displaystyle mathcal A lambda nbsp bezeichne man die Algebra der formalen Potenzreihen uber R l displaystyle R lambda nbsp mit Koeffizienten in A displaystyle mathcal A nbsp Dann nennt man displaystyle star nbsp eine formale Deformation des Multiplikationsoperators displaystyle cdot nbsp der Algebra A displaystyle mathcal A nbsp wenn displaystyle star nbsp eine R l displaystyle R lambda nbsp bilineare Abbildung ist 1 A l A l A l displaystyle star mathcal A lambda times mathcal A lambda to mathcal A lambda nbsp so dass fur jedes u v A l displaystyle u v in mathcal A lambda nbsp u v u v mod l displaystyle u star v uv quad operatorname mod lambda nbsp wobei u v displaystyle uv nbsp die Multiplikation fur formale Potenzreihen ist u v n 0 l n k 0 n u k v n k u k v k A displaystyle uv sum limits n 0 infty lambda n sum limits k 0 n u k v n k quad u k v k in mathcal A nbsp Definition BearbeitenSei M p displaystyle M pi nbsp eine Poisson Mannigfaltigkeit wobei p displaystyle pi nbsp der Poisson Tensor ist Ein Sternprodukt displaystyle star nbsp ist eine formale Deformation auf C M l displaystyle C infty M lambda nbsp das heisst es ist eine C l displaystyle mathbb C lambda nbsp bilineare Multiplikation 2 C M l C M l C M l displaystyle star C infty M lambda times C infty M lambda to C infty M lambda nbsp der Form f g r 0 l r C r f g displaystyle f star g sum limits r 0 infty lambda r C r f g nbsp wobei die C r displaystyle C r nbsp C displaystyle mathbb C nbsp bilineare Abbildungen sind C r C M C M C M displaystyle C r C infty M times C infty M to C infty M nbsp so dass Folgendes gilt Der displaystyle star nbsp ist assoziativ f g h f g h displaystyle f star g star h f star g star h nbsp fur alle f g h C M displaystyle f g h in C infty M nbsp C 0 f g f g displaystyle C 0 f g fg nbsp C 1 f g C 1 g f i f g displaystyle C 1 f g C 1 g f i f g quad nbsp wobei displaystyle nbsp die Poisson Klammern bezeichnet 1 f f f 1 displaystyle 1 star f f f star 1 nbsp fur alle f C M displaystyle f in C infty M nbsp Falls die C r displaystyle C r nbsp bidifferentiale Operatoren sind nennt man displaystyle star nbsp ein differentielles Sternprodukt Falls jedes C r displaystyle C r nbsp ein bidifferentialer Operator der Ordnung r displaystyle r nbsp in jedem Argument ist so nennt man displaystyle star nbsp ein naturliches Sternprodukt Man nennt ein displaystyle star nbsp vom Weyl Typ falls C r f g 1 r C r g f displaystyle C r f g 1 r C r g f nbsp und displaystyle star nbsp hermitesch ist das heisst es gilt f g f g displaystyle overline f star g bar f star bar g nbsp mit Konvention l l displaystyle bar lambda lambda nbsp Erlauterungen Bearbeiten Die assoziative Struktur der Multiplikation wird gleichzeitig mit der Lie Struktur der Poisson Klammern deformiert Beispiele BearbeitenDas Moyal Produkt W displaystyle star W nbsp auf M R 2 n displaystyle M mathbb R 2n nbsp mit einer kanonischen symplektischen Form p w displaystyle pi omega nbsp und der Planckschen Konstante l ℏ displaystyle lambda hbar nbsp ist ein Sternprodukt Fur f g C R 2 n displaystyle f g in C infty mathbb R 2n nbsp giltf W g f q p exp i ℏ 2 q p p q g q p displaystyle f star W g f q p exp left frac mathrm i hbar 2 left overset leftarrow partial q overset rightarrow partial p overset leftarrow partial p overset rightarrow partial q right right g q p nbsp dd Existenz BearbeitenAuf symplektischen Mannigfaltigkeiten Bearbeiten De Wilde und Lecomte bewiesen dass auf jeder symplektischen Mannigfaltigkeit ein differentielles Sternprodukt existiert 3 Auf Poisson Mannigfaltigkeiten Bearbeiten Hauptartikel Konzewitschs Formel Maxim Konzewitsch bewies dass sich jede endlichdimensionale Poisson Mannigfaltigkeit quantisieren lasst was die Existenz von differentiellen Sternprodukten auf beliebigen Poisson Mannigfaltigkeiten impliziert Er zeigte dass die Menge der Aquivalenzklassen der differentiellen Sternprodukte auf einer Poisson Mannigfaltigkeit M P displaystyle M P nbsp mit der Menge der Aquivalenzklassen von Poisson Deformationen von P displaystyle P nbsp ubereinstimmt 4 Einzelnachweise Bearbeiten Chiara Esposito Formality Theory Springer Verlag 2015 ISBN 978 3 319 09289 8 Stefan Waldmann Poisson Geometrie und Deformationsquantisierung Springer Verlag 2001 ISBN 978 3 540 72517 6 Marc de Wilde Pierre B A Lecomte Existence of star products and of formal deformations of the Poisson Lie algebra of arbitrary symplectic manifolds In Letters in Mathematical Physics Band 7 Nr 6 1 November 1983 S 487 496 doi 10 1007 BF00402248 Maxim Kontsevich Deformation Quantization of Poisson Manifolds In Letters in Mathematical Physics Band 66 Nr 3 1 Dezember 2003 S 157 216 doi 10 1023 B MATH 0000027508 00421 bf arxiv q alg 9709040v1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sternprodukt amp oldid 224945910