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Poisson Mannigfaltigkeit Als bezeichnet man in der Mathematik eine differenzierbare Mannigfaltigkeit die mit einer Poiss

Poisson-Mannigfaltigkeit

Als Poisson-Mannigfaltigkeit bezeichnet man in der Mathematik eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die mit einer Poisson-Struktur versehen ist. Eine Poisson-Struktur ist eine bilineare Abbildung auf der Algebra der glatten Funktionen, welche die Eigenschaften einer Poisson-Klammer erfüllt. Benannt sind die Poisson-Mannigfaltigkeit, -Struktur und -Klammer nach dem Physiker und Mathematiker Siméon Denis Poisson.

Definition Bearbeiten

Eine Poisson-Struktur auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit kann entweder als Klammer oder als Bivektor definiert werden.

Als Poisson-Klammer Bearbeiten

Eine Poisson-Struktur auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist eine bilineare Abbildung

so dass die Klammer antisymmetrisch

ist, der Jacobi-Identität

genügt und für alle eine Derivation darstellt

Die bilineare Abbildung der Poisson-Struktur heißt Poisson-Klammer und eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Poisson-Struktur wird Poisson-Mannigfaltigkeit genannt.

Als Poisson-Bivektorfeld Bearbeiten

Ein Bivektorfeld auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist genau dann ein Poisson-Bivektorfeld (auch Poisson-Bivektor oder Poisson-Tensor genannt), wenn für die Schouten-Nijenhuis-Klammer auf dem Multivektorfeld gilt. Man nennt dann eine Poisson-Mannigfaltigkeit.

Beide Definitionen sind äquivalent, es gilt

Beispiel Bearbeiten

Sei eine Lie-Algebra mit Lie-Klammer und ihr Dualraum mit der Paarung . Auf kann für durch

mit eine Poisson-Klammer erklärt werden. Mit wird hier die Funktionalableitung von nach bezeichnet. Die Klammer wird Lie-Poisson-Klammer genannt. Zusammen mit dieser Poisson-Klammer wird zu einer Poisson-Mannigfaltigkeit. Diese Aussage heißt Satz von Lie-Poisson.

Anwendungen Bearbeiten

Insbesondere ist jede symplektische Mannigfaltigkeit auch eine Poisson-Mannigfaltigkeit. In diesem Fall ist dann die definierende Struktur

durch eine 2-Form genant ein Poisson-Bivektor von

beziehungsweise deren Komponenten in lokalen Koordinaten gegeben.

Poisson-Mannigfaltigkeiten können als algebraische Abstraktion von symplektischen Mannigfaltigkeit angesehen werden. Unterschiede bestehen neben einer viel größeren Klasse von Morphismen dann auch zum Beispiel darin, dass die Bedingung fallengelassen wird, die Poissonklammer solle nirgends singulär sein, also vollen Rang haben.

Anwendung findet dieser Kalkül beispielsweise in der Deformationstheorie. Er bietet dort Zugänge zur nichtkommutativen Geometrie und geometrischen Quantisierung.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 609–610.
  2. Stefan Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6, S. 213.
  3. R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 613.
  4. Izu Vaisman: The Poisson Bivector and the Schouten-Nijenhuis Bracket. Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds. Hrsg.: Birkhäuser Basel. 1994, doi:10.1007/978-3-0348-8495-2_2.
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Als Poisson Mannigfaltigkeit bezeichnet man in der Mathematik eine differenzierbare Mannigfaltigkeit die mit einer Poisson Struktur versehen ist Eine Poisson Struktur ist eine bilineare Abbildung auf der Algebra der glatten Funktionen welche die Eigenschaften einer Poisson Klammer erfullt Benannt sind die Poisson Mannigfaltigkeit Struktur und Klammer nach dem Physiker und Mathematiker Simeon Denis Poisson Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Als Poisson Klammer 1 2 Als Poisson Bivektorfeld 2 Beispiel 3 Anwendungen 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine Poisson Struktur auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp kann entweder als Klammer oder als Bivektor definiert werden Als Poisson Klammer Bearbeiten Eine Poisson Struktur auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp ist eine bilineare Abbildung M C M C M C M displaystyle cdot cdot M colon C infty M times C infty M to C infty M nbsp so dass die Klammer antisymmetrisch f g g f displaystyle f g g f nbsp ist der Jacobi Identitat f g h g h f h f g 0 displaystyle f g h g h f h f g 0 nbsp genugt und fur alle f g h C M displaystyle f g h in C infty M nbsp eine Derivation darstellt f g h f g h f h g displaystyle fg h f g h f h g nbsp Die bilineare Abbildung displaystyle cdot cdot nbsp der Poisson Struktur heisst Poisson Klammer und eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Poisson Struktur wird Poisson Mannigfaltigkeit genannt 1 Als Poisson Bivektorfeld Bearbeiten Ein Bivektorfeld w X 2 M G 2 T M displaystyle omega in mathfrak X 2 M Gamma wedge 2 TM nbsp auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp ist genau dann ein Poisson Bivektorfeld auch Poisson Bivektor oder Poisson Tensor genannt wenn fur die Schouten Nijenhuis Klammer auf dem Multivektorfeld w w S 0 displaystyle omega omega S 0 nbsp gilt Man nennt dann M w displaystyle M omega nbsp eine Poisson Mannigfaltigkeit 2 Beide Definitionen sind aquivalent es gilt f g w d f d g d f d g w displaystyle f g omega mathrm d f wedge mathrm d g langle mathrm d f otimes mathrm d g omega rangle nbsp Beispiel BearbeitenSei g displaystyle mathfrak g nbsp eine Lie Algebra mit Lie Klammer displaystyle cdot cdot nbsp und g displaystyle mathfrak g nbsp ihr Dualraum mit der Paarung g g R displaystyle langle cdot cdot rangle colon mathfrak g times mathfrak g to mathbb R nbsp Auf g displaystyle mathfrak g nbsp kann fur F G g R displaystyle F G colon mathfrak g to mathbb R nbsp durch F G m m d F d m d G d m displaystyle F G pm mu pm left langle mu left frac delta F delta mu frac delta G delta mu right right rangle nbsp mit m g displaystyle mu in mathfrak g nbsp eine Poisson Klammer erklart werden Mit d F d m g displaystyle tfrac delta F delta mu in mathfrak g nbsp wird hier die Funktionalableitung von F displaystyle F nbsp nach m displaystyle mu nbsp bezeichnet Die Klammer displaystyle cdot cdot pm nbsp wird Lie Poisson Klammer genannt Zusammen mit dieser Poisson Klammer wird g displaystyle mathfrak g nbsp zu einer Poisson Mannigfaltigkeit Diese Aussage heisst Satz von Lie Poisson 3 Anwendungen BearbeitenInsbesondere ist jede symplektische Mannigfaltigkeit auch eine Poisson Mannigfaltigkeit In diesem Fall ist dann die definierende Struktur f g i j w i j i f j g displaystyle f g sum ij omega ij partial i f partial j g nbsp durch eine 2 Form w X 2 M G 2 T M displaystyle omega in mathfrak X 2 M Gamma wedge 2 TM nbsp genant ein Poisson Bivektor von M M displaystyle M M nbsp w i j w i j d x i d x j displaystyle textstyle omega sum ij omega ij mathrm d x i mathrm d x j nbsp beziehungsweise deren Komponenten w i j displaystyle omega ij nbsp in lokalen Koordinaten gegeben 4 Poisson Mannigfaltigkeiten konnen als algebraische Abstraktion von symplektischen Mannigfaltigkeit angesehen werden Unterschiede bestehen neben einer viel grosseren Klasse von Morphismen dann auch zum Beispiel darin dass die Bedingung fallengelassen wird die Poissonklammer solle nirgends singular sein also vollen Rang haben Anwendung findet dieser Kalkul beispielsweise in der Deformationstheorie Er bietet dort Zugange zur nichtkommutativen Geometrie und geometrischen Quantisierung Einzelnachweise Bearbeiten R Abraham Jerrold E Marsden T Ratiu Manifolds tensor analysis and applications Applied mathematical sciences 75 2 Auflage Springer New York NY u a 1988 ISBN 0 387 96790 7 S 609 610 Stefan Waldmann Poisson Geometrie und Deformationsquantisierung Springer Verlag 2001 ISBN 978 3 540 72517 6 S 213 R Abraham Jerrold E Marsden T Ratiu Manifolds tensor analysis and applications Applied mathematical sciences 75 2 Auflage Springer New York NY u a 1988 ISBN 0 387 96790 7 S 613 Izu Vaisman The Poisson Bivector and the Schouten Nijenhuis Bracket Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds Hrsg Birkhauser Basel 1994 doi 10 1007 978 3 0348 8495 2 2 Normdaten Sachbegriff GND 4231918 3 lobid OGND AKS LCCN sh87008043 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Poisson Mannigfaltigkeit amp oldid 222377672