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Schrödinger Operator Der ist ein Operator aus der Quantenmechanik 1 Er gibt eine vereinfachte Beschreibung einer nicht r

Schrödinger-Operator

Der Schrödinger-Operator ist ein Operator aus der Quantenmechanik. Er gibt eine vereinfachte Beschreibung einer nicht-relativistischen Bewegung eines quantenmechanischen Teilchens in einem äußeren Potential. Im relativistischen Fall ist es der Dirac-Operator.

Die negativen Eigenwerte des Schrödinger-Operators entsprechen den sogenannten gebundenen Zuständen, etwa Energien der Elektronen, die an einen Atomkern gebunden sind.

Die Spektraltheorie des Schrödinger-Operators ist seit 1950 aufgrund ihrer mathematischen Fülle und ihrer physikalischen Bedeutung intensiv entwickelt worden.

Definition und Einführung Bearbeiten

Der Schrödinger-Operator für ein Quantensystem ist der lineare, partielle Differentialoperator

auf dem Raum der quadratintegrierbaren Funktionen . Die Konstante ist die reduzierte Masse des Systems und ist das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum. Die reellwertige Funktion wird oft Potential genannt, der Laplace-Operator wird als Operator der kinetischen Energie bezeichnet. Diese Familie linearer Operatoren beschreibt für verschiedene Potentiale verschiedene Quantensysteme.

Elemente des Hilbertraum , die auch Wellenfunktionen genannt werden, stellen verschiedene Zustände des Systems dar. Die Zeitentwicklung einer Wellenfunktion für ein Quantensystem mit Schrödinger-Operator wird beschrieben durch die Schrödingergleichung

Für jeden vernünftigen Anfangswert des Systems hat die Lösung der Schrödingergleichung die Gestalt

wobei die Abbildung der Entwicklungsoperator für die Schrödingergleichung ist.

Eine Forderung aus der Quantenmechanik ist, dass

gilt. Eine weitere Forderung für die Eindeutigkeit von Lösungen der Schrödingergleichung ist, dass für alle

gilt.

Beispiel Bearbeiten

Als Potential betrachten wir das Coulombpotential:

wobei die Konstante für die Kernladungszahl steht.

Durch dieses Potential können wasserstoffähnliche Atome bzw. Ionen modelliert werden, bei denen z. B. ein einzelnes Elektron an einen Atomkern gebunden ist.

Der Schrödinger-Operator hat damit die Gestalt

Eigenschaften Bearbeiten

Dieser Abschnitt fasst einige Resultate des Schrödinger-Operators zusammen. Wichtige Aspekte des Schrödingeroperators sind dabei die Selbstadjungiertheit, das negative, das diskrete sowie das wesentliche Spektrum.

Wesentliche Selbstadjungiertheit Bearbeiten

Die Selbstadjungiertheit des Schrödinger-Operators ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für das Cauchyproblem der Schrödingergleichung, die zudem die Forderungen (1) und (2) erfüllen. Die Frage, ob der Schrödinger-Operator zu einem gegebenen Potential V selbstadjungiert ist, ist nicht leicht zu beantworten.

  • Falls und halbbeschränkt nach unten auf sind (das heißt, es gibt ein mit für alle ), so ist wesentlich selbstadjungiert auf .
  • Falls und reellwertig ist, so ist selbstadjungiert mit .
  • Falls messbar ist mit und mit für , für , so ist selbstadjungiert auf .

Diskretes Spektrum Bearbeiten

  • Falls und , so ist zu jedem das Spektrum von in diskret.

Negatives Spektrum Bearbeiten

Aus obigem Resultat wissen wir, dass das negative Spektrum diskret ist: dennoch stellt sich die Frage, ob es überhaupt negative Eigenwerte gibt.

  • Für mit , und hat der Schrödingeroperator mindestens einen negativen Eigenwert.
  • Sei . Dann gibt es eine Konstante , so dass für alle die Abschätzung gilt

Wesentliches Spektrum Bearbeiten

  • Falls und , dann ist .

Literatur Bearbeiten

  • David Borthwick: Spectral Theory: Basic Concepts and Applications (= Graduate Texts in Mathematics. Band 284). Springer, Cham, Switzerland 2020, ISBN 978-3-03038001-4, doi:10.1007/978-3-030-38002-1 (englisch).
  • P. D. Hislop, I. M. Sigal: Introduction to Spectral Theory: With Applications to Schrödinger Operators (= J. E. Marsden, L. Sirovich, F. John [Hrsg.]: Applied Mathematical Sciences. Band 113). Springer New York, New York, NY 1996, ISBN 978-1-4612-6888-8, doi:10.1007/978-1-4612-0741-2 (englisch).
  • Hans L. Cycon (Hrsg.): Schrödinger operators: with applications to quantum mechanics and global geometry (= Texts and monographs in physics). Corr. and extended 2. print Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-16758-7 (englisch).
  • Barry Simon: Schrödinger operators in the twentieth century. In: Journal of Mathematical Physics. Band 41, Nr. 6, Juni 2000, S. 3523–3555, doi:10.1063/1.533321 (englisch).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. V. Bach: Schrödinger Operators. In: Encyclopedia of Mathematical Physics. Elsevier, 2006, ISBN 978-0-12-512666-3, S. 487–494, doi:10.1016/b0-12-512666-2/00214-5 (englisch, elsevier.com [abgerufen am 28. Juli 2022]).
  2. David Borthwick: Schrödinger Operators. In: Spectral Theory. Band 284. Springer International Publishing, Cham 2020, ISBN 978-3-03038001-4, S. 183–223, doi:10.1007/978-3-030-38002-1_7 (englisch, springer.com [abgerufen am 28. Juli 2022]).
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Der Schrodinger Operator ist ein Operator aus der Quantenmechanik 1 Er gibt eine vereinfachte Beschreibung einer nicht relativistischen Bewegung eines quantenmechanischen Teilchens in einem ausseren Potential Im relativistischen Fall ist es der Dirac Operator Die negativen Eigenwerte des Schrodinger Operators entsprechen den sogenannten gebundenen Zustanden etwa Energien der Elektronen die an einen Atomkern gebunden sind Die Spektraltheorie des Schrodinger Operators ist seit 1950 aufgrund ihrer mathematischen Fulle und ihrer physikalischen Bedeutung intensiv entwickelt worden 2 Inhaltsverzeichnis 1 Definition und Einfuhrung 2 Beispiel 3 Eigenschaften 3 1 Wesentliche Selbstadjungiertheit 3 2 Diskretes Spektrum 3 3 Negatives Spektrum 3 4 Wesentliches Spektrum 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinition und Einfuhrung BearbeitenDer Schrodinger Operator fur ein Quantensystem ist der lineare partielle Differentialoperator H ℏ 2 2 m D V displaystyle H frac hbar 2 2m Delta V nbsp auf dem Raum der quadratintegrierbaren Funktionen L 2 R n displaystyle L 2 mathbb R n nbsp Die Konstante m displaystyle m nbsp ist die reduzierte Masse des Systems und ℏ displaystyle hbar nbsp ist das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum Die reellwertige Funktion V displaystyle V nbsp wird oft Potential genannt der Laplace Operator wird als Operator der kinetischen Energie bezeichnet Diese Familie linearer Operatoren beschreibt fur verschiedene Potentiale V displaystyle V nbsp verschiedene Quantensysteme Elemente des Hilbertraum L 2 R n displaystyle L 2 mathbb R n nbsp die auch Wellenfunktionen genannt werden stellen verschiedene Zustande des Systems dar Die Zeitentwicklung einer Wellenfunktion fur ein Quantensystem mit Schrodinger Operator H displaystyle H nbsp wird beschrieben durch die Schrodingergleichung i ℏ t ps t H ps t displaystyle i hslash frac partial partial t psi t H psi t nbsp Fur jeden vernunftigen Anfangswert des Systems ps 0 displaystyle psi 0 nbsp hat die Losung der Schrodingergleichung die Gestalt ps t U H t ps 0 displaystyle psi t U H t psi 0 nbsp wobei die Abbildung U H t ps 0 ps t displaystyle U H t colon psi 0 to psi t nbsp der Entwicklungsoperator fur die Schrodingergleichung ist Eine Forderung aus der Quantenmechanik ist dass ps 0 U H t ps 0 ps t 1 displaystyle parallel psi 0 parallel parallel U H t psi 0 parallel parallel psi t parallel qquad qquad 1 nbsp gilt Eine weitere Forderung fur die Eindeutigkeit von Losungen der Schrodingergleichung ist dass fur alle s t R displaystyle s t in mathbb R nbsp U H s U H t U H s t 2 displaystyle U H s U H t U H s t qquad qquad quad 2 nbsp gilt Beispiel BearbeitenAls Potential V displaystyle V nbsp betrachten wir das Coulombpotential V R 3 R x Z x Z gt 0 displaystyle V colon mathbb R 3 to mathbb R x mapsto frac Z x Z gt 0 nbsp wobei die Konstante Z displaystyle Z nbsp fur die Kernladungszahl steht Durch dieses Potential konnen wasserstoffahnliche Atome bzw Ionen modelliert werden bei denen z B ein einzelnes Elektron an einen Atomkern gebunden ist Der Schrodinger Operator H displaystyle H nbsp hat damit die Gestalt H ℏ 2 2 m D Z x displaystyle H frac hbar 2 2m Delta frac Z x nbsp Eigenschaften BearbeitenDieser Abschnitt fasst einige Resultate des Schrodinger Operators zusammen Wichtige Aspekte des Schrodingeroperators sind dabei die Selbstadjungiertheit das negative das diskrete sowie das wesentliche Spektrum Wesentliche Selbstadjungiertheit Bearbeiten Die Selbstadjungiertheit des Schrodinger Operators ist eine notwendige und hinreichende Bedingung fur die Existenz und Eindeutigkeit von Losungen fur das Cauchyproblem der Schrodingergleichung die zudem die Forderungen 1 und 2 erfullen Die Frage ob der Schrodinger Operator zu einem gegebenen Potential V selbstadjungiert ist ist nicht leicht zu beantworten Falls V C R n displaystyle V in C infty mathbb R n nbsp und H displaystyle H nbsp halbbeschrankt nach unten auf C 0 R n displaystyle C 0 infty mathbb R n nbsp sind das heisst es 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nbsp hat der Schrodingeroperator mindestens einen negativen Eigenwert Sei n 3 displaystyle n geq 3 nbsp Dann gibt es eine Konstante L n displaystyle L n nbsp so dass fur alle V C R n L n 2 R n lim x V x 0 displaystyle V in C infty mathbb R n cap L frac n 2 mathbb R n lim x to infty V x 0 nbsp die Abschatzung giltN H L n V x 0 V n 2 d x displaystyle N H leq L n int limits V x leq 0 V frac n 2 dx nbsp dd wobei N H displaystyle N H nbsp die Anzahl der negative Eigenwerte von H displaystyle H nbsp ist Wesentliches Spektrum Bearbeiten Sei s e s s displaystyle sigma ess nbsp das wesentliche Spektrum von H displaystyle H nbsp Falls H displaystyle H nbsp selbstadjungiert ist dann gilt l s e s s displaystyle lambda in sigma ess nbsp ist aquivalent dazu dass es eine Weyl Folge zu H displaystyle H nbsp und zu l displaystyle lambda nbsp gibt dd Falls V L loc R n C displaystyle V in L operatorname loc infty mathbb R n mathbb C nbsp und lim x V x 0 displaystyle lim x to infty V x 0 nbsp dann ist s e s s 0 displaystyle sigma ess 0 infty nbsp Literatur BearbeitenDavid Borthwick Spectral Theory Basic Concepts and Applications Graduate Texts in Mathematics Band 284 Springer Cham Switzerland 2020 ISBN 978 3 03038001 4 doi 10 1007 978 3 030 38002 1 englisch P D Hislop I M Sigal Introduction to Spectral Theory With Applications to Schrodinger Operators J E Marsden L Sirovich F John Hrsg Applied Mathematical Sciences Band 113 Springer New York New York NY 1996 ISBN 978 1 4612 6888 8 doi 10 1007 978 1 4612 0741 2 englisch Hans L Cycon Hrsg Schrodinger operators with applications to quantum mechanics and global geometry Texts and monographs in physics Corr and extended 2 print Auflage Springer Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 16758 7 englisch Barry Simon Schrodinger operators in the twentieth century In Journal of Mathematical Physics Band 41 Nr 6 Juni 2000 S 3523 3555 doi 10 1063 1 533321 englisch Einzelnachweise Bearbeiten V Bach Schrodinger Operators In Encyclopedia of Mathematical Physics Elsevier 2006 ISBN 978 0 12 512666 3 S 487 494 doi 10 1016 b0 12 512666 2 00214 5 englisch elsevier com abgerufen am 28 Juli 2022 David Borthwick Schrodinger Operators In Spectral Theory Band 284 Springer International Publishing Cham 2020 ISBN 978 3 03038001 4 S 183 223 doi 10 1007 978 3 030 38002 1 7 englisch springer com abgerufen am 28 Juli 2022 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schrodinger Operator amp oldid 231544199