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Traktrix v lat trahere ziehen schleppen pl Traktrizes 1 auch Schleppkurve Ziehkurve Zugkurve Treidelkurve ist eine spezi

Traktrix

Traktrix (v. lat. trahere „ziehen, schleppen“, pl. Traktrizes), auch Schleppkurve, Ziehkurve, Zugkurve, Treidelkurve, ist eine spezielle ebene Verfolgungskurve. Der Name erklärt sich daraus, dass diese Kurve von einem Massenpunkt beschrieben wird, der mit einem ihn ziehenden Punkt verbunden ist, der sich im rechten Winkel zur ursprünglichen Verbindungslinie der beiden Punkte bewegt.

Der Finger bewegt sich auf einer Geraden und schiebt eine auf dem Boden liegende Stange vor sich her. Die Stange bricht seitlich aus, bis sie rechtwinklig zur ursprünglichen Bewegungsrichtung steht, und wird nun vom Finger gezogen. Das ferne Ende der Stange beschreibt eine eigentliche Traktrix. Die Stange ist deckungsgleich mit dem Abschnitt der Tangente zur Traktrix, der zwischen ihrem Berührpunkt und der Geraden (der Koordinatenachse) verläuft.
Eigentliche Traktrix, Funktionsgraph für x und y, P startet in (4,0)

Die eigentliche (gerade) Traktrix ist die Kurve, bei der für jede Tangente der Abschnitt zwischen dem Berührpunkt und der Koordinatenachse konstant ist. Man nennt sie auch Huygens-Traktrix, nach Christiaan Huygens, der das zugrunde liegende Problem 1693 löste, nachdem es von Claude Perrault 1670 und Isaac Newton 1676 beschrieben wurde. Sie ist eine der Kurven, die mit dem Trivialnamen Hundekurve bezeichnet werden. Diese Kurve spielt in der hyperbolischen Geometrie eine wichtige Rolle.

Schon Leonhard Euler und andere beschäftigten sich bald darauf mit der allgemeinen Traktrix, die beliebige Leitkurven erlaubt. Sie spielt eine wichtige Rolle in der Modellierung des Fahrverhaltens, nämlich der Rückwärtsfahrt und dem Verhalten beim Durchfahren einer Kurve. Die daraus gewonnenen Erkenntnisse werden beim Entwurf von Straßen verwendet, um deren Befahrbarkeit zu überprüfen.

Eigentliche Traktrix Bearbeiten

Eine explizite Darstellung nach x(y) ist hierbei nicht möglich.

  • mit ergibt sich eine elegante Form (mit sech ):
  • mit , dem Winkel zwischen x-Achse und Tangente – erfordert keine Hyperbelfunktion:

Herleitung Bearbeiten

Im Folgenden sei die Kurve in 1. Hauptlage betrachtet: wandert entlang der x-Achse, mit :

Traktrix, Skizze beschriftet, Farbe
  1. Mit lässt sich aus dem Bildungsgesetz direkt folgende Differentialgleichung (Tangentenbedingung) ablesen:
  2. Die Lösung gelingt mit der Substitution . Dies entspricht der oben erwähnten Parameterdarstellung: .
  3. Es folgt und dann durch Trennung der Variablen

Integration liefert und Rücksubstitution:

Eigenschaften Bearbeiten

Allgemeine Traktrix Bearbeiten

Der Begriff der Traktrix lässt sich verallgemeinern:

Die Traktrix ist also eine allgemeine Radiodrome mit der Funktion

Anwendung im Straßenbau Bearbeiten

Die weiße Fläche stellt die Schleppkurve eines Pkws beim Befahren eines Kreisverkehrs dar.

Mit Hilfe der Schleppkurve kann das Fahrverhalten von Fahrzeugen modelliert werden, insbesondere der benötigte Platz bei Kurvenfahrten, aber auch das Verhalten bei Rückwärts-Fahrten sowie beim Abschleppen eines zweiten Fahrzeugs.

Beim Lenkvorgang eines Fahrzeuges laufen die Achsen hinter der Lenkachse „aus der Spur“: Sie verfolgen nicht exakt denselben Weg, so dass für eine Kurvenfahrt eine größere Fläche überstrichen wird, als der Spurstand vorgibt.

Die Größe und Art der überstrichenen Fläche hängt von mehreren Faktoren ab:

  • Dem Fahrverhalten des Fahrzeugführers
  • Der Entwurfsgeschwindigkeit, d. h. die maximale Fahrgeschwindigkeit, für die die Straße ausgelegt wird.
  • Dem Kurvenradius: Je enger eine Kurve gefahren wird, desto breiter ist die überstrichene Fläche.
  • Der Länge des Fahrzeuges: Je länger ein Fahrzeug ist, desto größer ist die überstrichene Fläche.
  • Der Lage der Achsen: Je nachdem, wo die Achsen im Verhältnis zur Fahrzeuglänge liegen, wird entweder eine größere Fläche zur Kurveninnenseite oder zur Kurvenaußenseite überstrichen (Warnhinweis "Heck schert aus").
  • Der Gliederung des Fahrzeuges: Anhänger, Sattelauflieger, Nachläufer etc.
  • Der Anzahl der gelenkten oder drehbaren Achsen.

Die überstrichene Fläche lässt sich mit Hilfe von vorgefertigten Schleppkurven, die für bestimmte Bemessungsfahrzeuge erstellt wurden, ermitteln. Für Spezialfahrzeuge können mit Hilfe von Computersimulationen die Schleppkurven berechnet werden. Basis für jede Berechnung bildet die so genannte Fahrlinie. Das Fahrzeug wird mit seinem Führungspunkt (in der Regel die Mitte der lenkenden Achse) entlang dieser Linie bewegt.

Die überstrichenen Flächen sind von Lichtsignalanlagen, Schildern u. ä. freizuhalten und entsprechend zu befestigen. Dafür werden beispielsweise bei engen Radien Fahrstreifenverbreiterungen notwendig. Des Weiteren ist bei der Ausbildung von Kurven und Kreuzungen darauf zu achten, dass der Gegenverkehr nicht behindert und gefährdet wird.

Diese fahrgeometrische Bemessung von Verkehrsanlagen steht im Gegensatz zum fahrdynamischen Entwurf, wie er insbesondere bei Landstraßen und Autobahnen angewandt wird.

Die dreidimensionale Erweiterung der Schleppkurve wird als Hüllkurve bezeichnet.

Normen und Standards Bearbeiten

  • FGSV-Verlag: Richtlinien für Bemessungsfahrzeuge und Schleppkurven zur Überprüfung der Befahrbarkeit von Verkehrsflächen, Köln, 2020.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Tractrix – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Traktix, In: Duden.de
  2. G. I. S. Point: Trassierungssoftware mit neuer Hüllkurve. Abgerufen am 19. Juli 2022.
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Traktrix v lat trahere ziehen schleppen pl Traktrizes 1 auch Schleppkurve Ziehkurve Zugkurve Treidelkurve ist eine spezielle ebene Verfolgungskurve Der Name erklart sich daraus dass diese Kurve von einem Massenpunkt beschrieben wird der mit einem ihn ziehenden Punkt verbunden ist der sich im rechten Winkel zur ursprunglichen Verbindungslinie der beiden Punkte bewegt Der Finger bewegt sich auf einer Geraden und schiebt eine auf dem Boden liegende Stange vor sich her Die Stange bricht seitlich aus bis sie rechtwinklig zur ursprunglichen Bewegungsrichtung steht und wird nun vom Finger gezogen Das ferne Ende der Stange beschreibt eine eigentliche Traktrix Die Stange ist deckungsgleich mit dem Abschnitt der Tangente zur Traktrix der zwischen ihrem Beruhrpunkt und der Geraden der Koordinatenachse verlauft Eigentliche Traktrix Funktionsgraph fur x und y P startet in 4 0 Die eigentliche gerade Traktrix ist die Kurve bei der fur jede Tangente der Abschnitt zwischen dem Beruhrpunkt und der Koordinatenachse konstant ist Man nennt sie auch Huygens Traktrix nach Christiaan Huygens der das zugrunde liegende Problem 1693 loste nachdem es von Claude Perrault 1670 und Isaac Newton 1676 beschrieben wurde Sie ist eine der Kurven die mit dem Trivialnamen Hundekurve bezeichnet werden Diese Kurve spielt in der hyperbolischen Geometrie eine wichtige Rolle Schon Leonhard Euler und andere beschaftigten sich bald darauf mit der allgemeinen Traktrix die beliebige Leitkurven erlaubt Sie spielt eine wichtige Rolle in der Modellierung des Fahrverhaltens namlich der Ruckwartsfahrt und dem Verhalten beim Durchfahren einer Kurve Die daraus gewonnenen Erkenntnisse werden beim Entwurf von Strassen verwendet um deren Befahrbarkeit zu uberprufen Inhaltsverzeichnis 1 Eigentliche Traktrix 1 1 Herleitung 1 2 Eigenschaften 2 Allgemeine Traktrix 3 Anwendung im Strassenbau 4 Normen und Standards 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseEigentliche Traktrix BearbeitenBildungsgesetz Sei A 0 displaystyle A 0 nbsp der Startpunkt eines Ziehenden und P 0 displaystyle P 0 nbsp der Startpunkt eines Gezogenen sowie d displaystyle d nbsp der Abstand A 0 P 0 gt 0 displaystyle A 0 P 0 gt 0 nbsp Wandert der Punkt A displaystyle A nbsp auf einer Geraden und folgt ihm der Punkt P displaystyle P nbsp in konstantem Abstand d displaystyle d nbsp dann durchlauft P displaystyle P nbsp eine Traktrix Funktionsgleichung in Kartesischen Koordinaten A 0 0 0 displaystyle A 0 0 0 nbsp im Ursprung P 0 d 0 displaystyle P 0 d 0 nbsp auf der x Achse A displaystyle A nbsp bewegt sich entlang der y Achse y x d ln d d 2 x 2 x arcosh d x d 2 x 2 displaystyle y x pm d cdot underbrace ln left d sqrt d 2 x 2 over x right operatorname arcosh frac d x mp sqrt d 2 x 2 nbsp Eine explizite Darstellung nach x y ist hierbei nicht moglich Parameterdarstellungenmit t a r c o s h d y displaystyle t arcosh frac d y nbsp ergibt sich eine elegante Form mit sech z 1 cosh z displaystyle z frac 1 cosh z nbsp x t d t tanh t displaystyle x t pm d cdot t tanh t nbsp y t d sech t displaystyle quad y t d cdot operatorname sech t nbsp dd mit w sin w y d 0 w p 2 displaystyle omega sin omega frac y d 0 leq omega leq frac pi 2 nbsp dem Winkel zwischen x Achse und Tangente erfordert keine Hyperbelfunktion x w d cos w ln tan w 2 displaystyle x omega pm d cdot left cos omega ln tan omega over 2 right nbsp y w d sin w displaystyle y omega d cdot sin omega nbsp dd mit l tan w 2 displaystyle lambda tan frac omega 2 nbsp eine Darstellung die die Arbeit mit tabellierten Werten erleichtert x l d l 2 1 l 2 1 ln l displaystyle x lambda pm d cdot left lambda 2 1 over lambda 2 1 ln lambda right nbsp y l 2 d l l 2 1 displaystyle y lambda 2d cdot lambda over lambda 2 1 nbsp dd Herleitung Bearbeiten Im Folgenden sei die Kurve in 1 Hauptlage betrachtet A 0 0 0 P 0 0 d A displaystyle A 0 0 0 P 0 0 d A nbsp wandert entlang der x Achse mit a A A 0 displaystyle a AA 0 nbsp nbsp Traktrix Skizze beschriftet FarbeMit d 2 a x 2 y 2 displaystyle d 2 a x 2 y 2 nbsp lasst sich aus dem Bildungsgesetz direkt folgende Differentialgleichung Tangentenbedingung ablesen y d y d x y a x y d 2 y 2 displaystyle y mathrm d y over mathrm d x mp y over a x mp y over sqrt d 2 y 2 nbsp Die Losung gelingt mit der Substitution d y cosh t displaystyle frac d y cosh t nbsp Dies entspricht der oben erwahnten Parameterdarstellung y d cosh t displaystyle y frac d cosh t nbsp Es folgt d y d sinh t cosh 2 t d t displaystyle dy d cdot frac sinh t cosh 2 t dt nbsp und dann durch Trennung der Variablen d x d 2 y 2 y d y d 1 1 cosh 2 t d t displaystyle mathrm d x mp frac sqrt d 2 y 2 y mathrm d y pm d left 1 frac 1 operatorname cosh 2 t right mathrm d t nbsp Integration liefert x d t tanh t displaystyle x pm d cdot t tanh t nbsp und Rucksubstitution 4 x y d arcosh d y 1 y d 2 displaystyle 4 quad x y pm d left operatorname arcosh d over y sqrt 1 left y over d right 2 right nbsp Eigenschaften Bearbeiten Offensichtlich ist 0 lt y d displaystyle 0 lt y leq d nbsp Ist d lt 0 displaystyle d lt 0 nbsp liegt der Graph spiegelverkehrt zur y Achse Fur P 0 0 d displaystyle P 0 0 d nbsp fallen beide moglichen Tangenten mit der y Achse zusammen der Punkt P 0 displaystyle P 0 nbsp ist also eine eigentliche Spitze Die Lange der Kurve zwischen x x 1 displaystyle x x 1 nbsp und x x 2 displaystyle x x 2 nbsp errechnet sich zu l d ln y 1 y 2 displaystyle l d cdot ln left y 1 over y 2 right nbsp Die Flache unter der Traktrix A d 2 p 2 displaystyle A d 2 cdot tfrac pi 2 nbsp Die Evolute der Traktrix ist die Katenoide x d cosh y d displaystyle x d cdot operatorname cosh left y over d right nbsp Wird diese Kurve um die x Achse rotiert so entsteht die Pseudosphare welche in der hyperbolischen Geometrie die Rolle der Kugel einnimmt So ist etwa die Flache unter der Traktrix dieselbe wie beim Halbkreis Die Traktrix ist hierbei als Geodate die Entsprechung der Geraden im normalen euklidischen Raum Allgemeine Traktrix BearbeitenDer Begriff der Traktrix lasst sich verallgemeinern Gegeben seien ein Parameter t eine Kurve k die Leitkurve ein beliebiger Punkt A0 Startpunkt der auf der Kurve k liegt und ein beliebiger Punkt P0 Sei d der Abstand A0P0 Wandert der Punkt A t mit A 0 A0 mit wachsendem t nun entlang der Kurve k so folgt ihm der Punkt P t mit P 0 P0 in konstantem Abstand d Die Menge aller Punkte die P t durchlauft bezeichnet man als die Traktrix der Kurve k A t P t d P t P t displaystyle mathbf A t mathbf P t d cdot frac mathbf dot P t mathbf dot P t nbsp mit t P t 0 displaystyle t mathbf dot P t neq 0 nbsp Die Traktrix ist also eine allgemeine Radiodrome mit der Funktion 3 t d P t displaystyle xi t tfrac d mathbf dot P t nbsp Anwendung im Strassenbau Bearbeiten nbsp Die weisse Flache stellt die Schleppkurve eines Pkws beim Befahren eines Kreisverkehrs dar Mit Hilfe der Schleppkurve kann das Fahrverhalten von Fahrzeugen modelliert werden insbesondere der benotigte Platz bei Kurvenfahrten aber auch das Verhalten bei Ruckwarts Fahrten sowie beim Abschleppen eines zweiten Fahrzeugs Beim Lenkvorgang eines Fahrzeuges laufen die Achsen hinter der Lenkachse aus der Spur Sie verfolgen nicht exakt denselben Weg so dass fur eine Kurvenfahrt eine grossere Flache uberstrichen wird als der Spurstand vorgibt Die Grosse und Art der uberstrichenen Flache hangt von mehreren Faktoren ab Dem Fahrverhalten des Fahrzeugfuhrers Der Entwurfsgeschwindigkeit d h die maximale Fahrgeschwindigkeit fur die die Strasse ausgelegt wird Dem Kurvenradius Je enger eine Kurve gefahren wird desto breiter ist die uberstrichene Flache Der Lange des Fahrzeuges Je langer ein Fahrzeug ist desto grosser ist die uberstrichene Flache Der Lage der Achsen Je nachdem wo die Achsen im Verhaltnis zur Fahrzeuglange liegen wird entweder eine grossere Flache zur Kurveninnenseite oder zur Kurvenaussenseite uberstrichen Warnhinweis Heck schert aus Der Gliederung des Fahrzeuges Anhanger Sattelauflieger Nachlaufer etc Der Anzahl der gelenkten oder drehbaren Achsen Die uberstrichene Flache lasst sich mit Hilfe von vorgefertigten Schleppkurven die fur bestimmte Bemessungsfahrzeuge erstellt wurden ermitteln Fur Spezialfahrzeuge konnen mit Hilfe von Computersimulationen die Schleppkurven berechnet werden Basis fur jede Berechnung bildet die so genannte Fahrlinie Das Fahrzeug wird mit seinem Fuhrungspunkt in der Regel die Mitte der lenkenden Achse entlang dieser Linie bewegt Die uberstrichenen Flachen sind von Lichtsignalanlagen Schildern u a freizuhalten und entsprechend zu befestigen Dafur werden beispielsweise bei engen Radien Fahrstreifenverbreiterungen notwendig Des Weiteren ist bei der Ausbildung von Kurven und Kreuzungen darauf zu achten dass der Gegenverkehr nicht behindert und gefahrdet wird Diese fahrgeometrische Bemessung von Verkehrsanlagen steht im Gegensatz zum fahrdynamischen Entwurf wie er insbesondere bei Landstrassen und Autobahnen angewandt wird Die dreidimensionale Erweiterung der Schleppkurve wird als Hullkurve bezeichnet 2 Normen und Standards BearbeitenDeutschlandFGSV Verlag Richtlinien fur Bemessungsfahrzeuge und Schleppkurven zur Uberprufung der Befahrbarkeit von Verkehrsflachen Koln 2020 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Tractrix Album mit Bildern Videos und Audiodateien Verfolgungsprobleme Menu Schleppkurven Java Applets Johanneum Luneburg Kurven Traktrix Memento vom 9 Juni 2007 im Internet Archive Artikel fur Schuler Tractrix From MathWorld englisch weitere Literaturangaben Lexikon der Unfallrekonstruktion Zusammenfassung von Software zur Berechnung von SchleppkurvenEinzelnachweise Bearbeiten Traktix In Duden de G I S Point Trassierungssoftware mit neuer Hullkurve Abgerufen am 19 Juli 2022 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Traktrix amp oldid 234027807