Der Satz von Thue-Siegel-Roth aus der Theorie diophantischer Approximationen in der Zahlentheorie wurde von Klaus Friedrich Roth nach Vorarbeiten von Axel Thue und Carl Ludwig Siegel 1955 bewiesen.
Er besagt, dass für jede algebraische Zahl und jedes die Ungleichung (p, q teilerfremd)
(Ungleichung 1) | ||
nur endlich viele Lösungen hat. Indem man diese endlich vielen Lösungen beiseitelässt, lässt sich aus (Ungleichung 1) folgern, dass für genügend große q für jedes irrationale gilt:
(Ungleichung 2) | ||
mit einem nur von und abhängigen C. In dieser Form wird der Satz von Tue-Siegel-Roth meist präsentiert. Das ist der „beste“ mögliche solche Satz, da nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Dirichletscher Approximationssatz) jede reelle Zahl Approximanten p/q hat, die näher als liegen. Es gibt sogar unendlich viele, z. B. die Approximanten der Kettenbruch-Darstellungen dieser Zahlen (deren Sonderrolle der Satz somit ebenfalls aufzeigt). Das heißt, es gibt für jede irrationale Zahl unendlich viele rationale Zahlen mit so dass:
Danach waren schrittweise obere Schranken für Exponenten bestimmt worden, so dass es endlich viele rationale Näherungslösungen für algebraische irrationale Zahlen mit
(Ungleichung 3) | ||
gibt. Joseph Liouville zeigte 1844 , mit (siehe Diophantische Approximation). Hierbei ist n der Grad der algebraischen Gleichung mit Wurzel . Elementare Überlegungen zeigen außerdem, dass ist (siehe oben). Damit war bekannt und es wurden verfeinerte Schranken gesucht. Axel Thue zeigte 1908, dass und Carl Ludwig Siegel 1921 in seiner Dissertation (wobei er das Ergebnis schon 1916 seinem Lehrer Frobenius mitteilte), dass . Roth zeigte, dass 2 tatsächlich die optimale Schranke ist, denn für gibt es nur endlich viele Lösungen.
Der Beweis des Satzes ist umfangreich und findet sich zum Beispiel in den Lehrbüchern von Theodor Schneider oder John Cassels.
Der Beweis von Roth gibt keine Methode an, solche Lösungen zu finden bzw. C einzuschränken. Das wäre interessant, um etwas über die Anzahl der Lösungen Diophantischer Gleichungen zu erfahren (d. h. ganzzahligen oder rationalen Lösungen algebraischer Gleichungen, für die beispielsweise das in (Ungleichung 2) eine reelle Wurzel ist). Solche effektiven Methoden wurden in den 1960er Jahren von Alan Baker in die Theorie transzendenter Zahlen und diophantischer Gleichungen eingeführt. Der Satz von Thue-Siegel-Roth folgt auch aus dem Subspace-Theorem von Wolfgang Schmidt. Dieser gab auch eine Verallgemeinerung für simultane Näherung mehrerer algebraischer Zahlen . Seien linear unabhängig über den rationalen Zahlen und eine beliebige positive reelle Zahl, dann gibt es nur endliche viele n-Tupel rationaler Zahlen mit
Es gibt auch eine p-adische Version des Satzes von Thue-Siegel-Roth.
Als Anwendung des Satzes von Thue-Siegel-Roth kann man neue transzendente Zahlen finden. Der Satz von Liouville lieferte diese in Form Liouvillescher Zahlen. Mit dem Satz von Thue-Siegel-Roth braucht man nur irrationale Zahlen zu finden, die besser als durch rationale Zahlen approximierbar sind und nicht wie beim Satz von Liouville. Ein Beispiel ist der Nachweis der Transzendenz für die Zahl
also der Zahl die entsteht wenn man alle Dezimalzahlen hintereinanderschreibt. Das Gleiche gilt wenn man die Zahl nicht basierend auf dem Dezimalsystem, sondern etwa dem Stellwertsystem zur Basis 3 konstruiert. Der ursprüngliche Beweis stammt von Kurt Mahler (1946) und der Beweis erfordert nicht unbedingt den Satz von Thue-Siegel-Roth. ist keine Liouvillesche Zahl.
Literatur Bearbeiten
- Theodor Schneider: Einführung in die transzendenten Zahlen, Springer 1957
- John Cassels: An introduction to diophantine approximation, Cambridge UP 1957
- William LeVeque: Topics in number theory, Band 2, 1956, Kapitel 4, Nachdruck Dover 2002
Einzelnachweise Bearbeiten
- Klaus Friedrich Roth: Rational approximations to algebraic numbers and Corrigendum. In: Mathematika. Bd. 2, 1955, ISSN 0025-5793, S. 1–20 und 168.
- Fridtjof Tönniessen, Das Geheimnis der transzendenten Zahlen, Spektrum Akademischer Verlag 2010, S. 421
- Fridtjof Tönniessen, Das Geheimnis der transzendenten Zahlen, Spektrum Akademischer Verlag 2010, S. 418
- Schneider, Einführung in die transzendenten Zahlen, Springer 1957
- Cassels, An introduction to diophantine approximation, Cambridge UP 1957
- Bewiesen von D. Ridout, The p-adic generalization of the Thue-Siegel-Roth theorem, Mathematika, Band 5, 1958, S. 40–48
- Fridtjof Tönniessen, Das Geheimnis der transzendenten Zahlen, Spektrum Akademischer Verlag 2010, S. 420