www.wikidata.de-de.nina.az

Rouse Modell Das Rouse Modell ist eines der einfachsten in der Polymerphysik verwendeten Modelle für die Dynamik von Pol

Rouse-Modell

Das Rouse Modell ist eines der einfachsten, in der Polymerphysik verwendeten Modelle für die Dynamik von Polymeren.

Schematische Darstellung des Rouse Modells als Kette von Massenpunkten (blaue Kreise) und verbindenden Federn (grau) mit N=13 Massenpunkten und dem mittleren Abstand l zwischen zwei Massenpunkten

Beschreibung Bearbeiten

Das Rouse Modell beschreibt das Polymer als ideale Kette von Massenpunkten (oft als englisch beads bezeichnet), die durch Federn verbunden sind. Die zeitliche Veränderung der Konformation wird dann durch brownsche Bewegung der einzelnen Massenpunkte realisiert, indem an jedem eine zufällige (thermische) Kraft angreift. Dabei werden keine Volumenausschlusseffekte beachtet, das Polymer kann sich also mit sich selbst überkreuzen. Das Modell wurde 1953 von Prince E. Rouse vorgeschlagen.

Das Rouse-Modell führt zu folgender stochastischer Differentialgleichung (Langevin-Gleichung) für die Position des -ten Massenpunktes:

Dabei ist die Federkonstante der Federn im Modell, der Reibungskoeffizient eines Massenpunkts im Lösungsmittel und die Anzahl der Kettenglieder. Der Term ist jeweils die lineare Rückstellkraft durch die Feder zum Vorgänger und zum Nachfolger (an den beiden freien Enden des Polymers entfällt jeweils einer der beiden Terme). Der Term beschreibt eine thermische Zufallskraft (Brownsche Molekulardynamik), die keine Vorzugsrichtung besitzt und räumlich und zeitlich unkorreliert ist. Aus diesem Ansatz ergeben sich folgende Eigenschaften des Polymers:

Erweiterung: Das Zimm-Modell Bearbeiten

Hydrodynamische Wechselwirkung: Auf ein Segment n wirkt die Kraft Fn (rot). Dies führt zu einem grün dargestellten lokalen Fluss, der sich wiederum auf die benachbarten Segmente auswirkt (Kräfte als kleine schwarze Pfeile).

Eine wichtige Erweiterung wurde 1956 von Bruno Zimm veröffentlicht: Sein Modell (oft einfach als "Zimm Modell" bezeichnet) berücksichtigt auch hydrodynamische Wechselwirkungen zwischen den Massenpunkten der Kette. Diese sind Wechselwirkungen (Kräfte), die durch die Lösungsmittelmoleküle um das Polymer vermittelt werden: Die Massenpunkte ziehen die Lösungsmittelmoleküle bei ihrer Bewegung mit sich, was auch zu einer Kraft auf benachbarte Kettenglieder führt (siehe Abbildung rechts). Das Zimm-Modell führt zu einer besseren Beschreibung realer Polymere als das Rouse-Modell, die auch mit experimentellen Daten für verdünnte Lösungen gewisser Polymere übereinstimmt.

Die obige Langevin-Gleichung für das Rouse-Modell wird um einen Tensor (Matrix) erweitert, die die hydrodynamische Kraft zwischen dem -ten und -ten Segment darstellt:

Dabei ist zu beachten, dass der Tensor von den Positionen aller Segmente abhängt. Dadurch ist die obige Langevin-Gleichung nichtlinear und kann nicht mehr einfach gelöst werden. Bruno Zimm ersetzte daher durch seinen Gleichgewichtsmittelwert , der berechnet werden kann. Daraus leiten sich folgende Eigenschaften eines Zimm-Polymers her:

  • Diffusionskoeffizient des Massenschwerpunkts: (: Viskosität des Lösungsmittels)
  • Rotationsrelaxationszeit:
  • mittlere quadratische Verschiebung eines einzelnen Segments:

Experimentelle Beobachtung Bearbeiten

In diesem Abschnitt soll auf einige reale Polymere hingewiesen werden, die sich gut mit einem der oberen Modelle beschreiben lassen:

  • Einzelsträngige DNA ist ein relativ biegsames Polymer und zeigt auf kurzen Zeitskalen in verdünnter Lösung Zimm-artige Dynamik für einzelne Segmente, wie mit Fluoreszenz-Korrelations-Spektroskopie gezeigt werden konnte.
  • Doppelsträngige DNA ist deutlich steifer als einzelsträngige DNA, daher spielen die hydrodynamischen Wechselwirkungen eine wesentlich geringere Rolle, sodass ihre Monomerdynamik in verdünnter Lösung mit dem Rouse-Modell gut beschrieben werden kann.

Literatur Bearbeiten

  • Michael Rubinstein: Polymer Physics Oxford University Press, USA, 2003, ISBN 978-0-19-852059-7
  • Masao Doi: Introduction to polymer physics Oxford University Press, USA, 1996, ISBN 0-19-851772-6
  • Masao Doi, S. F. Edwards: The theory of polymer dynamics Oxford University Press, USA, 1988, ISBN 978-0-19-852033-7

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Prince E. Rouse, A Theory of the Linear Viscoelastic Properties of Dilute Solutions of Coiling Polymers, J. Chem. Phys. 21, 1272 (1953), cited over 1000 times by 2010.
  2. Die mittlere quadratische Auslenkung (englisch mean squared displacement oder kurz MSD) ist eine gute Größe zur Charakterisierung der Dynamik eines sich zufällig bewegenden Teilchens (siehe: Random Walk). Sie misst den mittleren Abstand, den ein Teilchen in einer Zeitspanne von seinem Ursprung zurücklegt. Für ein frei diffundierendes Teilchen (in 3 Dimensionen) ergibt sich die Beziehung mit dem Diffusionskoeffizienten . Abweichungen von diesem linearen Verhalten (normale Diffusion) werden als anomale Diffusion bezeichnet. Dann gilt oft (wie auch im vorliegenden Fall) die allgemeinere Form .
  3. Bruno H. Zimm, Dynamics of Polymer Molecules in Dilute Solution: Viscoelasticity, Flow Birefringence and Dielectric Loss, J. Chem. Phys. 24, 269 (1956).
  4. ↑ Roman Shusterman, Sergey Alon, Tatyana Gavrinyov, Oleg Krichevsky: Monomer Dynamics in Double- and Single-Stranded DNA Polymers. In: Physical Review Letters. Band 92, Nr. 4, Januar 2004, ISSN 0031-9007, doi:10.1103/PhysRevLett.92.048303 (ens.fr [PDF; 158 kB]).
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Das Rouse Modell ist eines der einfachsten in der Polymerphysik verwendeten Modelle fur die Dynamik von Polymeren Schematische Darstellung des Rouse Modells als Kette von Massenpunkten blaue Kreise und verbindenden Federn grau mit N 13 Massenpunkten und dem mittleren Abstand l zwischen zwei Massenpunkten Inhaltsverzeichnis 1 Beschreibung 2 Erweiterung Das Zimm Modell 3 Experimentelle Beobachtung 4 Literatur 5 EinzelnachweiseBeschreibung BearbeitenDas Rouse Modell beschreibt das Polymer als ideale Kette von Massenpunkten oft als englisch beads bezeichnet die durch Federn verbunden sind Die zeitliche Veranderung der Konformation wird dann durch brownsche Bewegung der einzelnen Massenpunkte realisiert indem an jedem eine zufallige thermische Kraft angreift Dabei werden keine Volumenausschlusseffekte beachtet das Polymer kann sich also mit sich selbst uberkreuzen Das Modell wurde 1953 von Prince E Rouse vorgeschlagen 1 Das Rouse Modell fuhrt zu folgender stochastischer Differentialgleichung Langevin Gleichung fur die Position R n displaystyle vec R n nbsp des n displaystyle n nbsp ten Massenpunktes d R n d t k z R n 1 R n R n 1 R n Wechselwirkung mit Nachbargliedern f n t Zufallskraft displaystyle frac mathrm d vec R n mathrm d t underbrace frac k zeta cdot left vec R n 1 vec R n vec R n 1 vec R n right text Wechselwirkung mit Nachbargliedern underbrace vec f n t text Zufallskraft nbsp Dabei ist k displaystyle k nbsp die Federkonstante der Federn im Modell z displaystyle zeta nbsp der Reibungskoeffizient eines Massenpunkts im Losungsmittel und N displaystyle N nbsp die Anzahl der Kettenglieder Der Term k R n 1 R n displaystyle k vec R n pm 1 vec R n nbsp ist jeweils die lineare Ruckstellkraft durch die Feder zum Vorganger n 1 displaystyle n 1 nbsp und zum Nachfolger n 1 displaystyle n 1 nbsp an den beiden freien Enden des Polymers entfallt jeweils einer der beiden Terme Der Term f n t displaystyle vec f n t nbsp beschreibt eine thermische Zufallskraft Brownsche Molekulardynamik die keine Vorzugsrichtung besitzt und raumlich und zeitlich unkorreliert ist Aus diesem Ansatz ergeben sich folgende Eigenschaften des Polymers Diffusionskoeffizient des Massenschwerpunkts D G k B T N z displaystyle D G frac k mathrm B T N zeta nbsp T displaystyle T nbsp Temperatur k B displaystyle k mathrm B nbsp Boltzmann Konstante Rotationsrelaxationszeit t R z N 2 l 2 3 p 2 k B T displaystyle tau R frac zeta N 2 l 2 3 pi 2 k mathrm B T nbsp mittlere quadratische Verschiebung 2 eines einzelnen Segments R n 2 t R n t t R n t 2 2 N l 2 p 3 2 t t R displaystyle left langle vec R n 2 tau right rangle left langle left vec R n t tau vec R n t right 2 right rangle approx frac 2Nl 2 pi 3 2 sqrt frac tau tau R nbsp Erweiterung Das Zimm Modell Bearbeiten nbsp Hydrodynamische Wechselwirkung Auf ein Segment n wirkt die Kraft Fn rot Dies fuhrt zu einem grun dargestellten lokalen Fluss der sich wiederum auf die benachbarten Segmente auswirkt Krafte als kleine schwarze Pfeile Eine wichtige Erweiterung wurde 1956 von Bruno Zimm veroffentlicht 3 Sein Modell oft einfach als Zimm Modell bezeichnet berucksichtigt auch hydrodynamische Wechselwirkungen zwischen den Massenpunkten der Kette Diese sind Wechselwirkungen Krafte die durch die Losungsmittelmolekule um das Polymer vermittelt werden Die Massenpunkte ziehen die Losungsmittelmolekule bei ihrer Bewegung mit sich was auch zu einer Kraft auf benachbarte Kettenglieder fuhrt siehe Abbildung rechts Das Zimm Modell fuhrt zu einer besseren Beschreibung realer Polymere als das Rouse Modell die auch mit experimentellen Daten fur verdunnte Losungen gewisser Polymere ubereinstimmt Die obige Langevin Gleichung fur das Rouse Modell wird um einen Tensor Matrix H n m displaystyle mathrm H nm nbsp erweitert die die hydrodynamische Kraft zwischen dem n displaystyle n nbsp ten und m displaystyle m nbsp ten Segment darstellt d R n d t k m H n m R n 1 R n R n 1 R n Wechselwirkung mit Nachbargliedern Hydrodynamik f n t Zufallskraft displaystyle frac mathrm d vec R n mathrm d t underbrace k cdot sum limits m mathrm H nm left vec R n 1 vec R n vec R n 1 vec R n right text Wechselwirkung mit Nachbargliedern Hydrodynamik underbrace vec f n t text Zufallskraft nbsp Dabei ist zu beachten dass der Tensor H n m displaystyle mathrm H nm nbsp von den Positionen R 0 R N 1 displaystyle vec R 0 vec R N 1 nbsp aller Segmente abhangt Dadurch ist die obige Langevin Gleichung nichtlinear und kann nicht mehr einfach gelost werden Bruno Zimm ersetzte H n m R 0 R N 1 displaystyle mathrm H nm vec R 0 vec R N 1 nbsp daher durch seinen Gleichgewichtsmittelwert H n m e q displaystyle langle mathrm H nm rangle eq nbsp der berechnet werden kann Daraus leiten sich folgende Eigenschaften eines Zimm Polymers her Diffusionskoeffizient des Massenschwerpunkts D G 8 k B T 3 6 p 3 h s N l displaystyle D G frac 8k mathrm B T 3 sqrt 6 pi 3 eta s sqrt N cdot l nbsp h s displaystyle eta s nbsp Viskositat des Losungsmittels Rotationsrelaxationszeit t R h S N l 3 3 p k B T displaystyle tau R frac eta S sqrt N l 3 sqrt 3 pi k mathrm B T nbsp mittlere quadratische Verschiebung eines einzelnen Segments R n 2 t 2 G 1 3 N l 2 p 2 t t R 2 3 displaystyle left langle vec R n 2 tau right rangle frac 2 Gamma 1 3 Nl 2 pi 2 left frac tau tau R right 2 3 nbsp Experimentelle Beobachtung BearbeitenIn diesem Abschnitt soll auf einige reale Polymere hingewiesen werden die sich gut mit einem der oberen Modelle beschreiben lassen Einzelstrangige DNA ist ein relativ biegsames Polymer und zeigt auf kurzen Zeitskalen in verdunnter Losung Zimm artige Dynamik fur einzelne Segmente wie mit Fluoreszenz Korrelations Spektroskopie gezeigt werden konnte 4 Doppelstrangige DNA ist deutlich steifer als einzelstrangige DNA daher spielen die hydrodynamischen Wechselwirkungen eine wesentlich geringere Rolle sodass ihre Monomerdynamik in verdunnter Losung mit dem Rouse Modell gut beschrieben werden kann 4 Literatur BearbeitenMichael Rubinstein Polymer Physics Oxford University Press USA 2003 ISBN 978 0 19 852059 7 Masao Doi Introduction to polymer physics Oxford University Press USA 1996 ISBN 0 19 851772 6 Masao Doi S F Edwards The theory of polymer dynamics Oxford University Press USA 1988 ISBN 978 0 19 852033 7Einzelnachweise Bearbeiten Prince E Rouse A Theory of the Linear Viscoelastic Properties of Dilute Solutions of Coiling Polymers J Chem Phys 21 1272 1953 cited over 1000 times by 2010 Die mittlere quadratische Auslenkung r t displaystyle left langle r tau right rangle nbsp englisch mean squared displacement oder kurz MSD ist eine gute Grosse zur Charakterisierung der Dynamik eines sich zufallig bewegenden Teilchens siehe Random Walk Sie misst den mittleren Abstand den ein Teilchen in einer Zeitspanne t displaystyle tau nbsp von seinem Ursprung zurucklegt Fur ein frei diffundierendes Teilchen in 3 Dimensionen ergibt sich die Beziehung r 2 t 6 D t displaystyle left langle r 2 tau right rangle 6D cdot tau nbsp mit dem Diffusionskoeffizienten D displaystyle D nbsp Abweichungen von diesem linearen Verhalten normale Diffusion werden als anomale Diffusion bezeichnet Dann gilt oft wie auch im vorliegenden Fall die allgemeinere Form r 2 t G t a displaystyle left langle r 2 tau right rangle Gamma cdot tau alpha nbsp Bruno H Zimm Dynamics of Polymer Molecules in Dilute Solution Viscoelasticity Flow Birefringence and Dielectric Loss J Chem Phys 24 269 1956 a b Roman Shusterman Sergey Alon Tatyana Gavrinyov Oleg Krichevsky Monomer Dynamics in Double and Single Stranded DNA Polymers In Physical Review Letters Band 92 Nr 4 Januar 2004 ISSN 0031 9007 doi 10 1103 PhysRevLett 92 048303 ens fr PDF 158 kB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rouse Modell amp oldid 230759193