www.wikidata.de-de.nina.az

Rhomboederstumpf Der auch abgestumpftes Rhomboeder oder Dürer Polyeder genannt ist ein spezielles achtflächiges Polyeder

Rhomboederstumpf

Der Rhomboederstumpf (auch abgestumpftes Rhomboeder oder Dürer-Polyeder genannt) ist ein spezielles achtflächiges Polyeder, das auf Albrecht Dürers Kupferstich Melencolia I von 1514 dargestellt ist.

Melencolia I von Albrecht Dürer, 1514. Das Polyeder dominiert die linke Bildseite.

Beschreibung Bearbeiten

Ausschnitt mit eingezeichnetem Fünfeck, einander gegenüber liegende Seiten und sind parallel.

Der Rhomboederstumpf ist ein konvexes, achtflächiges Polyeder. Er setzt sich aus sechs gleichen, unregelmäßigen, aber achsensymmetrischen Fünfecken und zwei gleichseitigen Dreiecken zusammen. Er hat zwölf Ecken; an jeder Ecke treffen drei Flächen aufeinander (ein Dreieck und zwei Fünfecke oder drei Fünfecke). Sämtliche Eckpunkte liegen auf derselben Umkugel. Gegenüberliegende Flächen sind parallel. Im Stich steht der Körper auf einer Dreiecksfläche, die Fünfecke bilden quasi die Mantelfläche. Die Kantenanzahl beträgt achtzehn.

Konstruktion Bearbeiten

Der Ursprungskörper ist ein sechsflächiges Rhomboeder, das zugleich Parallelepiped und schiefes Prisma ist. Er besteht aus sechs Rauten mit der Kantenlänge und den charakteristischen Winkeln 72° und 108°. Sechs seiner acht Ecken liegen auf einer gemeinsamen Umkugel, die beiden Spitzen ragen darüber hinaus. Durch Abschneiden der Spitzen in der richtigen Höhe entstehen jeweils drei neue Ecken, die die dreieckigen Seiten des Rhomboederstumpfs bilden und die ebenfalls auf der gemeinsamen Umkugel liegen. Wie üblich stehen die Schnittflächen senkrecht auf der Höhenlinie des Körpers.

Fünfeckige Seitenflächen Bearbeiten

Markante Größen im Sehnenfünfeck

Durch das Abschneiden werden die Rauten zu den fünfeckigen Begrenzungsflächen des Rhomboederstumpfs, jeweils zwei der Rauten-Seiten (rot) bleiben mit dem eingeschlossenen Winkel von 72° erhalten, die beiden anderen Seiten verkürzen sich auf (blau), die Schnittlinie (grün) verläuft parallel zur Diagonale (s. Grafik rechts). Die beiden neu hinzugekommenen stumpfen Winkel betragen jeweils 126°. Insbesondere sind und (weiterhin) parallel und alle fünf Ecken liegen auf einem Umkreis und enthalten somit drei verschiedene Sehnenvierecke (sowie zwei Spiegelungen). Siehe auch: Sehnenfünfeck.

Durch diese spezielle Wahl der Winkel bei den Rauten entstehen mehrere bemerkenswerte Verhältnisse in den fünfeckigen Seitenflächen des Rhomboederstumpfs. Dabei ist der Umkreisradius des Fünfecks:

  • Folgende Längenverhältnisse stehen im goldenen Schnitt: .
  • ist zugleich Differenz und geometrisches Mittel aus und :
  • Die beiden Nebendiagonalen, die jeweils mit und ein Dreieck bilden, haben exakt die Länge . Zusammen mit den sonstigen Kanten ergeben sie jeweils ein spiegelsymmetrisches Trapez, dessen Spiegelachse aber nicht mit der des Fünfecks übereinstimmt.

Formeln Bearbeiten

Für das Polyeder Bearbeiten

3D-Konstruktion des Dürer-Polyeders –
basierend auf nebenstehenden Formeln.
Größen des Rhomboederstumpfs mit längster Kante a
Volumen
Oberflächeninhalt
Umkugelradius
1. Flächenwinkel
 (Fünfecke ü. Kante a)
  ≈ 103° 39′ 17″
2. Flächenwinkel
 (Fünfecke ü. Kante b)
  ≈ 76° 20′ 43″
3. Flächenwinkel
 (Fünfeck–Trigon)
  ≈ 114° 48′ 4″

Für einzelne Seitenflächen Bearbeiten

Größen des Sehnenfünfecks
Flächeninhalt
Umkreisradius
2. Seitenlänge
3. Seitenlänge
Diagonale
Höhe
Größen des gleichseitigen Dreiecks
Flächeninhalt
Umkreisradius
Höhe

Literatur Bearbeiten

  • Eberhard Schröder: Dürer, Kunst und Geometrie: Dürers künstlerisches Schaffen aus der Sicht seiner „Underweysung“. Birkhäuser, Basel 1980, ISBN 3-7643-1182-7, insb. Kapitel: Rekonstruktionsanalyse an dem Kupferstich „Melancholie“, S. 64–75, dort auch ein Skizzenblatt der Vorstudie auf S. 69.

Weblinks Bearbeiten

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Der Rhomboederstumpf auch abgestumpftes Rhomboeder oder Durer Polyeder genannt ist ein spezielles achtflachiges Polyeder das auf Albrecht Durers Kupferstich Melencolia I von 1514 dargestellt ist Melencolia I von Albrecht Durer 1514 Das Polyeder dominiert die linke Bildseite Inhaltsverzeichnis 1 Beschreibung 1 1 Konstruktion 1 2 Funfeckige Seitenflachen 2 Formeln 2 1 Fur das Polyeder 2 2 Fur einzelne Seitenflachen 3 Literatur 4 WeblinksBeschreibung Bearbeiten nbsp Ausschnitt mit eingezeichnetem Funfeck einander gegenuber liegende Seiten a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp sind parallel Der Rhomboederstumpf ist ein konvexes achtflachiges Polyeder Er setzt sich aus sechs gleichen unregelmassigen aber achsensymmetrischen Funfecken und zwei gleichseitigen Dreiecken zusammen Er hat zwolf Ecken an jeder Ecke treffen drei Flachen aufeinander ein Dreieck und zwei Funfecke oder drei Funfecke Samtliche Eckpunkte liegen auf derselben Umkugel Gegenuberliegende Flachen sind parallel Im Stich steht der Korper auf einer Dreiecksflache die Funfecke bilden quasi die Mantelflache Die Kantenanzahl betragt achtzehn Konstruktion Bearbeiten Der Ursprungskorper ist ein sechsflachiges Rhomboeder das zugleich Parallelepiped und schiefes Prisma ist Er besteht aus sechs Rauten mit der Kantenlange a displaystyle a nbsp und den charakteristischen Winkeln 72 und 108 Sechs seiner acht Ecken liegen auf einer gemeinsamen Umkugel die beiden Spitzen ragen daruber hinaus Durch Abschneiden der Spitzen in der richtigen Hohe entstehen jeweils drei neue Ecken die die dreieckigen Seiten des Rhomboederstumpfs bilden und die ebenfalls auf der gemeinsamen Umkugel liegen Wie ublich stehen die Schnittflachen senkrecht auf der Hohenlinie des Korpers Funfeckige Seitenflachen Bearbeiten nbsp Markante Grossen im SehnenfunfeckDurch das Abschneiden werden die Rauten zu den funfeckigen Begrenzungsflachen des Rhomboederstumpfs jeweils zwei der Rauten Seiten a displaystyle a nbsp rot bleiben mit dem eingeschlossenen Winkel von 72 erhalten die beiden anderen Seiten verkurzen sich auf b displaystyle b nbsp blau die Schnittlinie c displaystyle c nbsp grun verlauft parallel zur Diagonale e displaystyle e nbsp s Grafik rechts Die beiden neu hinzugekommenen stumpfen Winkel betragen jeweils 126 Insbesondere sind a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp weiterhin parallel und alle funf Ecken liegen auf einem Umkreis und enthalten somit drei verschiedene Sehnenvierecke sowie zwei Spiegelungen Siehe auch Sehnenfunfeck Durch diese spezielle Wahl der Winkel bei den Rauten entstehen mehrere bemerkenswerte Verhaltnisse in den funfeckigen Seitenflachen des Rhomboederstumpfs Dabei ist r displaystyle r nbsp der Umkreisradius des Funfecks Folgende Langenverhaltnisse stehen im goldenen Schnitt a r r b e c F displaystyle tfrac a r tfrac r b tfrac e c Phi nbsp r displaystyle r nbsp ist zugleich Differenz und geometrisches Mittel aus a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp a b a b r displaystyle sqrt ab a b r nbsp Die beiden Nebendiagonalen die jeweils mit b displaystyle b nbsp und c displaystyle c nbsp ein Dreieck bilden haben exakt die Lange a displaystyle a nbsp Zusammen mit den sonstigen Kanten ergeben sie jeweils ein spiegelsymmetrisches Trapez dessen Spiegelachse aber nicht mit der des Funfecks ubereinstimmt Formeln BearbeitenFur das Polyeder Bearbeiten nbsp 3D Konstruktion des Durer Polyeders basierend auf nebenstehenden Formeln Grossen des Rhomboederstumpfs mit langster Kante aVolumen V 5 3 a 3 5 2 displaystyle V frac 5 3 a 3 sqrt sqrt 5 2 nbsp Oberflacheninhalt A O a 2 2 3 5 2 5 5 3 2 15 displaystyle A O frac a 2 2 left 3 sqrt 5 2 sqrt 5 5 sqrt 3 2 sqrt 15 right nbsp Umkugelradius R a 4 14 2 5 displaystyle R frac a 4 sqrt 14 2 sqrt 5 nbsp 1 Flachenwinkel Funfecke u Kante a 103 39 17 cos a 1 2 5 displaystyle cos alpha 1 2 sqrt 5 nbsp 2 Flachenwinkel Funfecke u Kante b 76 20 43 cos a 2 5 2 displaystyle cos alpha 2 sqrt 5 2 nbsp 3 Flachenwinkel Funfeck Trigon 114 48 4 cos a 3 1 3 15 6 5 displaystyle cos alpha 3 frac 1 3 sqrt 15 6 sqrt 5 nbsp Fur einzelne Seitenflachen Bearbeiten Grossen des SehnenfunfecksFlacheninhalt A a 2 4 5 2 5 displaystyle A frac a 2 4 sqrt 5 2 sqrt 5 nbsp Umkreisradius r a 2 5 1 a b a b displaystyle r frac a 2 left sqrt 5 1 right a b sqrt ab nbsp 2 Seitenlange b a 2 3 5 displaystyle b frac a 2 left 3 sqrt 5 right nbsp 3 Seitenlange c a 5 2 5 displaystyle c a sqrt 5 2 sqrt 5 nbsp Diagonale e a 2 10 2 5 displaystyle e frac a 2 sqrt 10 2 sqrt 5 nbsp Hohe h a 2 5 displaystyle h frac a 2 sqrt 5 nbsp Grossen des gleichseitigen DreiecksFlacheninhalt A a 2 4 3 5 2 5 c 2 4 3 displaystyle A frac a 2 4 sqrt 3 left 5 2 sqrt 5 right frac c 2 4 sqrt 3 nbsp Umkreisradius r a 3 15 6 5 c 3 3 displaystyle r frac a 3 sqrt 15 6 sqrt 5 frac c 3 sqrt 3 nbsp Hohe h a 2 15 6 5 c 2 3 displaystyle h frac a 2 sqrt 15 6 sqrt 5 frac c 2 sqrt 3 nbsp Literatur BearbeitenEberhard Schroder Durer Kunst und Geometrie Durers kunstlerisches Schaffen aus der Sicht seiner Underweysung Birkhauser Basel 1980 ISBN 3 7643 1182 7 insb Kapitel Rekonstruktionsanalyse an dem Kupferstich Melancholie S 64 75 dort auch ein Skizzenblatt der Vorstudie auf S 69 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Durer s Solid In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rhomboederstumpf amp oldid 198182496