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Pauli Gleichung Die ist die von Wolfgang Pauli 1900 1958 angegebene 1 Erweiterung der Schrödingergleichung um geladene S

Pauli-Gleichung

Die Pauli-Gleichung ist die von Wolfgang Pauli (1900–1958) angegebene Erweiterung der Schrödingergleichung, um geladene Spin-1/2-Teilchen, etwa Elektronen in nicht-relativistischer Näherung zu beschreiben. Zusätzlich zu den Termen in der Schrödingergleichung für spinlose Teilchen enthält die Pauli-Gleichung einen Term, der den Spin mit dem Magnetfeld koppelt und der in der klassischen Physik keine Entsprechung hat. Damit kann man z. B. beim Stern-Gerlach-Versuch verstehen, warum ein Strahls von Silberatomen sich beim Durchfliegen eines inhomogenen Magnetfelds je nach Spin-Richtung in zwei Teilstrahlen aufspaltet.

Die Pauli-Gleichung lautet:

Hier bezeichnet

In einem schwachen, homogenen Magnetfeld koppelt nach der Pauli-Gleichung der Spin um den gyromagnetischen Faktor stärker an das Magnetfeld als ein gleich großer Bahndrehimpuls

Man erhält die Pauli-Gleichung auch als nichtrelativistischen Grenzfall aus der Dirac-Gleichung, die das Verhalten von elementaren Spin-1/2-Teilchen mit oder ohne Ladung beschreibt. Dabei sagt die Diracgleichung den Wert für den gyromagnetischen Faktor von Elektronen voraus. Dieser Wert kann auch ohne Einbeziehung relativistischer Annahmen aus der Linearisierung der Schrödingergleichung berechnet werden. Die Quantenelektrodynamik korrigiert diesen Wert zu

Der theoretische Wert stimmt beim Elektron mit dem gemessenen Wert in den ersten 10 Dezimalen überein.

Herleitung aus der Dirac-Gleichung Bearbeiten

Ausgehend von der Dirac-Gleichung für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld, aufgespalten in zwei Zweierspinoren,

unterstellt man, dass nach Abspalten der schnellen Zeitentwicklung, die von der Ruhenergie herrührt,

die Zeitableitung der Zweierspinoren und klein ist.

In der Zeile ist nach Annahme die Zeitableitung klein und die kinetischen Energien und die elektrostatische Energie klein gegen die Ruheenergie Daher ist klein gegen und ungefähr gleich

In die erste Zeile eingesetzt ergibt sich

Für das Produkt der Pauli-Matrizen erhält man

Der Spinor genügt daher der Pauli-Gleichung mit ,

Im homogenen Magnetfeld gilt und unter Zuhilfenahme der Vertauschungsregeln des Spatproduktes folgt

wenn man Terme vernachlässigt, die quadratisch in sind. Dann besagt die Pauli-Gleichung

Das Magnetfeld koppelt folglich nicht nur an den Bahndrehimpuls und trägt nicht nur zur Energie bei. Der Faktor wird Magneton des Teilchens genannt. Im Spezialfall des Elektrons spricht man auch vom bohrschen Magneton.

In Drehimpulseigenzuständen ist ein ganzzahliges Vielfaches der Magnetfeldstärke Dagegen ergibt ein halbzahliges Vielfaches, das erst nach Multiplikation mit g ganzzahlig wird. Bei isolierten Atomen oder Ionen muss man den Gesamt-Bahndrehimpuls und den Gesamt-Spindrehimpuls des Atoms bzw. Ions zu einem Gesamtdrehimpuls J (= L+S ) addieren und erhält den sog. Landé-Faktor g(L, S, J). Dieser ist 1 bei reinem Gesamt-Bahndrehimpuls und 2 bei reinem Gesamt-Spindrehimpuls, und hat sonst von 1 und 2 verschiedene Werte. Wenn ferner die betroffenen Atome in einen Festkörper eingebaut sind, erhält man Zusatzbeiträge, die g wesentlich verändern können.

Literatur Bearbeiten

  • Franz Schwabl: Quantenmechanik (QM I). 5. erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-63779-6 (Springer-Lehrbuch).
  • Franz Schwabl: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II). Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-63382-0 (Springer-Lehrbuch).
  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloe: Quantum Mechanics. Volume 2. Wiley u. a., New York NY u. a. 1977, ISBN 0-471-16435-6 (A Wiley-Interscience Publication).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Wolfgang Pauli: Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons. In: Zeitschrift für Physik. Band 43, 1927, S. 601–623, doi:10.1007/BF01397326.
  2. Walter Greiner: Quantenmechanik. Einführung. Band 4, ISBN 3-8171-1765-5.
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Die Pauli Gleichung ist die von Wolfgang Pauli 1900 1958 angegebene 1 Erweiterung der Schrodingergleichung um geladene Spin 1 2 Teilchen etwa Elektronen in nicht relativistischer Naherung zu beschreiben Zusatzlich zu den Termen in der Schrodingergleichung fur spinlose Teilchen enthalt die Pauli Gleichung einen Term der den Spin mit dem Magnetfeld koppelt und der in der klassischen Physik keine Entsprechung hat Damit kann man z B beim Stern Gerlach Versuch verstehen warum ein Strahls von Silberatomen sich beim Durchfliegen eines inhomogenen Magnetfelds je nach Spin Richtung in zwei Teilstrahlen aufspaltet Die Pauli Gleichung lautet i ℏ t f p q A 2 2 m q ϕ Hamiltonoperator ohne Spin f g q ℏ 2 m s 2 B Spin Magnetfeld f displaystyle mathrm i hbar partial t varphi underbrace left frac vec p q vec A 2 2 m q phi right text Hamiltonoperator ohne Spin varphi g underbrace frac q hbar 2 m frac vec sigma 2 cdot vec B text Spin Magnetfeld varphi Hier bezeichnet f f t x f t x displaystyle varphi begin pmatrix varphi uparrow t vec x varphi downarrow t vec x end pmatrix die zweikomponentige Ortswellenfunktion Paulispinor p i i ℏ x i i 1 2 3 displaystyle p i mathrm i hbar partial x i i in 1 2 3 die i displaystyle i te Komponente des Impulsoperators q displaystyle q die elektrische Ladung und m displaystyle m die Masse des Teilchens ϕ displaystyle phi das skalare elektrische Potential und A displaystyle vec A das magnetische Vektorpotential g displaystyle g den gyromagnetischen Faktor s displaystyle vec sigma die Pauli Matrizen mit dem Spin Operator S ℏ s 2 displaystyle vec S hbar frac vec sigma 2 B rot A displaystyle vec B text rot vec A das Magnetfeld In einem schwachen homogenen Magnetfeld B displaystyle vec B koppelt nach der Pauli Gleichung der Spin um den gyromagnetischen Faktor g displaystyle g starker an das Magnetfeld als ein gleich grosser Bahndrehimpuls L displaystyle vec L i ℏ t f p 2 2 m f q 2 m L g S B f displaystyle mathrm i hbar partial t varphi frac vec p 2 2 m varphi frac q 2 m bigl vec L g vec S bigr cdot vec B varphi Man erhalt die Pauli Gleichung auch als nichtrelativistischen Grenzfall aus der Dirac Gleichung die das Verhalten von elementaren Spin 1 2 Teilchen mit oder ohne Ladung beschreibt Dabei sagt die Diracgleichung den Wert g 2 displaystyle g 2 fur den gyromagnetischen Faktor von Elektronen voraus Dieser Wert kann auch ohne Einbeziehung relativistischer Annahmen aus der Linearisierung der Schrodingergleichung berechnet werden 2 Die Quantenelektrodynamik korrigiert diesen Wert zu g 2 002 319 304 8 8 displaystyle g 2 002 319 304 8 8 Der theoretische Wert stimmt beim Elektron mit dem gemessenen Wert in den ersten 10 Dezimalen uberein Herleitung aus der Dirac Gleichung BearbeitenAusgehend von der Dirac Gleichung fur ein Teilchen im elektromagnetischen Feld aufgespalten in zwei Zweierspinoren i ℏ t f 1 f 2 c s p f 2 s p f 1 q ϕ f 1 f 2 m c 2 f 1 f 2 displaystyle mathrm i hbar partial t left begin array c varphi 1 varphi 2 end array right c left begin array c vec sigma cdot vec pi varphi 2 vec sigma cdot vec pi varphi 1 end array right q phi left begin array c varphi 1 varphi 2 end array right m c 2 left begin array c varphi 1 varphi 2 end array right nbsp mit p p q A displaystyle vec pi vec p q vec A nbsp unterstellt man dass nach Abspalten der schnellen Zeitentwicklung die von der Ruhenergie herruhrt f 1 f 2 e i m c 2 t ℏ f x displaystyle left begin array c varphi 1 varphi 2 end array right mathrm e mathrm i frac displaystyle m c 2 t displaystyle hbar left begin array c varphi chi end array right nbsp die Zeitableitung der Zweierspinoren f displaystyle varphi nbsp und x displaystyle chi nbsp klein ist i ℏ t f x c s p x s p f q ϕ f x 0 2 m c 2 x displaystyle mathrm i hbar partial t left begin array c varphi chi end array right c left begin array c vec sigma cdot vec pi chi vec sigma cdot vec pi varphi end array right q phi left begin array c varphi chi end array right left begin array c 0 2 m c 2 chi end array 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auch vom bohrschen Magneton In Drehimpulseigenzustanden ist L ℏ B displaystyle frac vec L hbar cdot vec B nbsp ein ganzzahliges Vielfaches der Magnetfeldstarke B displaystyle vec B nbsp Dagegen ergibt S ℏ B displaystyle frac vec S hbar cdot vec B nbsp ein halbzahliges Vielfaches das erst nach Multiplikation mit g ganzzahlig wird Bei isolierten Atomen oder Ionen muss man den Gesamt Bahndrehimpuls und den Gesamt Spindrehimpuls des Atoms bzw Ions zu einem Gesamtdrehimpuls J L S addieren und erhalt den sog Lande Faktor g L S J Dieser ist 1 bei reinem Gesamt Bahndrehimpuls und 2 bei reinem Gesamt Spindrehimpuls und hat sonst von 1 und 2 verschiedene Werte Wenn ferner die betroffenen Atome in einen Festkorper eingebaut sind erhalt man Zusatzbeitrage die g wesentlich verandern konnen Literatur BearbeitenFranz Schwabl Quantenmechanik QM I 5 erweiterte Auflage Springer Berlin u a 1998 ISBN 3 540 63779 6 Springer Lehrbuch Franz Schwabl Quantenmechanik fur Fortgeschrittene QM II Springer Berlin u a 1997 ISBN 3 540 63382 0 Springer Lehrbuch Claude Cohen Tannoudji Bernard Diu Franck Laloe Quantum Mechanics Volume 2 Wiley u a New York NY u a 1977 ISBN 0 471 16435 6 A Wiley Interscience Publication Einzelnachweise Bearbeiten Wolfgang Pauli Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons In Zeitschrift fur Physik Band 43 1927 S 601 623 doi 10 1007 BF01397326 Walter Greiner Quantenmechanik Einfuhrung Band 4 ISBN 3 8171 1765 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pauli Gleichung amp oldid 232683455