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Parabelzirkel des Frans van Schooten Der ist ein Mechanismus der die Form einer Parabel erzeugt Im Jahr 1657 veröffentli

Parabelzirkel des Frans van Schooten

Der Parabelzirkel des Frans van Schooten ist ein Mechanismus, der die Form einer Parabel erzeugt. Im Jahr 1657 veröffentlichte Frans van Schooten in seinem Werk EXERCITATIONUM MATHEMATICARUM LIBRI QUINQUE in LIBER IV einen Parabelzirkel.

Parabelzirkel des Frans van Schooten

Im Wesentlichen besteht der Parabelzirkel aus vier Teilen:

  1. einer feststehenden Hauptschiene, deren Vorderkante durch den Punkt verläuft,
  2. einer Raute mit den Gelenkpunkten mit der Zirkelnadel im Brennpunkt ,
  3. einem gespaltenen Diagonalstab mit dem Schreibstift in
  4. einer beweglichen Führungsschiene , orthogonal zur Hauptschiene angeordnet und mit der Raute im Gelenkpunkt verbunden.

Die Führungsschiene ist auf der Hauptschiene verschiebbar gelagert. Zusammen bilden sie einen rechten Winkel. Ein sogenannter Gleitstein, im Punkt der Führungsschiene ermöglicht eine bewegliche Verbindung des gespaltenen Diagonalstabes mit der Führungsschiene

Die Handhabung des Parabelzirkels sollen die beiden eingezeichneten Hände verdeutlichen. Nach dem Einstechen des Zirkels in den Brennpunkt hält man mit einer Hand die Hauptschiene fest. Mit der anderen Hand wird mithilfe eines Griffes im Punkt eine Dreh- und Schiebebewegung um ausgeführt. Dadurch zwingt die Führungsschiene zusammen mit dem Diagonalstab den Schreibstift in eine parabelförmige Bahn.

Eine mögliche Begründung, weshalb die mit dem Parabelzirkel des Frans van Schooten gezogenen Kurven exakte Parabeln sind, ist im nachfolgenden Abschnitt Geometrische Betrachtung beschrieben.

Geometrische Betrachtung Bearbeiten

Zur Verdeutlichung, weshalb die mit dem Parabelzirkel erzeugten Kurven exakte Parabeln sind, wird im Folgenden zuerst in einer Basiskonstruktion ein Parabelpunkt nach Definition mit Leitlinie bestimmt und im Anschluss daran der Parabelzirkel prinzipiell eingearbeitet. In Parabel zeichnen wird dessen Bewegungsablauf erläutert. Die Bezeichnungen der Punkte sind der obigen originären Darstellung Parabelzirkel des Frans van Schooten entnommen.

Parabelpunkt nach Definition mit Leitlinie Bearbeiten

Bild 1: Parabelpunkt nach Definition mit Leitlinie

Mit den von Bild 1 eingesetzten Bezeichnungen der Punkte lautet eine maßgebende Aussage der Definition mit Leitlinie:

Nach dem Einzeichnen der Leitlinie wird die Parabelachse gezeichnet; es ergibt den Schnittpunkt . Nun setzt man den Brennpunkt mit einem frei wählbaren Abstand zur Leitlinie (je größer dieser Abstand ist, desto flacher wird die Krümmung der Parabel), z. B. unterhalb des Punktes für eine nach unten offene Parabel. Mit der gezeichneten Leitlinie und dem gewählten Brennpunkt ist die Parabel bereits mathematisch bestimmt. Die Parabel (grün) kann z. B. mithilfe einer Dynamischen‐Geometrie‐Software (DGS) eingetragen werden.

Nun zieht man mit einer abgeschätzten Zirkelöffnung jeweils einen Kreisbogen um und um den soeben auf der Leitlinie entstandenen Schnittpunkt ; die Schnittpunkte sind und Eine anschließende Gerade durch und ist auch die Mittelsenkrechte des Abstandes Die nun folgende Senkrechte zur Leitlinie ab dem Punkt schneidet die Mittelsenkrechte im gesuchten Punkt und bringt das gleichschenklige Dreieck

Das gleichschenklige Dreieck mit

ist eine halbe Raute, in der die Mittelsenkrechte eine Tangente der Parabel ist. Die Tangente berührt die Parabel im Punkt Somit ist der konstruierte Punkt ein Parabelpunkt.

Konstruktion des Parabelzirkel Bearbeiten

  • Damit der Parabelzirkel eine komplette Parabellinie zeichnen kann, ist es erforderlich, den Parabelpunkt (Zeichenstift) innerhalb der Raute zu legen. Anzumerken ist, dass in der obigen originären Darstellung Parabelzirkel des Frans van Schooten außerhalb der Raute liegt. Mit dieser Position von kann nur eine gekürzte Parabellinie gezogen werden; z. B. gegen den Uhrzeigersinn, bis der Zeichenstift am Gelenkpunkt der Raute anliegt.

Die nebenstehende Prinzipskizze (Bild 2) ist eine Weiterführung der Basiskonstruktion Parabelpunkt nach Definition mit Leitlinie (Bild 1). Für eine bessere Übersichtlichkeit wurde die Parabel (grün) ausgeblendet. Die hierfür erforderlichen Punkte und sowie die Leitlinie und die Mittelsenkrechte sind bereits bestimmt, es bedarf deshalb nur noch einer einfachen Einarbeitung der obig beschriebenen wesentlichen Teile des Parabelzirkels.

Zuerst werden die zwei Seitenlängen und der Raute, mit abgeschätzter Zirkelöffnung, größer als der Abstand , auf der Mittelsenkrechten festgelegt. Die Verbindung der Gelenkpunkte mit sowie mit schließt sich an und vollendet die Raute mit dem gleichschenkligen Dreieck (hellblau). Es folgt das Einzeichnen des Diagonalstabes ab dem Gelenkpunkt über hinaus. Abschließend wird die Führungsschiene eine auf der Leitlinie im Punkt errichtete Senkrechte (Orthogonale), eingezeichnet. Sie schneidet den Diagonalstab , wie vorgegeben, ebenfalls im Parabelpunkt des gleichschenkligen Dreiecks (rosa).

Bild 2: Prinzipskizze
Bild 3: Animierte Prinzipskizze

Parabel zeichnen Bearbeiten

Wird der Parabelzirkel wie oben beschrieben von Hand bewegt (Bild 3), läuft der Gelenkpunkt entlang der Leitlinie und der Schreibstift () im Spalt des Diagonalstabes Die Führungsschiene zwingt den Diagonalstab als konstante Mittelsenkrechte der sich kontinuierlich verändernden gleichschenkligen Dreiecke und zu wirken. Daraus folgt: In jeder gedrehten Stellung des Parabelzirkels gilt

Damit wird aufgezeigt: Die mit dem Parabelzirkel gezogenen Kurven sind exakte Parabeln.

Anwendungen Bearbeiten

Bild 4: Parabelzirkel, animierte Konzeptzeichnung, Nachempfindung des Nachbaus aus dem Mathematik-Labor der WWU Münster
  • In der Station des Projektes Mathematik-Labor der WWU Münster wird ein stabiler und praktikabler Nachbau des Parabelzirkel von Frans van Schooten mit kleinen Abänderungen gezeigt. Mithilfe dieses realen Modells können Schülerinnen und Schüler u. a. experimentell die Bauteile, Funktionsweise, aber auch den mathematischen Hintergrund des Parabelzirkels erkunden.
  1. Grundplatte (hellgrau)
  2. Kreuzschlitten (grün)
  3. Schlittenführung (hellblau) mit Befestigung (anthrazit) und Anschlägen (schwarz)
  4. Führungsschiene (giftgrün) mit Gleitstein (schwarz)
  5. Raute (anthrazit)
  6. Diagonalstab (honigfarben)
  7. Anschlagschiene (ocker) mit Leitlinie (blau) für das Zeichenblatt (weiß)
  8. Führung der Brennpunktschiene (hellblau)
  9. Brennpunktschiene (grau), verstellbare Schiene zum Einstellen des Brennpunktes
  • Christian van Randenborgh veröffentlichte 2015 in seinem Werk Instrumente der Wissensvermittlung im Mathematikunterricht einen Holznachbau aus dem Jahr 2010. Er erläutert darin den Parabelzirkel u. a. anhand der folgenden sechs, wie er sagt, „Ideen“:

„Die Einsatzidee des Parabelzirkels ist das Zeichnen von Parabeln (Punkt P = Stift).

An dem Holznachbau wird ersichtlich, dass die wesentliche mechanische Idee des Parabelzirkels die Gelenkraute (FRLQ) ist.

Beim Parabelzirkel kann man die mathematische Idee in der Bau- und in der Funktionsweise wiederfinden.

Die didaktische Idee wird später noch ausführlicher erörtert werden.33

Bei einem entsprechenden Einsatz im Unterricht entsteht bei den Schülern eine Nutzungsidee, wie man mit dem Parabelzirkel zeichnen und wofür man ihn benutzen kann.

All dieses spricht dafür, dass der Parabelzirkel auch ein bestimmtes Interesse an Mathematik und einen bestimmten Blick auf die Geometrie verkörpert, kurz: eine kulturell-historische Idee in sich trägt.“

Siehe auch Bearbeiten

Fadenkonstruktion einer Parabel

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Frans van Schooten: EXERCITATIONUM MATHEMATICARUM LIBRI QUINQUE. Lugdunum Batavorum [= Leiden]: Johannes Elsevirius, 1656–1657, Inhaltsübersicht, S. 7 Online-Kopie (Google), abgerufen am 6. Februar 2019.
  2. Frans van Schooten: EXERCITATIONUM MATHEMATICARUM, LIBER IV. SIVE DE ORGANICA CONICARUM SECTIONUM IN PLANO DESCRIPTIONE, … Titelseite, S. 293 Online-Kopie (Google), abgerufen am 6. Februar 2019.
  3. Frans van Schooten: EXERCITATIONUM MATHEMATICARUM LIBER IV … Parabelzirkel, S. 356–359 Online-Kopie (Google), abgerufen am 6. Februar 2019.
  4. Sabine Baum: Digitale Werkzeuge. Simulationen und mathematisches Modellieren. In: Gilbert Greefrath, Hans-Stefan Siller (Hrsg.): Realitätsbezüge im Mathematikunterricht. Springer Spektrum, Wiesbaden 2018, ISBN 978-3-658-21939-0, 5.5 Mathematische Instrumente – Der Parabelzirkel, S. 104–105, Abb. 5.12 a (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 6. Februar 2019]).
  5. MATHEMATIK-Labor, Beschreibung des Projekts. Abgerufen am 6. Februar 2019.
  6. Sabine Baum: Digitale Werkzeuge. Simulationen und mathematisches Modellieren. In: Gilbert Greefrath, Hans-Stefan Siller (Hrsg.): Realitätsbezüge im Mathematikunterricht. Springer Spektrum, Wiesbaden 2018, ISBN 978-3-658-21939-0, 5.5 Mathematische Instrumente – Der Parabelzirkel, S. 105, Abb. 5.13 a (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 9. Februar 2019]).
  7. Christian van Randenborgh: Instrumente der Wissensvermittlung im Mathematikunterricht. Springer Spektrum, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-07290-2, 1.2.1 Der Parabelzirkel von van Schooten als Ideenkonglomerat, S. 7 ff., Abb. 1.2 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 6. Februar 2019]).
  8. Christian van Randenborgh: Instrumente der Wissensvermittlung im Mathematikunterricht. Springer Spektrum, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-07290-2, 1.2.1 Der Parabelzirkel von van Schooten als Ideenkonglomerat, Holznachbau aus dem Jahr 2010, S. 9 ff., Abb. 1.3 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 6. Februar 2019]).
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Veröffentlichungsdatum:
Der Parabelzirkel des Frans van Schooten ist ein Mechanismus der die Form einer Parabel erzeugt Im Jahr 1657 veroffentlichte Frans van Schooten in seinem Werk EXERCITATIONUM MATHEMATICARUM LIBRI QUINQUE 1 in LIBER IV 2 einen Parabelzirkel 3 Parabelzirkel des Frans van SchootenIm Wesentlichen besteht der Parabelzirkel aus vier Teilen einer feststehenden Hauptschiene deren Vorderkante durch den Punkt E displaystyle E verlauft einer Raute mit den Gelenkpunkten B H G F displaystyle BHGF mit der Zirkelnadel im Brennpunkt B displaystyle B einem gespaltenen Diagonalstab F K displaystyle FK mit dem Schreibstift in D displaystyle D einer beweglichen Fuhrungsschiene G I displaystyle GI orthogonal zur Hauptschiene angeordnet und mit der Raute im Gelenkpunkt G displaystyle G verbunden Die Fuhrungsschiene G I displaystyle GI ist auf der Hauptschiene verschiebbar gelagert Zusammen bilden sie einen rechten Winkel Ein sogenannter Gleitstein im Punkt D displaystyle D der Fuhrungsschiene G I displaystyle GI ermoglicht eine bewegliche Verbindung des gespaltenen Diagonalstabes F K displaystyle FK mit der Fuhrungsschiene G I displaystyle GI Die Handhabung des Parabelzirkels sollen die beiden eingezeichneten Hande verdeutlichen Nach dem Einstechen des Zirkels in den Brennpunkt B displaystyle B halt man mit einer Hand die Hauptschiene fest Mit der anderen Hand wird mithilfe eines Griffes im Punkt G displaystyle G eine Dreh und Schiebebewegung um B displaystyle B ausgefuhrt Dadurch zwingt die Fuhrungsschiene G I displaystyle GI zusammen mit dem Diagonalstab F K displaystyle FK den Schreibstift D displaystyle D in eine parabelformige Bahn Eine mogliche Begrundung weshalb die mit dem Parabelzirkel des Frans van Schooten gezogenen Kurven exakte Parabeln sind ist im nachfolgenden Abschnitt Geometrische Betrachtung beschrieben Inhaltsverzeichnis 1 Geometrische Betrachtung 1 1 Parabelpunkt nach Definition mit Leitlinie 1 2 Konstruktion des Parabelzirkel 1 3 Parabel zeichnen 2 Anwendungen 3 Siehe auch 4 Literatur 5 EinzelnachweiseGeometrische Betrachtung BearbeitenZur Verdeutlichung weshalb die mit dem Parabelzirkel erzeugten Kurven exakte Parabeln sind wird im Folgenden zuerst in einer Basiskonstruktion ein Parabelpunkt D displaystyle D nbsp nach Definition mit Leitlinie bestimmt und im Anschluss daran der Parabelzirkel prinzipiell eingearbeitet In Parabel zeichnen wird dessen Bewegungsablauf erlautert Die Bezeichnungen der Punkte sind der obigen originaren Darstellung Parabelzirkel des Frans van Schooten entnommen Parabelpunkt nach Definition mit Leitlinie Bearbeiten nbsp Bild 1 Parabelpunkt nach Definition mit Leitlinie l displaystyle l nbsp Mit den von Bild 1 eingesetzten Bezeichnungen der Punkte lautet eine massgebende Aussage der Definition mit Leitlinie Eine Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte D displaystyle D nbsp deren Abstand d D B displaystyle d D B nbsp zu einem speziellen festen Punkt dem Brennpunkt B displaystyle B nbsp gleich dem Abstand d D l displaystyle d D l nbsp zu einer speziellen Geraden der Leitlinie l displaystyle l nbsp ist Nach dem Einzeichnen der Leitlinie l displaystyle l nbsp wird die Parabelachse gezeichnet es ergibt den Schnittpunkt E displaystyle E nbsp Nun setzt man den Brennpunkt B displaystyle B nbsp mit einem frei wahlbaren Abstand zur Leitlinie l displaystyle l nbsp je grosser dieser Abstand ist desto flacher wird die Krummung der Parabel z B unterhalb des Punktes E displaystyle E nbsp fur eine nach unten offene Parabel Mit der gezeichneten Leitlinie l displaystyle l nbsp und dem gewahlten Brennpunkt B displaystyle B nbsp ist die Parabel bereits mathematisch bestimmt Die Parabel grun kann z B mithilfe einer Dynamischen Geometrie Software DGS eingetragen werden Nun zieht man mit einer abgeschatzten Zirkeloffnung jeweils einen Kreisbogen um B displaystyle B nbsp und um den soeben auf der Leitlinie l displaystyle l nbsp entstandenen Schnittpunkt G displaystyle G nbsp die Schnittpunkte sind R displaystyle R nbsp und S displaystyle S nbsp Eine anschliessende Gerade durch R displaystyle R nbsp und S displaystyle S nbsp ist auch die Mittelsenkrechte M S displaystyle M S nbsp des Abstandes B G displaystyle BG nbsp Die nun folgende Senkrechte zur Leitlinie l displaystyle l nbsp ab dem Punkt G displaystyle G nbsp schneidet die Mittelsenkrechte M S displaystyle M S nbsp im gesuchten Punkt D displaystyle D nbsp und bringt das gleichschenklige Dreieck G B D displaystyle GBD nbsp Das gleichschenklige Dreieck G B D displaystyle GBD nbsp mit D B D G displaystyle DB DG nbsp ist eine halbe Raute in der die Mittelsenkrechte M S displaystyle M S nbsp eine Tangente der Parabel ist Die Tangente beruhrt die Parabel im Punkt D displaystyle D nbsp Somit ist der konstruierte Punkt D displaystyle D nbsp ein Parabelpunkt Konstruktion des Parabelzirkel Bearbeiten Damit der Parabelzirkel eine komplette Parabellinie zeichnen kann ist es erforderlich den Parabelpunkt D displaystyle D nbsp Zeichenstift innerhalb der Raute zu legen Anzumerken ist dass in der obigen originaren Darstellung Parabelzirkel des Frans van Schooten D displaystyle D nbsp ausserhalb der Raute liegt Mit dieser Position von D displaystyle D nbsp kann nur eine gekurzte Parabellinie gezogen werden z B gegen den Uhrzeigersinn bis der Zeichenstift D displaystyle D nbsp am Gelenkpunkt H displaystyle H nbsp der Raute anliegt 4 Die nebenstehende Prinzipskizze Bild 2 ist eine Weiterfuhrung der Basiskonstruktion Parabelpunkt nach Definition mit Leitlinie l displaystyle l nbsp Bild 1 Fur eine bessere Ubersichtlichkeit wurde die Parabel grun ausgeblendet Die hierfur erforderlichen Punkte B G displaystyle B G nbsp und D displaystyle D nbsp sowie die Leitlinie l displaystyle l nbsp und die Mittelsenkrechte M S displaystyle M S nbsp sind bereits bestimmt es bedarf deshalb nur noch einer einfachen Einarbeitung der obig beschriebenen wesentlichen Teile des Parabelzirkels Zuerst werden die zwei Seitenlangen F G displaystyle overline FG nbsp und G H displaystyle overline GH nbsp der Raute mit abgeschatzter Zirkeloffnung grosser als der Abstand G D displaystyle GD nbsp auf der Mittelsenkrechten M S displaystyle M S nbsp festgelegt Die Verbindung der Gelenkpunkte B displaystyle B nbsp mit F displaystyle F nbsp sowie B displaystyle B nbsp mit H displaystyle H nbsp schliesst sich an und vollendet die Raute B H G F displaystyle BHGF nbsp mit dem gleichschenkligen Dreieck B G F displaystyle BGF nbsp hellblau Es folgt das Einzeichnen des Diagonalstabes F K displaystyle FK nbsp ab dem Gelenkpunkt F displaystyle F nbsp uber H displaystyle H nbsp hinaus Abschliessend wird die Fuhrungsschiene G I displaystyle GI nbsp eine auf der Leitlinie l displaystyle l nbsp im Punkt G displaystyle G nbsp errichtete Senkrechte Orthogonale eingezeichnet Sie schneidet den Diagonalstab F K displaystyle FK nbsp wie vorgegeben ebenfalls im Parabelpunkt D displaystyle D nbsp des gleichschenkligen Dreiecks G B D displaystyle GBD nbsp rosa nbsp Bild 2 Prinzipskizze nbsp Bild 3 Animierte Prinzipskizze Parabel zeichnen Bearbeiten Wird der Parabelzirkel wie oben beschrieben von Hand bewegt Bild 3 lauft der Gelenkpunkt G displaystyle G nbsp entlang der Leitlinie l displaystyle l nbsp und der Schreibstift D displaystyle D nbsp im Spalt des Diagonalstabes F K displaystyle FK nbsp Die Fuhrungsschiene G I displaystyle GI nbsp zwingt den Diagonalstab F K displaystyle FK nbsp als konstante Mittelsenkrechte M S displaystyle M S nbsp der sich kontinuierlich verandernden gleichschenkligen Dreiecke G B F displaystyle GBF nbsp und G B D displaystyle GBD nbsp zu wirken Daraus folgt In jeder gedrehten Stellung des Parabelzirkels gilt D B D G displaystyle DB DG nbsp Damit wird aufgezeigt Die mit dem Parabelzirkel gezogenen Kurven sind exakte Parabeln Anwendungen Bearbeiten nbsp Bild 4 Parabelzirkel animierte Konzeptzeichnung Nachempfindung des Nachbaus aus dem Mathematik Labor der WWU MunsterIn der Station des Projektes Mathematik Labor der WWU Munster 5 wird ein stabiler und praktikabler Nachbau des Parabelzirkel von Frans van Schooten mit kleinen Abanderungen gezeigt Mithilfe dieses realen Modells konnen Schulerinnen und Schuler u a experimentell die Bauteile Funktionsweise aber auch den mathematischen Hintergrund des Parabelzirkels erkunden 6 Die nebenstehende Konzeptzeichnung Bild 4 ist eine Nachempfindung dieses Nachbaus Die Bezeichnungen der relevanten Punkte entsprechen denen im Bild 1 Aufbau des Nachbaus Grundprinzip von Frans van Schooten Grundplatte hellgrau Kreuzschlitten grun Schlittenfuhrung hellblau mit Befestigung anthrazit und Anschlagen schwarz Fuhrungsschiene giftgrun mit Gleitstein schwarz Raute anthrazit Diagonalstab honigfarben Anschlagschiene ocker mit Leitlinie l displaystyle l nbsp blau fur das Zeichenblatt weiss Fuhrung der Brennpunktschiene hellblau Brennpunktschiene grau verstellbare Schiene zum Einstellen des Brennpunktes B displaystyle B nbsp Christian van Randenborgh veroffentlichte 2015 in seinem Werk Instrumente der Wissensvermittlung im Mathematikunterricht 7 einen Holznachbau aus dem Jahr 2010 Er erlautert darin den Parabelzirkel u a anhand der folgenden sechs wie er sagt Ideen 8 Die Einsatzidee des Parabelzirkels ist das Zeichnen von Parabeln Punkt P Stift An dem Holznachbau wird ersichtlich dass die wesentliche mechanische Idee des Parabelzirkels die Gelenkraute FRLQ ist Beim Parabelzirkel kann man die mathematische Idee in der Bau und in der Funktionsweise wiederfinden Die didaktische Idee wird spater noch ausfuhrlicher erortert werden 33Bei einem entsprechenden Einsatz im Unterricht entsteht bei den Schulern eine Nutzungsidee wie man mit dem Parabelzirkel zeichnen und wofur man ihn benutzen kann All dieses spricht dafur dass der Parabelzirkel auch ein bestimmtes Interesse an Mathematik und einen bestimmten Blick auf die Geometrie verkorpert kurz eine kulturell historische Idee in sich tragt Siehe auch BearbeitenFadenkonstruktion einer ParabelLiteratur BearbeitenC Edward Sandifer Van Schooten s Ruler Constructions In Convergence August 2010 doi 10 4169 convergence20141101 englisch Einzelnachweise Bearbeiten Frans van Schooten EXERCITATIONUM MATHEMATICARUM LIBRI QUINQUE Lugdunum Batavorum Leiden Johannes Elsevirius 1656 1657 Inhaltsubersicht S 7 Online Kopie Google abgerufen am 6 Februar 2019 Frans van Schooten EXERCITATIONUM MATHEMATICARUM LIBER IV SIVE DE ORGANICA CONICARUM SECTIONUM IN PLANO DESCRIPTIONE Titelseite S 293 Online Kopie Google abgerufen am 6 Februar 2019 Frans van Schooten EXERCITATIONUM MATHEMATICARUM LIBER IV Parabelzirkel S 356 359 Online Kopie Google abgerufen am 6 Februar 2019 Sabine Baum Digitale Werkzeuge Simulationen und mathematisches Modellieren In Gilbert Greefrath Hans Stefan Siller Hrsg Realitatsbezuge im Mathematikunterricht Springer Spektrum Wiesbaden 2018 ISBN 978 3 658 21939 0 5 5 Mathematische Instrumente Der Parabelzirkel S 104 105 Abb 5 12 a eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche abgerufen am 6 Februar 2019 MATHEMATIK Labor Beschreibung des Projekts Abgerufen am 6 Februar 2019 Sabine Baum Digitale Werkzeuge Simulationen und mathematisches Modellieren In Gilbert Greefrath Hans Stefan Siller Hrsg Realitatsbezuge im Mathematikunterricht Springer Spektrum Wiesbaden 2018 ISBN 978 3 658 21939 0 5 5 Mathematische Instrumente Der Parabelzirkel S 105 Abb 5 13 a eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche abgerufen am 9 Februar 2019 Christian van Randenborgh Instrumente der Wissensvermittlung im Mathematikunterricht Springer Spektrum Wiesbaden 2015 ISBN 978 3 658 07290 2 1 2 1 Der Parabelzirkel von van Schooten als Ideenkonglomerat S 7 ff Abb 1 2 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche abgerufen am 6 Februar 2019 Christian van Randenborgh Instrumente der Wissensvermittlung im Mathematikunterricht Springer Spektrum Wiesbaden 2015 ISBN 978 3 658 07290 2 1 2 1 Der Parabelzirkel von van Schooten als Ideenkonglomerat Holznachbau aus dem Jahr 2010 S 9 ff Abb 1 3 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