www.wikidata.de-de.nina.az

Palais Smale Bedingung Die auch Palais Smale Kompaktheits Bedingung abgekürzt als PS ist in der Variationsrechnung eine

Palais-Smale-Bedingung

Die Palais-Smale-Bedingung (auch Palais-Smale-Kompaktheits-Bedingung), abgekürzt als (PS), ist in der Variationsrechnung eine Bedingung für Kompaktheit in unendlich-dimensionalen Räumen. Der Kompaktheitsbegriff wird hier nicht auf dem Raum definiert, sondern auf den Funktionalen selbst, die spezielle kritische Punkte besitzen. Die Bedingung ist dadurch interessant, da viele Funktionale sie erfüllen. Es existieren mehrere Varianten der Bedingung, wobei die Originalbedingung heute häufig als Bedingung (C) bezeichnet wird und eine stärkere Bedingung als (PS). (PS) ist eine notwendige Bedingung im Satz vom Bergpass (auch Satz vom Gebirgspasses genannt) und findet Anwendung in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen.

Die Palais-Smale-Bedingung ist nach Richard Palais und Stephen Smale benannt.

Die abgeschwächte Formulierung stammt von Haïm Brezis, Jean-Michel Coron und Louis Nirenberg.

Palais-Smale-Bedingungen Bearbeiten

Bedingung (C) Bearbeiten

Sei ein Banach-Raum, ein -Funktional und die Restriktion für . Sei die Klasse bestehend aus allen Untermengen , so dass

  • beschränkt ist,
  • nicht von weg beschränkt ist, das bedeutet, es existiert keine Konstante , so dass .

Dann erfüllt die Bedingung (C), falls jedes einen kritischen Punkt von auf dem Abschluss von besitzt.

Palais-Smale-Bedingung Bearbeiten

Sei ein Banach-Raum und ein -Funktional. Dann erfüllt die Palais-Smale-Bedingung (PS), falls für jede Folge in , für die gilt

  • ist beschränkt,
  • ,

eine konvergente Teilfolge existiert.

Lokale Palais-Smale-Bedingung Bearbeiten

Sei ein Banach-Raum, ein -Funktional und . Dann erfüllt die (lokale) Palais-Smale-Bedingung auf Niveau , falls für jede Folge in , für die gilt

  • ,
  • ,

eine konvergente Teilfolge existiert.

Erläuterungen Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Youssef Jabri: The Mountain Pass Theorem: Variants, Generalizations and Some Applications. Hrsg.: Cambridge University Press (= Encyclopedia of Mathematics and its Applications). Cambridge 2003, S. 15–16, doi:10.1017/CBO9780511546655.
  • Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations (= Graduate Studies in Mathematics. Band 19). 3. Auflage. American Mathematical Society, 2002, ISBN 0-8218-0772-2, ISSN 1065-7339, S. 477.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. R. S. Palais und S. Smale: A generalized Morse theory. In: Bull. Amer. Math. Soc. Band 70, 1964, S. 165–172.
  2. H. Brezis H., J.M. Coron und L. Nirenberg L: Free vibrations for a nonlinear wave equation and a theorem of Rabinowitz. In: Comm. Pure Appl. Math. Band 33, 1980, S. 667–689.
  3. ↑ Youssef Jabri: The Mountain Pass Theorem: Variants, Generalizations and Some Applications. Hrsg.: Cambridge University Press (= Encyclopedia of Mathematics and its Applications). Cambridge 2003, S. 15–16, doi:10.1017/CBO9780511546655.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Palais Smale Bedingung auch Palais Smale Kompaktheits Bedingung abgekurzt als PS ist in der Variationsrechnung eine Bedingung fur Kompaktheit in unendlich dimensionalen Raumen Der Kompaktheitsbegriff wird hier nicht auf dem Raum definiert sondern auf den Funktionalen selbst die spezielle kritische Punkte besitzen Die Bedingung ist dadurch interessant da viele Funktionale sie erfullen Es existieren mehrere Varianten der Bedingung wobei die Originalbedingung heute haufig als Bedingung C bezeichnet wird und eine starkere Bedingung als PS PS ist eine notwendige Bedingung im Satz vom Bergpass auch Satz vom Gebirgspasses genannt und findet Anwendung in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen Die Palais Smale Bedingung ist nach Richard Palais und Stephen Smale benannt 1 Die abgeschwachte Formulierung stammt von Haim Brezis Jean Michel Coron und Louis Nirenberg 2 Inhaltsverzeichnis 1 Palais Smale Bedingungen 1 1 Bedingung C 1 2 Palais Smale Bedingung 1 3 Lokale Palais Smale Bedingung 1 4 Erlauterungen 2 Literatur 3 EinzelnachweisePalais Smale Bedingungen BearbeitenBedingung C Bearbeiten Sei X displaystyle X nbsp ein Banach Raum I X R displaystyle I X to mathbb R nbsp ein C 1 displaystyle C 1 nbsp Funktional und I S displaystyle I S nbsp die Restriktion I S R displaystyle I S to mathbb R nbsp fur S X displaystyle S subset X nbsp Sei S displaystyle mathcal S nbsp die Klasse bestehend aus allen Untermengen S X displaystyle S subset X nbsp so dass I S displaystyle I S nbsp beschrankt ist I S displaystyle I S nbsp nicht von 0 displaystyle 0 nbsp weg beschrankt ist das bedeutet es existiert keine Konstante c gt 0 displaystyle c gt 0 nbsp so dass I S gt c displaystyle I S gt c nbsp Dann erfullt I displaystyle I nbsp die Bedingung C falls jedes S S displaystyle S in mathcal S nbsp einen kritischen Punkt von I displaystyle I nbsp auf dem Abschluss von S displaystyle S nbsp besitzt 3 Palais Smale Bedingung Bearbeiten Sei X displaystyle X nbsp ein Banach Raum und I X R displaystyle I X to mathbb R nbsp ein C 1 displaystyle C 1 nbsp Funktional Dann erfullt I displaystyle I nbsp die Palais Smale Bedingung PS falls fur jede Folge u k k displaystyle u k k nbsp in X displaystyle X nbsp fur die gilt I u k k displaystyle I u k k nbsp ist beschrankt I u k 0 displaystyle I u k to 0 nbsp eine konvergente Teilfolge existiert 3 Lokale Palais Smale Bedingung Bearbeiten Sei X displaystyle X nbsp ein Banach Raum I X R displaystyle I X to mathbb R nbsp ein C 1 displaystyle C 1 nbsp Funktional und c R displaystyle c in mathbb R nbsp Dann erfullt I displaystyle I nbsp die lokale Palais Smale Bedingung P S c displaystyle PS c nbsp auf Niveau c displaystyle c nbsp falls fur jede Folge u k k displaystyle u k k nbsp in X displaystyle X nbsp fur die gilt I u k c displaystyle I u k to c nbsp I u k 0 displaystyle I u k to 0 nbsp eine konvergente Teilfolge existiert 3 Erlauterungen Bearbeiten Es gilt P S C displaystyle PS implies C nbsp und P S P S c displaystyle PS implies PS c nbsp sowie P S c c R P S displaystyle PS c forall c in mathbb R implies PS nbsp Sei K displaystyle mathbb K nbsp die Menge aller kritischen Punkte Weiter sei K displaystyle K nbsp die Bedingung dass fur alle B K displaystyle B subset mathbb K nbsp auf denen I B displaystyle I vert B nbsp gleichmassig beschrankt ist B displaystyle B nbsp auch prakompakt ist Dann gilt C K P S displaystyle C land K implies PS nbsp Literatur BearbeitenYoussef Jabri The Mountain Pass Theorem Variants Generalizations and Some Applications Hrsg Cambridge University Press Encyclopedia of Mathematics and its Applications Cambridge 2003 S 15 16 doi 10 1017 CBO9780511546655 Lawrence C Evans Partial Differential Equations Graduate Studies in Mathematics Band 19 3 Auflage American Mathematical Society 2002 ISBN 0 8218 0772 2 ISSN 1065 7339 S 477 Einzelnachweise Bearbeiten R S Palais und S Smale A generalized Morse theory In Bull Amer Math Soc Band 70 1964 S 165 172 H Brezis H J M Coron und L Nirenberg L Free vibrations for a nonlinear wave equation and a theorem of Rabinowitz In Comm Pure Appl Math Band 33 1980 S 667 689 a b c Youssef Jabri The Mountain Pass Theorem Variants Generalizations and Some Applications Hrsg Cambridge University Press Encyclopedia of Mathematics and its Applications Cambridge 2003 S 15 16 doi 10 1017 CBO9780511546655 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Palais Smale Bedingung amp oldid 232367113