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Ore Bedingung Die Links bzw Rechts en sind in der Ringtheorie einem Teilgebiet der Algebra ein Kriterium welches es erla

Ore-Bedingung

Die (Links- bzw. Rechts-)Ore-Bedingungen sind in der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Algebra, ein Kriterium, welches es erlaubt, die Bildung von Quotientenkörpern oder allgemeiner Lokalisierungen auch auf den Fall zu verallgemeinern, in dem der zugrundeliegende Ring nicht kommutativ ist. Sie sind benannt nach ihrem Entdecker Øystein Ore. Ringe, die sie erfüllen, werden (Links- bzw. Rechts-)Ore-Ringe genannt.

Motivation Bearbeiten

In der kommutativen Algebra ist die Lokalisierung von Ringen ein nützliches Hilfsmittel. Diese besteht grob gesagt darin, dass Elemente einer Teilmenge des Rings invertierbar gemacht oder „als Nenner zugelassen“ werden. Damit dies sinnvoll definiert werden kann, ist dort nur nötig, dass die Menge multiplikativ ist und die 1 enthält (üblicherweise wird zudem noch gefordert).

Sobald man versucht, dieses Vorgehen auf nicht-kommutative Ringe zu verallgemeinern, stößt man auf mehrere Probleme. Zwar kann man abstrakt stets einen Ring bilden, in dem die Elemente von invertierbar werden und der einer geeigneten universellen Eigenschaft analog zu derjenigen im kommutativen Fall genügt, aber dieser hat im Allgemeinen schlechte Eigenschaften und ist nicht leicht konkret anzugeben. Selbst für nullteilerfreie Ringe treten Schwierigkeiten auf. Zum Beispiel ist gezeigt worden, dass es nullteilerfreie Ringe gibt, die sich in keinen Schiefkörper einbetten lassen. Insbesondere kann es nicht in voller Allgemeinheit eine Art „Quotientenschiefkörper“ analog zum Quotientenkörper für Integritätsbereiche geben.

Der norwegische Mathematiker Øystein Ore gab 1931 in einem Artikel ein Kriterium an, das die Bildung gewisser Ringe von Quotienten erlaubt. Ores Überlegungen wurden später von Keizo Asano und anderen verallgemeinert.

Spezialfall: Nullteilerfreie Ringe Bearbeiten

Sei ein Ring (mit 1) ohne Nullteiler. erfüllt die Rechts-Ore-Bedingung, wenn für alle gilt:

.

Das heißt, und haben noch weitere gemeinsame Vielfache „von rechts“ außer der 0. Man nennt dann auch einen Rechts-Ore-Ring.

Analog wird die Links-Ore-Bedingung durch für alle definiert.

Bildung von „Quotientenschiefkörpern“ Bearbeiten

Erfüllt die Rechts-Ore-Bedingung, so kann man ähnlich wie bei der Bildung des Quotientenkörpers einen Quotientenschiefkörper bilden. Die Elemente werden wieder als Brüche geschrieben, etwa als

mit .

Dabei werden zwei „Brüche“ und identifiziert, wenn es weitere Elemente gibt, so dass und gilt. (Formal wird damit eine Äquivalenzrelation auf der Menge definiert, und bezeichnet die Äquivalenzklasse von .)

Für diese „Brüche“ werden nun die Addition und die Multiplikation nach bestimmten Formeln definiert, die ein wenig komplizierter sind als die üblichen Regeln beim Bruchrechnen. Für die Definitionen (ebenso wie dafür, dass obige Identifikation tatsächlich eine Äquivalenzrelation war) muss jeweils die Rechts-Ore-Bedingung ausgenutzt werden.

Die so definierte Addition und Multiplikation machen die Menge jener „Brüche“ tatsächlich zu einem Schiefkörper , und die Abbildung definiert eine Einbettung von nach .

Zusätzlich gilt folgende universelle Eigenschaft: Ist ein Ringhomomorphismus derart, dass für alle eine Einheit in ist, so setzt sich eindeutig zu einem Ringhomomorphismus fort.

Analog lässt sich alles „von links“ definieren. Es ist zu beachten, dass ein Ring die Links-Ore-Bedingung erfüllen kann, ohne ein Rechts-Ore-Ring zu sein, und umgekehrt (siehe Beispiele). Ist ein Ring jedoch sowohl ein Links- als auch ein Rechts-Ore-Ring (man sagt dann einfach „Ore-Ring“), so sind die zugehörigen Links- bzw. Rechts-Quotientenschiefkörper isomorph.

Eigenschaften und Beispiele Bearbeiten

  • Jeder (links-/rechts-)noethersche nullteilerfreie Ring erfüllt die (Links-/Rechts-)Ore-Bedingung.
  • Ein nullteilerfreier Ring ist genau dann ein (Links-/Rechts-)Ore-Ring, wenn er als (Links-/Rechts-)Modul über sich selbst uniform ist, d. h. jeweils zwei nicht-triviale Untermoduln haben nichttrivialen Schnitt.
  • Der Ring der ganzzahligen Quaternionen ist ein Ore-Ring und hat als Quotientenschiefkörper den der rationalen Quaternionen.
  • Sei und der Frobeniushomomorphismus (d. h. ). Dann ist der Ring der Schiefpolynome ein nullteilerfreier Links-Ore-Ring, aber kein Rechts-Ore-Ring.

Ore-Ringe Bearbeiten

Sei nun ein beliebiger nicht-kommutativer Ring. Es können Links- oder Rechtsnullteiler auftreten, und diese können zunächst einmal nicht vernünftiger Weise als Nenner zugelassen werden. Als Nenner bietet sich stattdessen die Menge aller regulären Elemente (d. h. solche, die weder Links- noch Rechtsnullteiler sind) an. Diese ist multiplikativ, enthält die 1, aber nicht die 0. Im obigen Spezialfall war .

erfüllt die Rechts-Ore-Bedingung, wenn für alle Elemente existieren, so dass

oder äquivalent:

.

(Man kann leicht zeigen, dass dies im obigen Spezialfall äquivalent zur dort gegebenen Bedingung ist.)

Ein Ring, der die Rechts-Ore-Bedingung erfüllt, heißt Rechts-Ore-Ring. Durch Umdrehen aller Produkte erhält man die analogen Definitionen für die Links-Ore-Bedingung und Links-Ore-Ringe.

Ring von (Rechts-)Quotienten Bearbeiten

Wir möchten nun einen Ring von Rechts-Quotienten sowie einen injektiven Ringhomomorphismus konstruieren, der folgende Bedingungen erfüllen soll:

  • Für alle ist eine Einheit.
  • Jedes Element von lässt sich als mit geeigneten schreiben.

Wiederum sind analoge Definitionen „von links“ möglich, man schreibt dann .

Der Satz von Ore gibt ein exaktes Kriterium dafür an, wann es einen solchen Ring von Quotienten gibt:

heißt hier auch der „klassische Ring von Rechtsquotienten“ und wird mit bezeichnet. (Analog alles „von links“ mit der Bezeichnung .)

Falls sowohl ein Links- als auch ein Rechts-Ore-Ring ist, so sind die zugehörigen klassischen Ringe von Links- bzw. Rechtsquotienten isomorph: .

Eigenschaften und Beispiele Bearbeiten

  • Jeder kommutative Ring ist ein Ore-Ring. (Alle Links-/Rechts-Eigenschaften fallen zusammen, und die gewöhnliche Lokalisierung ist der Ring von Quotienten.)
  • Sei ein Körper, der Polynomring in der Variablen und der Ring der rationalen Funktionen über in . Dann ist der Ring

zwar ein Rechts-Ore-Ring mit klassischem Ring von Rechtsquotienten , aber R ist kein Links-Ore-Ring. Zum Beispiel ist , d. h. die Links-Ore-Bedingung ist verletzt.

Weitere Verallgemeinerung Bearbeiten

Die obige Definition eines Ringes von (Rechts-)Quotienten lässt sich leicht modifiziert auch auf allgemeinere übertragen (im Gegensatz zum „klassischen“ reguläre Elemente von ). Im Allgemeinen können wir dann aber nicht mehr verlangen, dass injektiv ist. Ein vernünftiger Ersatz dafür ist die zusätzliche Bedingung:

Es stellt sich heraus, dass ein solcher Ring von (Rechts-)Quotienten bezüglich genau dann gebildet werden kann, wenn folgende Eigenschaften erfüllt:

  • Für alle existieren Elemente , so dass . (Dies ist nur die Verallgemeinerung der Rechts-Ore-Bedingung für die Menge .)
  • Sei . Existiert ein mit , so auch ein mit . (Diese Bedingung war zuvor leer, da nur aus regulären Elementen bestand.)

Quellen Bearbeiten

  1. Lam, S. 292, Theorem 9.11. (Das Beispiel stammt von A. I. Malzew aus dem Jahr 1937.)
  2. Øystein Ore: Linear equations in non-commutative fields. In: Annals of Mathematics. 32, 1931, ISSN 0003-486X, S. 463–477.
  3. Keizo Asano: Über die Quotientenbildung von Schiefringen. In: Journal of the Mathematical Society of Japan. Vol. 1, No. 2, 1949, ISSN 0025-5645, S. 73–78, doi:10.2969/jmsj/00120073.

Literatur Bearbeiten

  • T. Y. Lam: Lectures on Modules and Rings. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1999, ISBN 0-387-98428-3 (Graduate Texts in Mathematics 189).
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Die Links bzw Rechts Ore Bedingungen sind in der Ringtheorie einem Teilgebiet der Algebra ein Kriterium welches es erlaubt die Bildung von Quotientenkorpern oder allgemeiner Lokalisierungen auch auf den Fall zu verallgemeinern in dem der zugrundeliegende Ring nicht kommutativ ist Sie sind benannt nach ihrem Entdecker Oystein Ore Ringe die sie erfullen werden Links bzw Rechts Ore Ringe genannt Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 Spezialfall Nullteilerfreie Ringe 2 1 Bildung von Quotientenschiefkorpern 2 2 Eigenschaften und Beispiele 3 Ore Ringe 3 1 Ring von Rechts Quotienten 3 2 Eigenschaften und Beispiele 4 Weitere Verallgemeinerung 5 Quellen 6 LiteraturMotivation BearbeitenIn der kommutativen Algebra ist die Lokalisierung von Ringen ein nutzliches Hilfsmittel Diese besteht grob gesagt darin dass Elemente einer Teilmenge S displaystyle S nbsp des Rings invertierbar gemacht oder als Nenner zugelassen werden Damit dies sinnvoll definiert werden kann ist dort nur notig dass die Menge S displaystyle S nbsp multiplikativ ist und die 1 enthalt ublicherweise wird zudem noch 0 S displaystyle 0 notin S nbsp gefordert Sobald man versucht dieses Vorgehen auf nicht kommutative Ringe zu verallgemeinern stosst man auf mehrere Probleme Zwar kann man abstrakt stets einen Ring bilden in dem die Elemente von S displaystyle S nbsp invertierbar werden und der einer geeigneten universellen Eigenschaft analog zu derjenigen im kommutativen Fall genugt aber dieser hat im Allgemeinen schlechte Eigenschaften und ist nicht leicht konkret anzugeben Selbst fur nullteilerfreie Ringe treten Schwierigkeiten auf Zum Beispiel ist gezeigt worden dass es nullteilerfreie Ringe gibt die sich in keinen Schiefkorper einbetten lassen 1 Insbesondere kann es nicht in voller Allgemeinheit eine Art Quotientenschiefkorper analog zum Quotientenkorper fur Integritatsbereiche geben Der norwegische Mathematiker Oystein Ore gab 1931 in einem Artikel 2 ein Kriterium an das die Bildung gewisser Ringe von Quotienten erlaubt Ores Uberlegungen wurden spater von Keizo Asano 3 und anderen verallgemeinert Spezialfall Nullteilerfreie Ringe BearbeitenSei R displaystyle R nbsp ein Ring mit 1 ohne Nullteiler R displaystyle R nbsp erfullt die Rechts Ore Bedingung wenn fur alle a b R 0 displaystyle a b in R lbrace 0 rbrace nbsp gilt a R b R 0 displaystyle aR cap bR neq lbrace 0 rbrace nbsp Das heisst a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp haben noch weitere gemeinsame Vielfache von rechts ausser der 0 Man nennt R displaystyle R nbsp dann auch einen Rechts Ore Ring Analog wird die Links Ore Bedingung durch R a R b 0 displaystyle Ra cap Rb neq lbrace 0 rbrace nbsp fur alle a b R 0 displaystyle a b in R lbrace 0 rbrace nbsp definiert Bildung von Quotientenschiefkorpern Bearbeiten Erfullt R displaystyle R nbsp die Rechts Ore Bedingung so kann man ahnlich wie bei der Bildung des Quotientenkorpers einen Quotientenschiefkorper bilden Die Elemente werden wieder als Bruche geschrieben etwa alsa s displaystyle a s nbsp mit a R s R 0 displaystyle a in R s in R lbrace 0 rbrace nbsp Dabei werden zwei Bruche a s displaystyle a s nbsp und a s displaystyle a s nbsp identifiziert wenn es weitere Elemente b b displaystyle b b nbsp gibt so dass s b s b S displaystyle sb s b in S nbsp und a b a b displaystyle ab a b nbsp gilt Formal wird damit eine Aquivalenzrelation auf der Menge R R 0 displaystyle R times R lbrace 0 rbrace nbsp definiert und a s displaystyle a s nbsp bezeichnet die Aquivalenzklasse von a s displaystyle a s nbsp Fur diese Bruche werden nun die Addition und die Multiplikation nach bestimmten Formeln definiert die ein wenig komplizierter sind als die ublichen Regeln beim Bruchrechnen Fur die Definitionen ebenso wie dafur dass obige Identifikation tatsachlich eine Aquivalenzrelation war muss jeweils die Rechts Ore Bedingung ausgenutzt werden Die so definierte Addition und Multiplikation machen die Menge jener Bruche tatsachlich zu einem Schiefkorper Q r R displaystyle Q r R nbsp und die Abbildung a a 1 displaystyle a mapsto a 1 nbsp definiert eine Einbettung von R displaystyle R nbsp nach Q r R displaystyle Q r R nbsp Zusatzlich gilt folgende universelle Eigenschaft Ist a R R displaystyle alpha colon R rightarrow R nbsp ein Ringhomomorphismus derart dass a a displaystyle alpha a nbsp fur alle a 0 displaystyle a neq 0 nbsp eine Einheit in R displaystyle R nbsp ist so setzt sich a displaystyle alpha nbsp eindeutig zu einem Ringhomomorphismus a Q r R R displaystyle hat alpha colon Q r R rightarrow R nbsp fort Analog lasst sich alles von links definieren Es ist zu beachten dass ein Ring die Links Ore Bedingung erfullen kann ohne ein Rechts Ore Ring zu sein und umgekehrt siehe Beispiele Ist ein Ring jedoch sowohl ein Links als auch ein Rechts Ore Ring man sagt dann einfach Ore Ring so sind die zugehorigen Links bzw Rechts Quotientenschiefkorper isomorph Eigenschaften und Beispiele Bearbeiten Jeder links rechts noethersche nullteilerfreie Ring erfullt die Links Rechts Ore Bedingung Ein nullteilerfreier Ring ist genau dann ein Links Rechts Ore Ring wenn er als Links Rechts Modul uber sich selbst uniform ist d h jeweils zwei nicht triviale Untermoduln haben nichttrivialen Schnitt Der Ring der ganzzahligen Quaternionen ist ein Ore Ring und hat als Quotientenschiefkorper den der rationalen Quaternionen Sei k F p t displaystyle k mathbb F p t nbsp und s k k displaystyle sigma colon k rightarrow k nbsp der Frobeniushomomorphismus d h s a a p displaystyle sigma a a p nbsp Dann ist der Ring der Schiefpolynome R k x s 0 displaystyle R k x sigma 0 nbsp ein nullteilerfreier Links Ore Ring aber kein Rechts Ore Ring Ore Ringe BearbeitenSei nun R displaystyle R nbsp ein beliebiger nicht kommutativer Ring Es konnen Links oder Rechtsnullteiler auftreten und diese konnen zunachst einmal nicht vernunftiger Weise als Nenner zugelassen werden Als Nenner bietet sich stattdessen die Menge S displaystyle S nbsp aller regularen Elemente d h solche die weder Links noch Rechtsnullteiler sind an Diese ist multiplikativ enthalt die 1 aber nicht die 0 Im obigen Spezialfall war S R 0 displaystyle S R lbrace 0 rbrace nbsp R displaystyle R nbsp erfullt die Rechts Ore Bedingung wenn fur alle s S a R displaystyle s in S a in R nbsp Elemente t S r R displaystyle t in S r in R nbsp existieren so dassa t s r displaystyle at sr nbsp oder aquivalent a S s R displaystyle aS cap sR neq emptyset nbsp Man kann leicht zeigen dass dies im obigen Spezialfall aquivalent zur dort gegebenen Bedingung ist Ein Ring der die Rechts Ore Bedingung erfullt heisst Rechts Ore Ring Durch Umdrehen aller Produkte erhalt man die analogen Definitionen fur die Links Ore Bedingung und Links Ore Ringe Ring von Rechts Quotienten Bearbeiten Wir mochten nun einen Ring von Rechts Quotienten R S 1 displaystyle RS 1 nbsp sowie einen injektiven Ringhomomorphismus ϕ R R S 1 displaystyle phi colon R rightarrow RS 1 nbsp konstruieren der folgende Bedingungen erfullen soll Fur alle s S 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bzw Rechtsquotienten isomorph Q c l l R Q c l r R displaystyle Q cl l R cong Q cl r R nbsp Eigenschaften und Beispiele Bearbeiten Jeder kommutative Ring ist ein Ore Ring Alle Links Rechts Eigenschaften fallen zusammen und die gewohnliche Lokalisierung ist der Ring von Quotienten Sei k displaystyle k nbsp ein Korper k x displaystyle k x nbsp der Polynomring in der Variablen x displaystyle x nbsp und k x displaystyle k x nbsp der Ring der rationalen Funktionen uber k displaystyle k nbsp in x displaystyle x nbsp Dann ist der RingR k k x 0 k x displaystyle R begin pmatrix k amp k x 0 amp k x end pmatrix nbsp zwar ein Rechts Ore Ring mit klassischem Ring von Rechtsquotienten R k k x 0 k x displaystyle R begin pmatrix k amp k x 0 amp k x end pmatrix nbsp aber R ist kein Links Ore Ring Zum Beispiel ist S 0 1 0 0 R 1 0 0 x displaystyle S cdot begin pmatrix 0 amp 1 0 amp 0 end pmatrix cap R cdot begin pmatrix 1 amp 0 0 amp x end pmatrix emptyset nbsp d h die Links Ore Bedingung ist verletzt Weitere Verallgemeinerung BearbeitenDie obige Definition eines Ringes von Rechts Quotienten R S 1 displaystyle RS 1 nbsp lasst sich leicht modifiziert auch auf allgemeinere S displaystyle S nbsp ubertragen im Gegensatz zum klassischen S displaystyle S nbsp regulare Elemente von R displaystyle R nbsp Im Allgemeinen konnen wir dann aber nicht mehr verlangen dass ϕ displaystyle phi nbsp injektiv ist Ein vernunftiger Ersatz dafur ist die zusatzliche Bedingung ker ϕ a R a s 0 fur geeignetes s S displaystyle phi lbrace a in R as 0 mbox fur geeignetes s in S rbrace nbsp Es stellt sich heraus dass ein solcher Ring von Rechts Quotienten bezuglich S displaystyle S nbsp genau dann gebildet werden kann wenn S displaystyle S nbsp folgende Eigenschaften erfullt Fur alle s S a R displaystyle s in S a in R nbsp existieren Elemente t S r R displaystyle t in S r in R nbsp so dass a t s r displaystyle at sr nbsp Dies ist nur die Verallgemeinerung der Rechts Ore Bedingung fur die Menge S displaystyle S nbsp Sei a R displaystyle a in R nbsp Existiert ein s S displaystyle s in S nbsp mit s a 0 displaystyle sa 0 nbsp so auch ein s S displaystyle s in S nbsp mit a s 0 displaystyle as 0 nbsp Diese Bedingung war zuvor leer da S displaystyle S nbsp nur aus regularen Elementen bestand Quellen Bearbeiten Lam S 292 Theorem 9 11 Das Beispiel stammt von A I Malzew aus dem Jahr 1937 Oystein Ore Linear equations in non commutative fields In Annals of Mathematics 32 1931 ISSN 0003 486X S 463 477 Keizo Asano Uber die Quotientenbildung von Schiefringen In Journal of the Mathematical Society of Japan Vol 1 No 2 1949 ISSN 0025 5645 S 73 78 doi 10 2969 jmsj 00120073 Literatur BearbeitenT Y Lam Lectures on Modules and Rings Springer Verlag Berlin u a 1999 ISBN 0 387 98428 3 Graduate Texts in Mathematics 189 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ore Bedingung amp oldid 200557332