Normalform eines Spiels Die kurz Normalform bezeichnet in der Spieltheorie eine Darstellungsform von Spielen die sich im

Normalform eines Spiels

Die Normalform eines Spiels, kurz Normalform, bezeichnet in der Spieltheorie eine Darstellungsform von Spielen, die sich im Wesentlichen auf die A-priori-Strategiemengen der einzelnen Spieler und eine Auszahlungsfunktion als Funktion der gewählten Strategiekombinationen beschränkt. Gerecht wird diese Darstellungsform am ehesten solchen Spielen, bei denen alle Spieler ihre Strategien gleichzeitig und ohne Kenntnis der Wahl der anderen Spieler festlegen.

Eine Alternative ist die Extensivform eines Spiels, deren Stärke in der anschaulichen Darstellung zeitlicher oder logischer Abfolgen liegt.

Die Normalform für Spiele wurde erstmals von Émile Borel (1921) und John von Neumann (1928) beschrieben, die erkannten, dass im Prinzip jedes Strategiespiel in eine solche Form transformiert werden kann.

Definition Bearbeiten

Die Normalform eines Spiels ist ein Tupel mit den folgenden Elementen:

Gemischte und reine Strategien Bearbeiten

In den so genannten reinen Strategien wählen die Spieler genau ein . Für manche Spiele ist es jedoch notwendig, den Spielern zusätzlich die Möglichkeit einzuräumen, zufällig die Strategien auszuwählen und zuvor lediglich die Wahrscheinlichkeitsverteilung über anzugeben, mit denen die einzelnen ausgewählt werden. Dabei bezeichnet die Parameter dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung und die Menge der möglichen Parameterkombinationen.

Ist endlich beziehungsweise abzählbar, so ist ein Vektor, wobei die Wahrscheinlichkeit angibt, dass die Strategie gewählt wird. Man spricht bei von einer gemischten Strategie.

Das Tupel ist die Normalform eines solchen Spiels in gemischten Strategien. Dabei gilt , und ist der erwartete Nutzen.

Darstellung in Tabellenform Bearbeiten

Bimatrix (Kampf der Geschlechter)

Werden nur Spiele mit zwei Spielern, , betrachtet und sind die Strategiemengen und endlich und überschaubar, kann man ein Spiel in Normalform auch als eine Tabelle, die Auszahlungsmatrix (Bimatrix), darstellen:

Spieler 1\Spieler 2
	(3,3)	(1,2)
	(2,1)	(1,1)

In diesem Fall bezeichnet die erste Zahl in der Klammer die Auszahlung des Spielers 1 und die zweite Zahl die Auszahlung des Spielers 2 bei der entsprechenden Strategienkombination. Wählt Spieler 1 beispielsweise Strategie und Spieler 2 , so erhält Spieler 1 eine Auszahlung in Höhe 2 und Spieler 2 eine Auszahlung in Höhe 1.

Einzelnachweise Bearbeiten

Wolfgang Leininger und Erwin Amann: Einführung in die Spieltheorie., S. 14 ff.

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Veröffentlichungsdatum: November 25, 2023, 11:31 am

Die Normalform eines Spiels kurz Normalform bezeichnet in der Spieltheorie eine Darstellungsform von Spielen die sich im Wesentlichen auf die A priori Strategiemengen der einzelnen Spieler und eine Auszahlungsfunktion als Funktion der gewahlten Strategiekombinationen beschrankt Gerecht wird diese Darstellungsform am ehesten solchen Spielen bei denen alle Spieler ihre Strategien gleichzeitig und ohne Kenntnis der Wahl der anderen Spieler festlegen Eine Alternative ist die Extensivform eines Spiels deren Starke in der anschaulichen Darstellung zeitlicher oder logischer Abfolgen liegt Die Normalform fur Spiele wurde erstmals von Emile Borel 1921 und John von Neumann 1928 beschrieben die erkannten dass im Prinzip jedes Strategiespiel in eine solche Form transformiert werden kann Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Gemischte und reine Strategien 2 Darstellung in Tabellenform 3 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie Normalform eines Spiels ist ein Tupel G N S u displaystyle Gamma N Sigma u nbsp mit den folgenden Elementen 1 Menge der Spieler N 1 2 n displaystyle N 1 2 ldots n nbsp Strategieraum S S 1 S 2 S n displaystyle Sigma Sigma 1 times Sigma 2 times dotsb times Sigma n nbsp S i displaystyle Sigma i nbsp bezeichnet die Strategiemenge des Spielers i displaystyle i nbsp aus der er seine Zuge wahlen kann Nutzenfunktion u S R n displaystyle u colon Sigma to mathbb R n nbsp Dabei ist u i S R displaystyle u i colon Sigma to mathbb R nbsp die Nutzenfunktion des Spielers i displaystyle i nbsp Abhangig von der eigenen Strategie und der Strategie der anderen Spieler hat der Spieler einen Nutzen oder eine Auszahlung von u i s 1 s i s n displaystyle u i sigma 1 ldots sigma i ldots sigma n nbsp Gemischte und reine Strategien Bearbeiten In den so genannten reinen Strategien wahlen die Spieler genau ein s i S i displaystyle sigma i in Sigma i nbsp Fur manche Spiele ist es jedoch notwendig den Spielern zusatzlich die Moglichkeit einzuraumen zufallig die Strategien auszuwahlen und zuvor lediglich die Wahrscheinlichkeitsverteilung uber S i displaystyle Sigma i nbsp anzugeben mit denen die einzelnen s i j S i displaystyle sigma i j in Sigma i nbsp ausgewahlt werden Dabei bezeichnet s i displaystyle s i nbsp die Parameter dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung und S i displaystyle S i nbsp die Menge der moglichen Parameterkombinationen Ist S i displaystyle Sigma i nbsp endlich beziehungsweise abzahlbar so ist s i displaystyle s i nbsp ein Vektor wobei s i j displaystyle s i j nbsp die Wahrscheinlichkeit angibt dass die Strategie s i j displaystyle sigma i j nbsp gewahlt wird Man spricht bei s i displaystyle s i nbsp von einer gemischten Strategie Das Tupel S G N S u displaystyle S Gamma N S u nbsp ist die Normalform eines solchen Spiels in gemischten Strategien Dabei gilt S S 1 S 2 S n displaystyle S S 1 times S 2 times dotsb times S n nbsp und u S R n displaystyle u colon S to mathbb R n nbsp ist der erwartete Nutzen Darstellung in Tabellenform Bearbeiten nbsp Bimatrix Kampf der Geschlechter Werden nur Spiele mit zwei Spielern N 1 2 displaystyle N 1 2 nbsp betrachtet und sind die Strategiemengen S 1 displaystyle Sigma 1 nbsp und S 2 displaystyle Sigma 2 nbsp endlich und uberschaubar kann man ein Spiel in Normalform auch als eine Tabelle die Auszahlungsmatrix Bimatrix darstellen Spieler 1 Spieler 2 s 2 1 displaystyle sigma 2 1 nbsp s 2 2 displaystyle sigma 2 2 nbsp s 1 1 displaystyle sigma 1 1 nbsp 3 3 1 2 s 1 2 displaystyle sigma 1 2 nbsp 2 1 1 1 In diesem Fall bezeichnet die erste Zahl in der Klammer die Auszahlung des Spielers 1 und die zweite Zahl die Auszahlung des Spielers 2 bei der entsprechenden Strategienkombination Wahlt Spieler 1 beispielsweise Strategie s 1 2 displaystyle sigma 1 2 nbsp und Spieler 2 s 2 1 displaystyle sigma 2 1 nbsp so erhalt Spieler 1 eine Auszahlung in Hohe 2 und Spieler 2 eine Auszahlung in Hohe 1 Einzelnachweise Bearbeiten Wolfgang Leininger und Erwin Amann Einfuhrung in die Spieltheorie S 14 ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Normalform eines Spiels amp oldid 237427964