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Neutronendiffusion Die lat diffundere ausgießen verstreuen ausbreiten ein Spezialfall in der rechnerischen Behandlung de

Neutronendiffusion

Die Neutronendiffusion (lat. diffundere ‚ausgießen‘, ‚verstreuen‘, ‚ausbreiten‘), ein Spezialfall in der rechnerischen Behandlung des allgemeinen Neutronentransports, ist hauptsächlich wichtig in der Berechnung von Kernreaktoren. Diffusion meint zwar auch hier einen ohne äußere Einwirkung eintretenden Vorgang, aber nicht nur den Ausgleich von Anzahldichteunterschieden; bei der Neutronendiffusion sind die Vorgänge vielgestaltiger, denn freie Neutronen können durch Kernreaktionen neu entstehen und durch Absorption verschwinden.

2D-Neutronenfluss in 3D-Darstellung über einer Querschnittsfläche eines Kernreaktors in Gestalt eines Quaders mit homogen verteiltem Kernbrennstoff. Der Neutronenfluss hat an allen Außenflächen des Quaders den Zahlenwert Null, was vorgegeben wurde. Der Neutronenfluss ist frei normierbar, z. B. kann dem Maximalfluss der Zahlenwert Eins zugewiesen werden

Vereinfachte Neutronen-Diffusionsgleichungen Bearbeiten

Ein Raumbereich sei homogen mit Material gefüllt, das sowohl Neutronen durch Kernspaltung erzeugen als auch Neutronen absorbieren kann.

Der Neutronenfluss lässt sich durch Lösung der Differentialgleichung der Neutronendiffusion gewinnen:

Es bedeuten

Die Neutronen-Diffusionsgleichungen sind Größengleichungen, also von Einheiten unabhängig. Aber es gibt übliche Einheiten in der Reaktorphysik, die in der zweiten Spalte der Tabelle angegeben worden sind. Jeder Term des obigen Differentialgleichungssystems, der als Produkt von makroskopischem Wirkungsquerschnitt und Neutronenfluss gebildet wird, z. B.

besitzt als physikalische Größe die Einheit

Das ist die Einheit einer Kernreaktionsratendichte.

Eindimensionale Neutronen-Diffusionsgleichungen Bearbeiten

In einem Medium, das durch zwei parallele Flächen mit unendlicher Oberfläche begrenzt ist, dem sogenannten Plattenreaktor, ergibt sich die vereinfachte Neutronen-Diffusionsgleichung zu

In zylindrischer Geometrie, einem Reaktor in der Form eines Zylinders von unendlicher Länge (Polarkoordinaten), lautet die vereinfachte Neutronen-Diffusionsgleichung

In sphärischer Geometrie entsprechend

Im stationären Zustand ist die zeitliche Änderung der Neutronenanzahldichte Null, . Von dieser Annahme gehen wir auch bei den stationären Vielgruppen-Neutronen-Diffusionsgleichungen aus (siehe unten).

Zeitunabhängige Neutronen-Diffusionsgleichung Bearbeiten

In einem Reaktor wird im stationären Zustand der Quellterm S durch beschrieben.

Dabei ist der Neutronenmultiplikationsfaktor im unendlich ausgedehnten Medium.

ist das Quadrat der Diffusionslänge . Da im kritischen Reaktor sein muss, kann man die Größe

einführen; sie heißt in der Reaktorphysik Buckling, eingedeutscht Flusswölbung. Die vereinfachte Form der Neutronen-Diffusionsgleichung lautet damit

Diese Gleichung ist vom Typ Helmholtz-Gleichung.

Stationäre Vielgruppen-Neutronen-Diffusionsgleichungen Bearbeiten

Der reale Fall eines heterogenen Reaktors wird durch die stationären Vielgruppen-Neutronen-Diffusionsgleichungen beschrieben. Der stationäre Neutronenfluss für die Energiegruppe am Ort genügt den homogenen, zeitunabhängigen Vielgruppen-Neutronen-Diffusionsgleichungen

mit der Quellratendichte , einer Summe von Spaltraten- und Streuquelldichten, in der Form

und alle Orte im Raumbereich, für die diese Differentialgleichungen zu lösen sind.

Diese Gleichungen bilden ein System von partiellen, elliptischen Differentialgleichungen 2. Ordnung. In der hier dargestellten Form wurde die kontinuierliche Energievariable bereits in Intervalle, in Energiegruppen, unterteilt. Die sog. Gruppenkonstanten, die in die Koeffizienten des Gleichungssystems eingehen, sind (bis auf Ausnahmen) material-, orts- und energieabhängig. Bevor man mit der Lösung der Vielgruppen-Neutronen-Diffusionsgleichungen beginnen kann, müssen diese Koeffizienten mit einem Zellprogramm berechnet worden sein und zahlenmäßig als Eingabedaten vorliegen.

Es bedeuten

Jede einzelne der Stück Gleichungen des Systems ist die differentielle Form einer Erhaltungsgleichung für die Anzahl der Neutronen im Raum am Ort , deren Energien in dem Intervall liegen, das durch die Grenzen der Energiegruppe festgelegt ist.

Das Differentialgleichungssystem wird vervollständigt durch zwei Stetigkeitbedingungen und eine Bedingung für alle Punkte, die auf äußeren Randflächen liegen. Ist das System symmetrisch, besitzt es zum Beispiel Spiegelebenen, dann kommen spezielle Randbedingungen an diesen Ebenen hinzu.

Anmerkungen und Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Der Schnitt kann parallel zu allen Außenflächen des Quaders geführt werden. Das Maximum des Neutronenflusses liegt im Mittelpunkt des Quaders. Wird der Schnitt nicht durch den Mittelpunkt geführt, verringert sich der Neutronenfluss gegenüber dem durch den Mittelpunkt geführten nur um eine Konstante, die mit dem Abstand des Schnitts vom Mittelpunkt kleiner wird.
  2. Da die Neutronendiffusionsgleichung eine homogene lineare Differentialgleichung ist, ist mit einer Neutronenfluss-Lösung auch der mit einer beliebigen Konstanten multiplizierte Neutronenfluss eine Lösung der Neutronendiffusionsgleichung.
  3. Samuel Glasstone, Milton C. Edlund: The elements of nuclear reactor theory. MacMillan, London 1952 (VII, 416 S.). Diese Monografie hat wie keine andere die damals junge Generation der Reaktorphysiker in West und Ost und die späteren Lehrbuchschreiber geprägt. Ihr 6. Druck vom Februar 1957 ist vollständig online einsehbar.[1]. Volltextsuche ist möglich. Neutronendiffusion ist auf S. 106 behandelt.
  4. C. W. J. McCallien: SNAP, Multigroup 3-D Neutron Diffusion in XZ, R-Theta-Z, Hexagonal-Z, Triangular-Z Geometry. AEA-RS-1214, 1993.
  5. Paul Reuss: Neutron physics. EDP Sciences, Les Ulis, France 2008, ISBN 978-2-7598-0041-4 (xxvi, 669, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). Reuss behandelt die Neutronendiffusion u. a. auf S. 650.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Neutronendiffusion lat diffundere ausgiessen verstreuen ausbreiten ein Spezialfall in der rechnerischen Behandlung des allgemeinen Neutronentransports ist hauptsachlich wichtig in der Berechnung von Kernreaktoren Diffusion meint zwar auch hier einen ohne aussere Einwirkung eintretenden Vorgang aber nicht nur den Ausgleich von Anzahldichteunterschieden bei der Neutronendiffusion sind die Vorgange vielgestaltiger denn freie Neutronen konnen durch Kernreaktionen neu entstehen und durch Absorption verschwinden 2D Neutronenfluss in 3D Darstellung uber einer Querschnittsflache 1 eines Kernreaktors in Gestalt eines Quaders mit homogen verteiltem Kernbrennstoff Der Neutronenfluss hat an allen Aussenflachen des Quaders den Zahlenwert Null was vorgegeben wurde Der Neutronenfluss ist frei normierbar 2 z B kann dem Maximalfluss der Zahlenwert Eins zugewiesen werden Inhaltsverzeichnis 1 Vereinfachte Neutronen Diffusionsgleichungen 1 1 Eindimensionale Neutronen Diffusionsgleichungen 1 2 Zeitunabhangige Neutronen Diffusionsgleichung 2 Stationare Vielgruppen Neutronen Diffusionsgleichungen 3 Anmerkungen und EinzelnachweiseVereinfachte Neutronen Diffusionsgleichungen BearbeitenEin Raumbereich sei homogen mit Material gefullt das sowohl Neutronen durch Kernspaltung erzeugen als auch Neutronen absorbieren kann Der Neutronenfluss lasst sich durch Losung der Differentialgleichung der Neutronendiffusion gewinnen 3 Zeitliche Anderung Produktion Leckage Absorption displaystyle text Zeitliche Anderung text Produktion text Leckage text Absorption nbsp n t S D D F S a F displaystyle frac partial n partial t S D Delta Phi Sigma a Phi nbsp Es bedeuten Zeichen Einheit Benennungn displaystyle n nbsp 1 cm Neutronenanzahldichtet displaystyle t nbsp s ZeitS displaystyle S nbsp 1 cm s Lokale NeutronenquelleF displaystyle Phi nbsp 1 cm s NeutronenflussD displaystyle D nbsp cm NeutronendiffusionskoeffizientD displaystyle Delta nbsp 1 cm LaplaceoperatorS a displaystyle Sigma a nbsp 1 cm Makroskopischer AbsorptionsquerschnittDie Neutronen Diffusionsgleichungen sind Grossengleichungen also von Einheiten unabhangig Aber es gibt ubliche Einheiten in der Reaktorphysik die in der zweiten Spalte der Tabelle angegeben worden sind Jeder Term des obigen Differentialgleichungssystems der als Produkt von makroskopischem Wirkungsquerschnitt und Neutronenfluss gebildet wird z B S a F S a F S a F displaystyle Sigma a Phi Sigma a Phi cdot Sigma a Phi nbsp besitzt als physikalische Grosse die Einheit S a F 1 c m 3 s displaystyle Sigma a Phi mathrm frac 1 cm 3 s nbsp Das ist die Einheit einer Kernreaktionsratendichte Eindimensionale Neutronen Diffusionsgleichungen Bearbeiten In einem Medium das durch zwei parallele Flachen mit unendlicher Oberflache begrenzt ist dem sogenannten Plattenreaktor ergibt sich die vereinfachte Neutronen Diffusionsgleichung zu n t S D 2 F x 2 S a F displaystyle frac partial n partial t S D frac partial 2 Phi partial x 2 Sigma a Phi nbsp In zylindrischer Geometrie einem Reaktor in der Form eines Zylinders von unendlicher Lange Polarkoordinaten lautet die vereinfachte Neutronen Diffusionsgleichung n t S D 2 F r 2 1 r F r S a F displaystyle frac partial n partial t S D left frac partial 2 Phi partial r 2 frac 1 r frac partial Phi partial r right Sigma a Phi nbsp In spharischer Geometrie entsprechend n t S D 2 F r 2 2 r F r S a F displaystyle frac partial n partial t S D left frac partial 2 Phi partial r 2 frac 2 r frac partial Phi partial r right Sigma a Phi nbsp Im stationaren Zustand ist die zeitliche Anderung der Neutronenanzahldichte Null n t 0 displaystyle tfrac partial n partial t 0 nbsp Von dieser Annahme gehen wir auch bei den stationaren Vielgruppen Neutronen Diffusionsgleichungen aus siehe unten Zeitunabhangige Neutronen Diffusionsgleichung Bearbeiten In einem Reaktor wird im stationaren Zustand der Quellterm S durch S k S a F displaystyle S k infty Sigma a Phi nbsp beschrieben D F k 1 S a D F 0 displaystyle Delta Phi k infty 1 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zeitunabhangigen Vielgruppen Neutronen Diffusionsgleichungen D g r F g r S r g r F g r Q g r displaystyle nabla D g vec r nabla Phi g vec r Sigma r g vec r Phi g vec r Q g vec r nbsp mit der Quellratendichte Q g r displaystyle Q g vec r nbsp einer Summe von Spaltraten und Streuquelldichten in der Form Q g r x g k eff h 1 G n S f h r F g r h 1 h g G S s g h r F g r displaystyle Q g vec r frac chi g k text eff sum h 1 G nu Sigma f h vec r Phi g vec r sum h 1 h neq g G Sigma s gh vec r Phi g vec r nbsp fur g 1 2 G displaystyle g 1 2 ldots G nbsp und alle Orte r displaystyle vec r nbsp im Raumbereich fur die diese Differentialgleichungen zu losen sind Diese Gleichungen bilden ein System von G displaystyle G nbsp partiellen elliptischen Differentialgleichungen 2 Ordnung In der hier dargestellten Form wurde die kontinuierliche Energievariable bereits in Intervalle in Energiegruppen unterteilt Die sog Gruppenkonstanten die in die Koeffizienten des Gleichungssystems eingehen sind bis auf Ausnahmen material orts und energieabhangig Bevor man mit der Losung der Vielgruppen Neutronen Diffusionsgleichungen beginnen kann mussen diese Koeffizienten mit einem Zellprogramm berechnet worden sein und zahlenmassig als Eingabedaten vorliegen Es bedeuten Zeichen Einheit Benennungr displaystyle vec r nbsp cm Ort die Koordinaten eines Punkts im LosungsbereichF g r displaystyle Phi g vec r nbsp 1 cm s Neutronenfluss der Energiegruppe g displaystyle g nbsp am Ort r displaystyle vec r nbsp die fundamentale Eigenfunktion des Differentialgleichungssystemsk eff displaystyle k text eff nbsp 1 Effektiver Multiplikationsfaktor der Eigenwert der zur fundamentalen Eigenfunktion gehortg displaystyle g nbsp und h displaystyle h nbsp 1 Nummer der EnergiegruppeG displaystyle G nbsp 1 Anzahl der Energiegruppen displaystyle nabla nbsp 1 cm Nabla oder GradientenoperatorD g r displaystyle D g vec r nbsp cm Neutronendiffusionskoeffizient der Gruppe g displaystyle g nbsp am Ort r displaystyle vec r nbsp S r g r displaystyle Sigma r g vec r nbsp 1 cm Makroskopischer totaler Verlustquerschnitt der Gruppe g displaystyle g nbsp am Ort r displaystyle vec r nbsp auch als makroskopischen Removalquerschnitt bezeichnet daher Index r n S f h r displaystyle nu Sigma f h vec r nbsp 1 cm Makroskopischer Neutronen Produktionsquerschnitt der Gruppe h displaystyle h nbsp am Ort r displaystyle vec r nbsp Das ist ein Produkt aus der mittlere Anzahl n displaystyle nu nbsp der Neutronen pro Spaltung und dem makroskopischen Spaltquerschnitt S f h r displaystyle Sigma f h vec r nbsp Index f von fission S s g h r displaystyle Sigma s gh vec r nbsp 1 cm Makroskopischer Streuquerschnitt von der Gruppe h displaystyle h nbsp in die Gruppe g displaystyle g nbsp am Ort r displaystyle vec r nbsp Beachte dass die Matrixindizes oft in der Form h g displaystyle h to g nbsp geschrieben werden Index s von scattering oder Streuung x g displaystyle chi g nbsp 1 Spaltspektrum der Gruppe g displaystyle g nbsp Ist im 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Mittelpunkt kleiner wird Da die Neutronendiffusionsgleichung eine homogene lineare Differentialgleichung ist ist mit einer Neutronenfluss Losung F displaystyle Phi nbsp auch der mit einer beliebigen Konstanten multiplizierte Neutronenfluss eine Losung der Neutronendiffusionsgleichung Samuel Glasstone Milton C Edlund The elements of nuclear reactor theory MacMillan London 1952 VII 416 S Diese Monografie hat wie keine andere die damals junge Generation der Reaktorphysiker in West und Ost und die spateren Lehrbuchschreiber gepragt Ihr 6 Druck vom Februar 1957 ist vollstandig online einsehbar 1 Volltextsuche ist moglich Neutronendiffusion ist auf S 106 behandelt C W J McCallien SNAP Multigroup 3 D Neutron Diffusion in XZ R Theta Z Hexagonal Z Triangular Z Geometry AEA RS 1214 1993 Paul Reuss Neutron physics EDP Sciences Les Ulis France 2008 ISBN 978 2 7598 0041 4 xxvi 669 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Reuss behandelt die Neutronendiffusion u a auf S 650 Abgerufen von 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