Der Banach Mazur Abstand benannt nach Stefan Banach und Stanislaw Mazur ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachraume Er definiert einen Abstand zwischen zwei isomorphen normierten Raumen und wird besonders fur endlichdimensionale Raume verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Motivation und Definition 2 Bemerkungen 3 Minkowski Kompaktum 4 QuellenMotivation und Definition BearbeitenSind E E displaystyle E cdot E nbsp und F F displaystyle F cdot F nbsp zwei isomorphe normierte Raume so gibt es eine bijektive stetige lineare Abbildung T E F displaystyle T E rightarrow F nbsp deren Umkehrung ebenfalls beschrankt ist Fur die Operatornorm gilt 1 i d E T 1 T T 1 T displaystyle 1 mathrm id E T 1 circ T leq T 1 cdot T nbsp Daher ist d E F inf T 1 T T E F Isomorphismus displaystyle delta E F inf T 1 cdot T T E rightarrow F text Isomorphismus nbsp eine Zahl 1 displaystyle geq 1 nbsp die misst wie weit die Raume E E displaystyle E cdot E nbsp und F F displaystyle F cdot F nbsp davon entfernt sind isometrisch isomorph zu sein Diese Zahl nennt man den Banach Mazur Abstand zwischen E E displaystyle E cdot E nbsp und F F displaystyle F cdot F nbsp Sind E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp nicht isomorph so ist d E F displaystyle delta E F infty nbsp Es gelten folgende einfache Regeln d E E 1 displaystyle delta E E 1 nbsp allgemeiner d E F 1 displaystyle delta E F 1 nbsp falls E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp isometrisch isomorph sind d E F d F E displaystyle delta E F delta F E nbsp fur normierte Raume E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp d E F d E G d G F displaystyle delta E F leq delta E G cdot delta G F nbsp fur normierte Raume E F displaystyle E F nbsp und G displaystyle G nbsp Daraus ergibt sich dass sich log d displaystyle log circ delta cdot cdot nbsp wie eine Metrik verhalt wobei log irgendeine Logarithmusfunktion ist zum Beispiel der naturliche Logarithmus Das erklart den Namen Banach Mazur Abstand Bemerkungen BearbeitenDer Banach Mazur Abstand d E F displaystyle delta E F nbsp hangt vom zu Grunde liegenden Grundkorper R displaystyle mathbb R nbsp oder C displaystyle mathbb C nbsp ab Es gibt ein auf Jean Bourgain zuruckgehendes Beispiel eines reellen Banachraums mit zwei komplexen Banachraum Strukturen die nicht isomorph sind Aus d E F 1 displaystyle delta E F 1 nbsp folgt im Allgemeinen nicht dass E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp isometrisch isomorph sind Fur das folgende auf Aleksander Pelczynski und Czeslaw Bessaga zuruckgehende Beispiel seien fur i 0 1 displaystyle i in 0 1 nbsp folgende Normen auf c0 definiert x i sup j N x j j 1 2 2 j x j i 2 1 2 displaystyle x i sup j in mathbb N x j sum j 1 infty 2 2j x j i 2 frac 1 2 nbsp Setzt man E i c 0 i displaystyle E i c 0 cdot i nbsp so kann man zeigen dass E 0 displaystyle E 0 nbsp strikt konvex ist E 1 displaystyle E 1 nbsp aber nicht daher konnen E 0 displaystyle E 0 nbsp und E 1 displaystyle E 1 nbsp nicht isometrisch isomorph sein Setzt manT n E 0 E 1 x 1 x 2 x n x 1 x n 1 x n 1 displaystyle T n E 0 rightarrow E 1 quad x 1 x 2 ldots mapsto x n x 1 ldots x n 1 x n 1 ldots nbsp so ist T n E 0 E 1 displaystyle T n E 0 rightarrow E 1 nbsp ein Isomorphismus und es ist lim n T n 1 T n 1 displaystyle lim n to infty T n 1 T n 1 nbsp also gilt d E 0 E 1 1 displaystyle delta E 0 E 1 1 nbsp Dieses Beispiel muss notwendigerweise unendlichdimensional sein denn fur zwei endlichdimensionale Raume E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp kann man zeigen dass d E F 1 displaystyle delta E F 1 nbsp genau dann gilt wenn E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp isometrisch isomorph sind Minkowski Kompaktum BearbeitenEs sei Q n displaystyle mathcal Q n nbsp die Klasse aller n dimensionalen Banachraume Die isometrische Isomorphie ist eine mit displaystyle sim nbsp bezeichnete Aquivalenzrelation auf Q n displaystyle mathcal Q n nbsp Man kann zeigen dass der Banach Mazur Abstand eine Abbildung auf der Menge Q n Q n displaystyle Q n mathcal Q n sim nbsp induziert und dass Q n log d displaystyle Q n log circ delta nbsp ein kompakter metrischer Raum ist das sogenannte Minkowski Kompaktum nach Hermann Minkowski oder auch Banach Mazur Kompaktum Auch wenn d displaystyle delta nbsp keine Metrik ist sondern nur der Logarithmus von d displaystyle delta nbsp so werden metrische Begriffe im Zusammenhang mit dem Minkowski Kompaktum haufig bezuglich d displaystyle delta nbsp verwendet das gilt insbesondere fur die in diesem Absatz verwendeten Begriffe Abstand und Durchmesser Es bezeichne ℓ p n displaystyle ell p n nbsp den R n displaystyle mathbb R n nbsp mit der p Norm Dann zeigt man leicht d E ℓ 1 n n displaystyle delta E ell 1 n leq n nbsp fur alle E Q n displaystyle E in mathcal Q n nbsp Nach dem Auerbach Lemma existiert eine Auerbachbasis e i e i i displaystyle e i e i i nbsp von E displaystyle E nbsp Fur T ℓ 1 n E T t i i i 1 n t i e i displaystyle T ell 1 n rightarrow E T t i i sum i 1 n t i e i nbsp gilt dann T 1 x e i x i displaystyle T 1 x e i x i nbsp und daher T 1 displaystyle T 1 nbsp und T 1 n displaystyle T 1 leq n nbsp woraus d E ℓ 1 n n displaystyle delta E ell 1 n leq n nbsp folgt Aufwandiger ist die 1948 von Fritz John gezeigte Ungleichung d E ℓ 2 n n displaystyle delta E ell 2 n leq sqrt n nbsp fur alle E Q n displaystyle E in mathcal Q n nbsp Daraus folgt sofortd E F d E ℓ 2 n d ℓ 2 n F n 2 n displaystyle delta E F leq delta E ell 2 n cdot delta ell 2 n F leq sqrt n 2 n nbsp fur alle E F Q n displaystyle E F in mathcal Q n nbsp Daher ist der Durchmesser des Minkowski Kompaktums n displaystyle leq n nbsp E D Gluskin konnte zeigen dass der Durchmesser nach unten durch eine Konstante mal n displaystyle n nbsp abgeschatzt werden kann Es sind noch einige konkrete Abstande bekannt so zum Beispield ℓ p n ℓ q n n 1 p 1 q displaystyle delta ell p n ell q n n frac 1 p frac 1 q nbsp falls 1 p q 2 displaystyle 1 leq p leq q leq 2 nbsp oder 2 p q displaystyle 2 leq p leq q leq infty nbsp Fur den Fall 1 p lt 2 lt q displaystyle 1 leq p lt 2 lt q leq infty nbsp kennt man folgende Abschatzung 1 2 max n 1 p 1 2 n 1 2 1 q d ℓ p n ℓ q n 1 2 1 max n 1 p 1 2 n 1 2 1 q displaystyle frac 1 sqrt 2 max n frac 1 p frac 1 2 n frac 1 2 frac 1 q leq delta ell p n ell q n leq frac 1 sqrt 2 1 max n frac 1 p frac 1 2 n frac 1 2 frac 1 q nbsp Quellen BearbeitenAlbrecht Pietsch History of Banach Spaces and Linear Operators Birkhauser Boston 2007 ISBN 978 0 8176 4367 6 Nicole Tomczak Jaegermann Banach Mazur Distances and Finite Dimensional Operator Ideals Pitman monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics 38 1988 ISBN 0 470 20982 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Banach Mazur Abstand amp oldid 218926783 Minkowski Kompaktum
