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Auerbachbasis Eine ist eine linear unabhängige Teilmenge eines normierten Vektorraums mit speziellen Eigenschaften Inhal

Auerbachbasis

Eine Auerbachbasis ist eine linear unabhängige Teilmenge eines normierten Vektorraums mit speziellen Eigenschaften.

Definition Bearbeiten

Sei ein normierter Vektorraum. Eine Menge heißt Auerbachbasis von X, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  • Die lineare Hülle der Menge liegt dicht in .
  • Für jedes gilt , wobei der Abschluss der linearen Hülle der Menge sein soll.
  • Die Menge ist linear unabhängig. (Diese Bedingung folgt aus der vorigen; es muss sogar für alle die Beziehung gelten.)

Eine Auerbachbasis heißt normierte Auerbachbasis, wenn alle Vektoren der Menge die Norm 1 haben.

Motivation und Geschichte Bearbeiten

In jedem endlichdimensionalen Hilbertraum gilt die Gleichung

genau dann, wenn der Vektor auf den durch erzeugten Teilraum normal steht. In diesem Sinn ist der Begriff der normierten Auerbachbasis eine Verallgemeinerung des Begriffs der Orthonormalbasis.

Dieser Begriff wurde in der Dissertation von Herman Auerbach definiert. Die Dissertation selbst, die im Jahr 1929 geschrieben wurde, gilt als verschollen. Sie wird aber in einer Monographie von Stefan Banach aus dem Jahr 1932 erwähnt.

Äquivalente Definitionen Bearbeiten

In einen Banachraum X ist eine Menge A von Vektoren genau dann eine normierte Auerbachbasis, wenn die folgenden Bedingungen gelten:

  1. .
  2. Für jedes gilt
  3. Für jedes gilt die Normierungsbedingung
  4. Es gibt eine Menge von stetigen linearen Funktionalen auf (also eine Teilmenge des topologischen Dualraums) mit den Eigenschaften

Zum Beweis verwendet man den Satz von Hahn-Banach.

Für Vektorräume mit endlicher Dimension bedeuten die Bedingungen 1+2 einfach, dass A eine Basis ist. In endlichdimensionalen normierten Vektorräumen sagt das Lemma von Auerbach, dass es immer eine Auerbachbasis gibt.

Literatur Bearbeiten

  • Herman Auerbach: O polu krzywych wypukłych o średnicach sprzężonych (Über Flächen von konvexen Kurven mit konjugierten Durchmessern), Dissertation an der Universität Lwów (1929; auf polnisch).
  • Stefan Banach: Théorie des opérations linéaires. Monografie matematyczne, herausgegeben von M. Garasiński, Warschau 1932.
  • Bartoszyński et al.: On bases in Banach spaces. Studia Math. 170 (2005), no. 2, 147--171.
  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg/New York 2005, ISBN 3540213813
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Eine Auerbachbasis ist eine linear unabhangige Teilmenge eines normierten Vektorraums mit speziellen Eigenschaften Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Motivation und Geschichte 3 Aquivalente Definitionen 4 LiteraturDefinition BearbeitenSei X displaystyle X nbsp ein normierter Vektorraum Eine Menge A X displaystyle A subseteq X nbsp heisst Auerbachbasis von X wenn die folgenden Bedingungen erfullt sind Die lineare Hulle der Menge A displaystyle A nbsp liegt dicht in X displaystyle X nbsp Fur jedes a A displaystyle a in A nbsp gilt a inf a b b A a displaystyle a inf a b b in A setminus a nbsp wobei B displaystyle B nbsp der Abschluss der linearen Hulle der Menge B displaystyle B nbsp sein soll Die Menge A displaystyle A nbsp ist linear unabhangig Diese Bedingung folgt aus der vorigen es muss sogar fur alle x A displaystyle x in A nbsp die Beziehung x A x displaystyle x notin A setminus x nbsp gelten Eine Auerbachbasis A displaystyle A nbsp heisst normierte Auerbachbasis wenn alle Vektoren der Menge A displaystyle A nbsp die Norm 1 haben Motivation und Geschichte BearbeitenIn jedem endlichdimensionalen Hilbertraum gilt die Gleichung x inf x y y B displaystyle x inf x y y in B nbsp genau dann wenn der Vektor x displaystyle x nbsp auf den durch B displaystyle B nbsp erzeugten Teilraum normal steht In diesem Sinn ist der Begriff der normierten Auerbachbasis eine Verallgemeinerung des Begriffs der Orthonormalbasis Dieser Begriff wurde in der Dissertation von Herman Auerbach definiert Die Dissertation selbst die im Jahr 1929 geschrieben wurde gilt als verschollen Sie wird aber in einer Monographie von Stefan Banach aus dem Jahr 1932 erwahnt Aquivalente Definitionen BearbeitenIn einen Banachraum X ist eine Menge A von Vektoren genau dann eine normierte Auerbachbasis wenn die folgenden Bedingungen gelten A X displaystyle A X nbsp Fur jedes a A displaystyle a in A nbsp gilt a A a displaystyle a notin A setminus a nbsp Fur jedes a A displaystyle a in A nbsp gilt die Normierungsbedingung a 1 displaystyle a 1 nbsp Es gibt eine Menge f a a A displaystyle f a a in A nbsp von stetigen linearen Funktionalen auf X displaystyle X nbsp also eine Teilmenge des topologischen Dualraums mit den Eigenschaften f a b d a b displaystyle f a b delta ab nbsp fur alle a b A displaystyle a b in A nbsp Dabei ist d a b displaystyle delta ab nbsp das Kronecker Delta f a 1 displaystyle f a 1 nbsp fur alle a A displaystyle a in A nbsp Zum Beweis verwendet man den Satz von Hahn Banach Fur Vektorraume mit endlicher Dimension bedeuten die Bedingungen 1 2 einfach dass A eine Basis ist In endlichdimensionalen normierten Vektorraumen sagt das Lemma von Auerbach dass es immer eine Auerbachbasis gibt Literatur BearbeitenHerman Auerbach O polu krzywych wypuklych o srednicach sprzezonych Uber Flachen von konvexen Kurven mit konjugierten Durchmessern Dissertation an der Universitat Lwow 1929 auf polnisch Stefan Banach Theorie des operations lineaires Monografie matematyczne herausgegeben von M Garasinski Warschau 1932 Bartoszynski et al On bases in Banach spaces Studia Math 170 2005 no 2 147 171 Dirk Werner Funktionalanalysis 5 Auflage Springer Berlin Heidelberg New York 2005 ISBN 3540213813 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Auerbachbasis amp oldid 149450724