In der Mathematik ist die Manin-Mumford-Vermutung ein von Michel Raynaud bewiesener Lehrsatz der arithmetischen Geometrie, der unabhängig von Juri Manin und David Mumford vermutet worden war.
Er besagt, dass für eine über definierte abelsche Varietät und eine Kurve vom Geschlecht mindestens , es nur endlich viele Torsionspunkte in gibt. Insbesondere erhält man für die Jacobi-Varietät einer algebraischen Kurve , dass im Fall die Kurve nur endlich viele Torsionspunkte (für die Gruppenstruktur der Jacobi-Varietät als abelsche Varietät) enthalten kann. (Das war die ursprüngliche Formulierung der Vermutung.)
Allgemeinere Formen der Manin-Mumford-Vermutung sind die Mordell-Lang-Vermutung und die Bogomolow-Vermutung. Der Beweis der Mordell-Lang-Vermutung benötigte die Manin-Mumford-Vermutung zusammen mit der von Faltings bewiesenen Mordell-Vermutung. Die Bogomolow-Vermutung wurde von Ullmo und Zhang bewiesen.
Neben dem ursprünglichen, Arithmetik über Zahlkörpern benutzenden Beweis Raynauds gab es noch mehrere Beweise, darunter solche, die Modelltheorie (Ehud Hrushovski) und o-Minimalität verwenden. Einen fast nur klassische algebraische Geometrie verwendenden Beweis, der auf dem Beweis von Hrushovski basierte, gaben Richard Pink und Damian Rössler. Sie bewiesen die Manin-Mumford-Vermutung auch für abelsche Varietäten über Körpern endlicher Charakteristik.
Literatur Bearbeiten
- M. Raynaud: Courbes sur une variété abélienne et points de torsion. Invent. Math. 71, 207–233 (1983).
- J. Oesterlé: Courbes sur une variété abélienne. [D’après M. Raynaud]. Sémin. Bourbaki, 36e année, Vol. 1983/84, Exp. No. 625, Astérisque 121–122, 213–224 (1985).
- P. Tzermias: The Manin-Mumford conjecture: a brief survey. Bull. Lond. Math. Soc. 32, No. 6, 641–652 (2000).
Einzelnachweise Bearbeiten
- Richard Pink, Damian Roessler: On Hrushovski's proof of the Manin-Mumford conjecture. International Congress of Mathematicians, Peking 2002, Band 1, S. 539, Arxiv