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Lorentzfaktor Der dimensionslose γ displaystyle gamma gamma beschreibt in der speziellen Relativitätstheorie die Zeitdil

Lorentzfaktor

Der dimensionslose Lorentzfaktor (gamma) beschreibt in der speziellen Relativitätstheorie die Zeitdilatation sowie den Kehrwert der Längenkontraktion bei der Koordinatentransformation zwischen relativ zueinander bewegten Inertialsystemen. Er wurde von Hendrik Antoon Lorentz im Rahmen der von ihm ausgearbeiteten Lorentz-Transformation entwickelt, die die mathematische Grundlage der speziellen Relativitätstheorie bildet.

Lorentzfaktor als Funktion von in Einheiten von , d. h. als Funktion von

Der Lorentzfaktor ist definiert als:

Für relativ zueinander ruhende Bezugssysteme gilt

Ist , aber dennoch klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit

so wird durch eine Taylor-Entwicklung

In welcher Ordnung die Entwicklung in der klassischen Physik abgebrochen werden kann, ist nicht allgemein zu beantworten. Für die meisten Anwendungen kann als konstant Eins angenommen werden, für die kinetische Energie entspricht die Entwicklung bis zur ersten Ordnung () dem Wert der newtonschen Physik.

Lorentzfaktor in Abhängigkeit vom Impuls Bearbeiten

Der Lorentzfaktor lässt sich auch angeben als:

mit

Diese Schreibweise ist vor allem in der theoretischen Physik zu finden.

Der Nachweis der Äquivalenz lässt sich über eine Gleichsetzung mit dem „normalen“ Lorentzfaktor erbringen, bei der sich der relativistische Impuls ergibt.

Lorentzfaktor in Abhängigkeit von der kinetischen Energie Bearbeiten

Der Lorentzfaktor lässt sich auch angeben als:

mit

Lorentzfaktor bei Beschleunigungen Bearbeiten

Die zeitliche Ableitung von ist interessant, um die relativistische Form des zweiten newtonschen Gesetzes für Beschleunigungen in Bewegungsrichtung zu formulieren, da die relativistisch korrekte Beziehung über den Impuls lautet. Es gilt: .

Es folgt direkt:

und man erhält für die zeitliche Ableitung des Lorentzfaktors:

und damit für die korrekte Beziehung zwischen Kraft und Beschleunigung:

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Thorsten Fließbach: Mechanik. 6. Auflage. Spektrum, Heidelberg 2013, S. 327.
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Veröffentlichungsdatum:
Der dimensionslose Lorentzfaktor g displaystyle gamma gamma beschreibt in der speziellen Relativitatstheorie die Zeitdilatation sowie den Kehrwert der Langenkontraktion bei der Koordinatentransformation zwischen relativ zueinander bewegten Inertialsystemen Er wurde von Hendrik Antoon Lorentz im Rahmen der von ihm ausgearbeiteten Lorentz Transformation entwickelt die die mathematische Grundlage der speziellen Relativitatstheorie bildet Lorentzfaktor g displaystyle gamma als Funktion von v displaystyle v in Einheiten von c displaystyle c d h als Funktion von v c displaystyle tfrac v c Der Lorentzfaktor ist definiert als g 1 1 v c 2 1 displaystyle gamma frac 1 sqrt 1 left frac v c right 2 geq 1 v displaystyle v bezeichnet die Relativgeschwindigkeit zweier Bezugssysteme Die Lichtgeschwindigkeit c displaystyle c ist eine vom Bezugssystem unabhangige Naturkonstante Fur relativ zueinander ruhende Bezugssysteme gilt v 0 g 1 displaystyle v 0 Rightarrow gamma 1 Ist v 0 displaystyle v neq 0 aber dennoch klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit v c v c 1 displaystyle v ll c Leftrightarrow frac v c ll 1 so wird durch eine Taylor Entwicklung g 1 1 2 v 2 c 2 3 8 v 4 c 4 O v 6 c 6 displaystyle gamma 1 frac 1 2 frac v 2 c 2 frac 3 8 frac v 4 c 4 mathcal O left frac v 6 c 6 right In welcher Ordnung die Entwicklung in der klassischen Physik abgebrochen werden kann ist nicht allgemein zu beantworten Fur die meisten Anwendungen kann g displaystyle gamma als konstant Eins angenommen werden fur die kinetische Energie entspricht die Entwicklung bis zur ersten Ordnung v 2 displaystyle v 2 dem Wert 1 2 m v 2 displaystyle tfrac 1 2 mv 2 der newtonschen Physik Inhaltsverzeichnis 1 Lorentzfaktor in Abhangigkeit vom Impuls 2 Lorentzfaktor in Abhangigkeit von der kinetischen Energie 3 Lorentzfaktor bei Beschleunigungen 4 EinzelnachweiseLorentzfaktor in Abhangigkeit vom Impuls BearbeitenDer Lorentzfaktor lasst sich auch angeben als g 1 p m c 2 displaystyle gamma sqrt 1 left frac vec p mc right 2 nbsp mit dem relativistischen Dreierimpuls p displaystyle vec p nbsp des betrachteten Objektes seiner Masse m displaystyle m nbsp Diese Schreibweise ist vor allem in der theoretischen Physik zu finden Der Nachweis der Aquivalenz lasst sich uber eine Gleichsetzung mit dem normalen Lorentzfaktor erbringen bei der sich der relativistische Impuls ergibt p 2 g 2 1 c 2 1 1 b 2 1 b 2 1 b 2 c 2 b 2 c 2 g 2 m 2 g 2 v 2 m 2 displaystyle vec p 2 underbrace gamma 2 1 c 2 left frac 1 1 beta 2 frac 1 beta 2 1 beta 2 right c 2 beta 2 c 2 gamma 2 m 2 gamma 2 v 2 m 2 nbsp Lorentzfaktor in Abhangigkeit von der kinetischen Energie BearbeitenDer Lorentzfaktor lasst sich auch angeben als g E k i n E 0 1 displaystyle gamma frac E mathrm kin E 0 1 nbsp mit der kinetischen Energie E k i n displaystyle E mathrm kin nbsp des betrachteten Objektes seiner Ruheenergie E 0 m c 2 displaystyle E 0 mc 2 nbsp Lorentzfaktor bei Beschleunigungen BearbeitenDie zeitliche Ableitung von g displaystyle gamma nbsp ist interessant um die relativistische Form des zweiten newtonschen Gesetzes F m a displaystyle vec F m vec a nbsp fur Beschleunigungen in Bewegungsrichtung zu formulieren da die relativistisch korrekte Beziehung F d d t p displaystyle vec F tfrac mathrm d mathrm d t vec p nbsp uber den Impuls lautet Es gilt p g m v displaystyle vec p gamma m vec v nbsp Es folgt direkt F d d t g m v g m d d t v g v d d t m displaystyle vec F left frac mathrm d mathrm d t gamma right m vec v gamma m frac mathrm d mathrm d t vec v gamma vec v frac mathrm d mathrm d t m nbsp und man erhalt fur die zeitliche Ableitung des Lorentzfaktors d d t g g 3 v c d d t v c displaystyle frac mathrm d mathrm d t gamma gamma 3 frac vec v c cdot frac mathrm d mathrm d t frac vec v c nbsp und damit fur die korrekte Beziehung zwischen Kraft und Beschleunigung 1 F m g 3 v c d d t v c v g m d d t v g v d d t m displaystyle vec F m gamma 3 left frac vec v c cdot frac mathrm d mathrm d t frac vec v c right vec v gamma m frac mathrm d mathrm d t vec v gamma vec v frac mathrm d mathrm d t m nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Thorsten Fliessbach Mechanik 6 Auflage Spektrum Heidelberg 2013 S 327 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lorentzfaktor amp oldid 237995490