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Kobordismus In der Mathematik ist der Begriff des auch Bordismus vor allem in der Topologie und ihren Anwendungen sowie

Kobordismus

In der Mathematik ist der Begriff des Kobordismus (auch: Bordismus) vor allem in der Topologie und ihren Anwendungen sowie in der topologischen Quantenfeldtheorie von Bedeutung. Er gilt als die bis heute „berechenbarste“ Relation unter Mannigfaltigkeiten, die geometrisch interessant ist.

ist ein Kobordismus zwischen und .

Als Schöpfer der Kobordismentheorie gilt René Thom (1954), wobei einige entscheidende Ideen schon von Lew Pontrjagin (1950 und davor) vorweggenommen wurden.

Definition Bearbeiten

Ein Kobordismus zwischen zwei Mannigfaltigkeiten und ist eine Mannigfaltigkeit für deren Rand gilt

Der Kreis ist orientiert kobordant zur Vereinigung zweier Kreise.

und werden dann als unorientiert kobordant bezeichnet.

Häufiger wird allerdings der orientierte Kobordismus verwendet. Zwei orientierte Mannigfaltigkeiten und heißen orientiert kobordant, wenn es eine orientierte Mannigfaltigkeit mit

gibt, wobei die Orientierung auf die von der Orientierung von induzierte Orientierung auf dem Rand und die Mannigfaltigkeit mit der entgegengesetzten Orientierung bezeichnet.

Berechenbarkeit Bearbeiten

Nach einem Satz von Thom sind zwei Mannigfaltigkeiten genau dann orientiert kobordant, wenn alle ihre Pontrjagin-Zahlen und Stiefel-Whitney-Zahlen übereinstimmen.

Anwendungen Bearbeiten

Kobordismus (orientiert oder unorientiert) definiert eine Äquivalenzrelation, die Äquivalenzklassen lassen sich mit der disjunkten Vereinigung als Gruppe auffassen.

René Thoms Berechnung (des torsionsfreien Teils) der (orientierten) Kobordismusgruppe hat zahlreiche Anwendungen in der algebraischen Topologie und darüber hinaus. Aus ihr folgte unmittelbar der Hirzebruchsche Signatursatz und auf ihr baute auch der ursprüngliche Beweis des Atiyah-Singer-Indexsatzes auf.

Innerhalb der Topologie war der Begriff für die Entwicklung der Chirurgietheorie grundlegend. Weiterhin sind die orientierten Kobordismusgruppen ein Beispiel einer verallgemeinerten Kohomologietheorie.

Auch die topologische Quantenfeldtheorie baut auf dem Begriff des Kobordismus auf, siehe Kobordismus-Vermutung.

Begriffsvarianten Bearbeiten

Verschiedene Varianten des Kobordismus-Begriffs sind von Bedeutung, insbesondere gerahmter Kobordismus (Pontrjagin-Thom-Konstruktion) und h-Kobordismus.

Literatur Bearbeiten

  • John Milnor: A survey of cobordism theory. Enseignement Math. (2) 8 1962 16–23. online (PDF; 9,1 MB)

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Steimle, op.cit.
  2. Thom, Quelques propriétés globales des variétés différentiables, Comm.Math.Helvetici, Band 28, 1954, S. 17–86, Digitalisat
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik ist der Begriff des Kobordismus auch Bordismus vor allem in der Topologie und ihren Anwendungen sowie in der topologischen Quantenfeldtheorie von Bedeutung Er gilt als die bis heute berechenbarste Relation unter Mannigfaltigkeiten die geometrisch interessant ist 1 W displaystyle W ist ein Kobordismus zwischen M displaystyle M und N displaystyle N Als Schopfer der Kobordismentheorie gilt Rene Thom 1954 2 wobei einige entscheidende Ideen schon von Lew Pontrjagin 1950 und davor vorweggenommen wurden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Berechenbarkeit 3 Anwendungen 4 Begriffsvarianten 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEin Kobordismus zwischen zwei Mannigfaltigkeiten M displaystyle M nbsp und N displaystyle N nbsp ist eine Mannigfaltigkeit W displaystyle W nbsp fur deren Rand W displaystyle partial W nbsp gilt W M N displaystyle partial W M cup N nbsp nbsp Der Kreis ist orientiert kobordant zur Vereinigung zweier Kreise M displaystyle M nbsp und N displaystyle N nbsp werden dann als unorientiert kobordant bezeichnet Haufiger wird allerdings der orientierte Kobordismus verwendet Zwei orientierte Mannigfaltigkeiten M displaystyle M nbsp und N displaystyle N nbsp heissen orientiert kobordant wenn es eine orientierte Mannigfaltigkeit W displaystyle W nbsp mit W M N displaystyle partial W M cup overline N nbsp gibt wobei die Orientierung auf W displaystyle partial W nbsp die von der Orientierung von W displaystyle W nbsp induzierte Orientierung auf dem Rand und N displaystyle overline N nbsp die Mannigfaltigkeit N displaystyle N nbsp mit der entgegengesetzten Orientierung bezeichnet Berechenbarkeit BearbeitenNach einem Satz von Thom sind zwei Mannigfaltigkeiten genau dann orientiert kobordant wenn alle ihre Pontrjagin Zahlen und Stiefel Whitney Zahlen ubereinstimmen Anwendungen BearbeitenKobordismus orientiert oder unorientiert definiert eine Aquivalenzrelation die Aquivalenzklassen lassen sich mit der disjunkten Vereinigung als Gruppe auffassen Rene Thoms Berechnung des torsionsfreien Teils der orientierten Kobordismusgruppe hat zahlreiche Anwendungen in der algebraischen Topologie und daruber hinaus Aus ihr folgte unmittelbar der Hirzebruchsche Signatursatz und auf ihr baute auch der ursprungliche Beweis des Atiyah Singer Indexsatzes auf Innerhalb der Topologie war der Begriff fur die Entwicklung der Chirurgietheorie grundlegend Weiterhin sind die orientierten Kobordismusgruppen ein Beispiel einer verallgemeinerten Kohomologietheorie Auch die topologische Quantenfeldtheorie baut auf dem Begriff des Kobordismus auf siehe Kobordismus Vermutung Begriffsvarianten BearbeitenVerschiedene Varianten des Kobordismus Begriffs sind von Bedeutung insbesondere gerahmter Kobordismus Pontrjagin Thom Konstruktion und h Kobordismus Literatur BearbeitenJohn Milnor A survey of cobordism theory Enseignement Math 2 8 1962 16 23 online PDF 9 1 MB Weblinks BearbeitenSteimle Was ist Kobordismus Anosov Woizechowski Bordism Encyclopedia of Mathematics Einzelnachweise Bearbeiten Steimle op cit Thom Quelques proprietes globales des varietes differentiables Comm Math Helvetici Band 28 1954 S 17 86 Digitalisat Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kobordismus amp oldid 221435499