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j Funktion Die oder absolute Invariante j Invariante Klein Invariante spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elli

j-Funktion

Die j-Funktion oder absolute Invariante (j-Invariante, Klein-Invariante) spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen, denn man kann zeigen, dass zwei Gitter genau dann ähnlich sind, wenn ihre j-Invarianten übereinstimmen. Sie ist eine grundlegende Modulfunktion in dem Sinne, dass sich alle weiteren Modulfunktionen aus ihr durch rationale Funktionen ergeben.

j-Funktion in der komplexen Ebene (ohne Faktor 12^3)

Definition Bearbeiten

Für (obere Halbebene) ist

dabei ist die Diskriminante; und sind die Eisensteinreihen zum Gitter .

Eigenschaften Bearbeiten

Fundamentalbereich (blau) der j-Funktion

Die j-Funktion ist holomorph auf (sie hat nur einen einfachen Pol in der Spitze, also für ), die Bezeichnung absolute Invariante erklärt sich aus dem Transformationsverhalten unter den Substitutionen der Modulgruppe , es gilt nämlich:

Die j-Funktion bildet surjektiv auf ab. Für Punkte gilt dann und nur dann, wenn es eine komplexe Zahl gibt, die das Gitter auf das Gitter überführt, also genau dann, wenn die Quotienten und als elliptische Kurven isomorph sind. Sie parametrisiert also eindeutig die Elliptischen Funktionen. Sie liefert eine Bijektion . Ihr Fundamentalbereich ist durch die Modulfigur gegeben (siehe Abbildung).

Ist ein Element aus einem quadratischen Zahlkörper mit positiven Imaginärteil, so ist eine ganzalgebraische Zahl.

Jede Modulfunktion ist eine rationale Funktion der j-Funktion.

Fourierentwicklung Bearbeiten

Die j-Funktion lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln:

mit

Alle Fourierkoeffizienten :

sind natürliche Zahlen. Für ihr Wachstum gilt die asymptotische Formel

die 1932 von Petersson und unabhängig davon 1938 von Rademacher bewiesen wurde.

Die Fourierkoeffizienten sind Linearkombinationen der Dimensionen der irreduziblen Darstellungen der Monstergruppe mit kleinen ganzzahligen Koeffizienten. Dies folgt aus einer tiefen mathematischen Beziehung, die von McKay, Conway, Norton vermutet und von Richard Borcherds bewiesen wurde („monstrous moonshine“).

Literatur Bearbeiten

  • Eberhard Freitag & Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Aufl., Springer, Berlin (2006), ISBN 3-540-31764-3
  • Max Koecher & Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen, 2. Aufl., Springer, Berlin (2007) ISBN 978-3-540-49324-2

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten

  1. Das folgt daraus, dass im Zähler Eisensteinreihen stehen, die in diesem Grenzfall holomorph sind, und im Nenner die Diskriminante, die eine Spitzenform ist und eine einfache Nullstelle in dem betrachteten Grenzfall hat
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Die j Funktion oder absolute Invariante j Invariante Klein Invariante spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen denn man kann zeigen dass zwei Gitter genau dann ahnlich sind wenn ihre j Invarianten ubereinstimmen Sie ist eine grundlegende Modulfunktion in dem Sinne dass sich alle weiteren Modulfunktionen aus ihr durch rationale Funktionen ergeben j Funktion in der komplexen Ebene ohne Faktor 12 3 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Fourierentwicklung 4 Literatur 5 Weblinks 6 Einzelnachweise und AnmerkungenDefinition BearbeitenFur t H z C ℑ z gt 0 displaystyle tau in mathbb H z in mathbb C Im z gt 0 nbsp obere Halbebene ist j t 12 3 g 2 3 t D t displaystyle j tau 12 3 cdot frac g 2 3 tau Delta tau nbsp dabei ist D t g 2 3 t 27 g 3 2 t displaystyle Delta tau g 2 3 tau 27g 3 2 tau nbsp die Diskriminante g 2 t 60 G 4 t displaystyle g 2 tau 60G 4 tau nbsp und g 3 t 140 G 6 t displaystyle g 3 tau 140G 6 tau nbsp sind die Eisensteinreihen zum Gitter Z t Z displaystyle mathbb Z tau mathbb Z nbsp Eigenschaften Bearbeiten nbsp Fundamentalbereich blau der j FunktionDie j Funktion ist holomorph auf H displaystyle mathbb H nbsp sie hat nur einen einfachen Pol in der Spitze also fur ℑ z displaystyle Im z to infty nbsp 1 die Bezeichnung absolute Invariante erklart sich aus dem Transformationsverhalten unter den Substitutionen der Modulgruppe G S L 2 Z a b c d a b c d Z a d b c 1 displaystyle Gamma SL 2 mathbb Z left begin pmatrix a amp b c amp d end pmatrix mid a b c d in mathbb Z ad bc 1 right nbsp es gilt namlich j a t b c t d j t displaystyle j left frac a tau b c tau d right j tau nbsp d h j displaystyle j nbsp ist eine Modulfunktion Die j Funktion bildet H displaystyle mathbb H nbsp surjektiv auf C displaystyle mathbb C nbsp ab Fur Punkte z w H displaystyle z w in mathbb H nbsp gilt j z j w displaystyle j z j w nbsp dann und nur dann wenn es eine komplexe Zahl a C displaystyle a in mathbb C nbsp gibt die das Gitter Z z Z displaystyle mathbb Z z mathbb Z nbsp auf das Gitter Z w Z displaystyle mathbb Z w mathbb Z nbsp uberfuhrt also genau dann wenn die Quotienten C Z z Z displaystyle mathbb C mathbb Z z mathbb Z nbsp und C Z w Z displaystyle mathbb C mathbb Z w mathbb Z nbsp als elliptische Kurven isomorph sind Sie parametrisiert also eindeutig die Elliptischen Funktionen Sie liefert eine Bijektion H G C displaystyle mathbb H backslash Gamma to mathbb C nbsp Ihr Fundamentalbereich ist durch die Modulfigur gegeben siehe Abbildung Ist t displaystyle tau nbsp ein Element aus einem quadratischen Zahlkorper mit positiven Imaginarteil so ist j t displaystyle j tau nbsp eine ganzalgebraische Zahl Jede Modulfunktion ist eine rationale Funktion der j Funktion Fourierentwicklung BearbeitenDie j Funktion lasst sich in eine Fourierreihe entwickeln j t 1 q 744 196884 q 21493760 q 2 864299970 q 3 n 1 c n q n displaystyle j tau frac 1 q 744 196884q 21493760q 2 864299970q 3 ldots sum n 1 infty c n q n nbsp mit q e 2 p i t displaystyle q mathrm e 2 pi mathrm i tau nbsp Alle Fourierkoeffizienten c n displaystyle c n nbsp 1 744 196884 21493760 displaystyle 1 744 196884 21493760 dots nbsp Folge A000521 in OEIS sind naturliche Zahlen Fur ihr Wachstum gilt die asymptotische Formel c n e 4 p n 2 n 3 4 displaystyle c n cong frac e 4 pi sqrt n sqrt 2 n 3 4 nbsp die 1932 von Petersson und unabhangig davon 1938 von Rademacher bewiesen wurde Die Fourierkoeffizienten sind Linearkombinationen der Dimensionen der irreduziblen Darstellungen der Monstergruppe mit kleinen ganzzahligen Koeffizienten Dies folgt aus einer tiefen mathematischen Beziehung die von McKay Conway Norton vermutet und von Richard Borcherds bewiesen wurde monstrous moonshine Literatur BearbeitenEberhard Freitag amp Rolf Busam Funktionentheorie 1 4 Aufl Springer Berlin 2006 ISBN 3 540 31764 3 Max Koecher amp Aloys Krieg Elliptische Funktionen und Modulformen 2 Aufl Springer Berlin 2007 ISBN 978 3 540 49324 2Weblinks BearbeitenEric W Weisstein j Function In MathWorld englisch Ramanujan and the Modular j Invariant PDF 14 S 143 kB A Scherer The j function and the Monster pdfEinzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten Das folgt daraus dass im Zahler Eisensteinreihen stehen die in diesem Grenzfall holomorph sind und im Nenner die Diskriminante die eine Spitzenform ist und eine einfache Nullstelle in dem betrachteten Grenzfall hat Abgerufen von https de wikipedia org w index php title J Funktion amp oldid 230822868