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Hermitesche Funktion Die Hermiteschen Funktionen h n x displaystyle h n x erhält man aus den Hermiteschen Polynomen H n

Hermitesche Funktion

Die Hermiteschen Funktionen erhält man aus den Hermiteschen Polynomen , indem man diese mit der Dichte der Gaußschen Normalverteilung multipliziert.

Plot der ersten fünf Hermiteschen Funktionen hn bzw. ψn

Sie sind ein sehr gutes Beispiel für die Definition (Erzeugung) einer orthonormalen Basis, ähnlich der Sinus-/Kosinusfunktionen. Während letztere in der Lage sind, mittels der Spektralanalyse (Fourieranalyse) ein periodisches Signal in ein Frequenzspektrum zu zerlegen, erlauben die Hermiteschen Funktionen die Beschreibung singulärer Ereignisse.

Eine wichtige Bedeutung haben sie in der Physik zur Konstruktion der orthonormierten Lösungsfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators. Motiviert durch die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der Quantenmechanik erhält man folgende rekursive Darstellung der hermiteschen Funktionen

dabei ist der Operator definiert durch

Singuläre Ereignisse werden in der Regel durch Intensität, Mittelwert und Standardabweichung charakterisiert. Diese Kennwerte können aber für verschiedene, sehr unterschiedliche Ereignisse identisch sein, so dass sie für die Charakterisierung nicht ausreichen. Daher bestimmt man die sogenannten „höheren statistischen Momente“ als weitere Vergleichsgrößen. Diese sind jedoch sehr empfindlich auf Rauschen und Drift der Nulllinie und daher nur bedingt geeignet. Entwickelt man eine Verteilung in Hermiteschen Funktionen, so sind die Koeffizienten sehr stabil, da die Funktionen nur im zentralen Bereich leben und somit weiter außenliegende Messdaten geeignet dämpfen.

Die Entwicklung einer ein Ereignis repräsentierenden Funktion nach Hermiteschen Funktionen hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der Wavelet-Transformation.

Hermitesche Funktionen als Eigenfunktionen der Fourier-Transformation Bearbeiten

Die Hermiteschen Funktionen sind Eigenfunktionen der Fourier-Transformation im Eindimensionalen zu den Eigenwerten :

Mehr noch, sie bilden ferner im Raum ein vollständiges Orthonormalsystem von Eigenfunktionen.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Helmut Fischer, Helmut Kaul: Mathematik für Physiker, Band 2: Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. 2. Aufl., B.G. Teubner, Wiesbaden 2004. ISBN 3-519-12080-1, §12 Abschn. 4.2, S. 300–301.
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Die Hermiteschen Funktionen h n x displaystyle h n x erhalt man aus den Hermiteschen Polynomen H n x displaystyle H n x indem man diese mit der Dichte der Gaussschen Normalverteilung multipliziert Plot der ersten funf Hermiteschen Funktionen hn bzw psn h n x 1 n 2 n n p e x 2 2 d n d x n e x 2 1 2 n n p H n x e 1 2 x 2 displaystyle h n x frac 1 n sqrt 2 n n sqrt pi e x 2 2 frac mathrm d n mathrm d x n e x 2 frac 1 sqrt 2 n n sqrt pi H n x e frac 1 2 x 2 h n x h m x d x d n m n m 0 1 2 displaystyle int infty infty h n x h m x mathrm d x delta n m qquad qquad n m 0 1 2 ldots Sie sind ein sehr gutes Beispiel fur die Definition Erzeugung einer orthonormalen Basis ahnlich der Sinus Kosinusfunktionen Wahrend letztere in der Lage sind mittels der Spektralanalyse Fourieranalyse ein periodisches Signal in ein Frequenzspektrum zu zerlegen erlauben die Hermiteschen Funktionen die Beschreibung singularer Ereignisse Eine wichtige Bedeutung haben sie in der Physik zur Konstruktion der orthonormierten Losungsfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators Motiviert durch die Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren der Quantenmechanik erhalt man folgende rekursive Darstellung der hermiteschen Funktionen h n x n 1 2 a h n 1 x h 0 x p 1 4 e 1 2 x 2 displaystyle h n x n frac 1 2 a dagger h n 1 x qquad h 0 x pi frac 1 4 e frac 1 2 x 2 dabei ist der Operator a displaystyle a dagger definiert durch a 1 2 x d d x displaystyle a dagger frac 1 sqrt 2 Big x frac mathrm d mathrm d x Big Singulare Ereignisse werden in der Regel durch Intensitat Mittelwert und Standardabweichung charakterisiert Diese Kennwerte konnen aber fur verschiedene sehr unterschiedliche Ereignisse identisch sein so dass sie fur die Charakterisierung nicht ausreichen Daher bestimmt man die sogenannten hoheren statistischen Momente als weitere Vergleichsgrossen Diese sind jedoch sehr empfindlich auf Rauschen und Drift der Nulllinie und daher nur bedingt geeignet Entwickelt man eine Verteilung in Hermiteschen Funktionen so sind die Koeffizienten sehr stabil da die Funktionen nur im zentralen Bereich leben und somit weiter aussenliegende Messdaten geeignet dampfen Die Entwicklung einer ein Ereignis reprasentierenden Funktion nach Hermiteschen Funktionen hat eine gewisse Ahnlichkeit mit der Wavelet Transformation Hermitesche Funktionen als Eigenfunktionen der Fourier Transformation BearbeitenDie Hermiteschen Funktionen sind Eigenfunktionen der Fourier Transformation im Eindimensionalen zu den Eigenwerten i n displaystyle left mathrm i right n nbsp F h n i n h n n N 0 displaystyle mathcal F h n left mathrm i right n h n qquad left n in mathbb N 0 right nbsp Mehr noch sie bilden ferner im Raum L 2 R displaystyle L 2 left mathbb R right nbsp ein vollstandiges Orthonormalsystem von Eigenfunktionen 1 Literatur BearbeitenI N Bronstein K A Semendjajew Begrunder Gunter Grosche Bearb Eberhard Zeidler Hrsg Teubner Taschenbuch der Mathematik Teubner Stuttgart 1996 ISBN 3 8154 2001 6 Einzelnachweise Bearbeiten Helmut Fischer Helmut Kaul Mathematik fur Physiker Band 2 Gewohnliche und partielle Differentialgleichungen mathematische Grundlagen der Quantenmechanik 2 Aufl B G Teubner Wiesbaden 2004 ISBN 3 519 12080 1 12 Abschn 4 2 S 300 301 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hermitesche Funktion amp oldid 189896639