www.wikidata.de-de.nina.az

Gesetz von Hagen Poiseuille Das poaː zœj 1 nach Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen 1797 1884 und Jean Léonard Marie Poiseuil

Gesetz von Hagen-Poiseuille

Das Gesetz von Hagen-Poiseuille [poaː'zœj] (nach Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen, 1797–1884 und Jean Léonard Marie Poiseuille, 1797–1869) beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Volumenstrom, , eines homogenen Newton’schen Fluids der dynamischen Viskosität, , durch ein kreiszylindrisches Rohr mit dem Radius und der Länge und dem Druck am Eingang und dem Druck am Ausgang bei einer laminaren stationären Strömung.

Für Gase wie Flüssigkeiten gilt für einen sehr kurzen Rohrabschnitt innerhalb eines längeren Rohres die folgende Beziehung zwischen Volumenstrom und Gradienten des Druckes  :

für Rohre einer merklichen Länge gilt

- für inkompressible Flüssigkeiten:

- für Gase bei Temperaturen und Volumen weit oberhalb der kritischen Temperatur und des kritischen Druckes:

Bemerkenswert ist die Abhängigkeit des Volumendurchflusses von der vierten Potenz des Radius des Rohres. Dadurch hängt der Strömungswiderstand sehr stark vom Radius des Rohres ab, so erhöht beispielsweise eine Verringerung des Rohrdurchmessers auf die Hälfte (um 10 %) den Strömungswiderstand auf das 16fache (um den Faktor 1,5).

Das Gesetz gilt nur

  • für den stationären Zustand, in dem an jeder Stelle im Rohr die Strömungsgeschwindigkeit keine zeitliche Änderung erfährt.
  • solange der Radius des Rohres groß ist im Vergleich zur fluiddynamischen Grenzschicht.
  • bei Gasen solange der Rohrdurchmesser groß ist im Vergleich zur freien Weglänge, , der Gasmoleküle. Ist lässt sich der Transport der Gasmoleküle durch das Rohr über die Gesetzmäßigkeiten der Knudsenströmung bzw. Knudsen-Diffusion beschreiben
  • für laminare Strömungen.
    • Bei größerem Volumenfluss und größeren Abmessungen kommt es zu turbulenten Strömungen mit wesentlich höherem Strömungswiderstand als nach Hagen-Poiseuille zu erwarten wäre. Den Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung lässt sich aus der mittleren Strömungsgeschwindigkeit über die Reynoldszahl, abschätzen. Die konkreten Verhältnisse turbulenter Strömungen werden u. a. mit den Formeln von Blasius, Nikuradse bzw. Prandtl-Colebrook beschrieben.
    • Durchströmt ein Fluid ein Rohr, das mit Fasern oder porösem Material gefüllt ist, befinden sich in einer strömenden Flüssigkeit Vesikel, biologische Zellen, Partikel, Tropfen oder Gasblasen mit einem Durchmesser vergleichbar dem Rohrdurchmesser (z. B. Blut s. u., Mikrofluidsegmenttechnik) oder zeigt das Fluid starke Scherverdünnung so bildet sich häufig Pfropfenströmung aus, d. h. die Strömungsgeschwindigkeit ist fast überall im Rohrquerschnitt gleich hoch.
  • solange die Volumenarbeit zu dominierendem Anteil Dissipation im Rohr bewirkt und das Verhältnis der kinetischen Energie des ausströmenden Fluids zur geleisteten Volumenarbeit <<1 ist.
  • bei vollständig ausgebildetem hydrodynamischen Strömungsprofil (parabolisches Geschwindigkeitsprofil). Strömt bspw. Flüssigkeit aus einem Tank über ein Rohr aus, dann muss das Rohr hinreichend lang sein, damit das Gesetz von Hagen-Poiseuille gültig ist. Im Eingang und Ausgang des Rohres muss das parabolische Strömungsprofil unter zusätzlichem Druckverlust erst ausgebildet, bzw. abgebaut werden. Diesen Bereich der Strömung kann man mit dem Sampson-Roscoe-Gesetz beschreiben. In guter Näherung kann man den Druckverlust nach Sampson-Roscoe zum Druckverlust nach Hagen-Poiseuille addieren.
    Bei Ostwald- oder Ubbelohdeviskosimetern berücksichtigt man die beiden letztgenannten Effekte durch die sogenannte Hagenbach-Couette-Korrektur

Anwendung Bearbeiten

Hagen-Poiseuille ermöglicht, im Datensatz Rohrdimensionen/Druckdifferenz/Viskosität/Volumenfluss jeweils eine der unbekannten Größen aus den anderen zu berechnen. Die Gleichung wird eingesetzt :

Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen (beispielsweise Einzelnachweisen) ausgestattet. Angaben ohne ausreichenden Beleg könnten demnächst entfernt werden. Bitte hilf Wikipedia, indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfügst.
  • Das Gesetz von Hagen-Poiseuille bildet auch die Grundlage von Modellgleichungen zur Beschreibung der Durchströmung von Schüttgütern.

Herleitung Bearbeiten

Variable Bedeutung SI-Einheit
Volumenstrom durch das Rohr m3·s−1
Ortskoordinate parallel zur Rohrachse m
Innenradius des Rohres m
, Abstand zur Achse des Rohres m
Länge des Rohres m
dynamische Viskosität des Fluids Pa·s
Druck Pa
Druckgradient entlang der Rohrachse Pa m-1

Wir betrachten einen starren inkompressiblen sehr kurzen Kreiszylinder mit Länge und Radius , einer Grundfläche von und einer Mantelfläche von . Die Ortskoordinate unseres Bezugsystems, verläuft entlang der Zylinderachse. Der Zylinder ist von einer Hülse umgeben. Zwischen der Hülse und dem Zylinder ist ein gleichmäßig breiter Spalt der Breite . hat positives Vorzeichen, wenn wir von innen nach außen gehen. ist so klein, dass wir den Unterschied zwischen der Fläche der Hülse und der Mantelfläche des Zylinders vernachlässigen können. Der Spalt ist gefüllt mit einem Newtonschen Fluid der dynamischen Viskosität . Auf die Grundfläche des Zylinders wirkt eine Druckdifferenz, , und somit eine Kraft in Richtung Ortskoordinate von:

Wobei wir das Vorzeichen so wählen, dass der Druck in Richtung unserer Ortskoordinate abfällt, der Gradient des Druckes, , somit negatives Vorzeichen hat.

Diese Kraft bewirkt, dass der Zylinder sich relativ zur Hülse mit der Geschwindigkeit in Richtung unserer Ortskoordinate bewegt:

Nun betrachten wir einen kurzen Kreiszylinder mit Radius und Länge , der vollständig mit einem Newtonschen Fluid gefüllt ist. Diesen Zylinder zerlegen wir in sehr viele konzentrische Hohlzylinder der Wanddicke . Wir nehmen an, dass sich die Flüssigkeit so durch das Rohr bewegt, dass diese konzentrischen Hohlzylinder aneinander vorbeigleiten. Wir gehen weiter davon aus, dass wir uns in einem stationären Zustand befinden, also an jedem Ort Dichte und Geschwindigkeit der Flüssigkeit zeitlich konstant bleibt. Dieses Strömungsverhalten nennt man auch 'laminare Strömung' bzw. Stokes-Strömung.

In diesem Bild verhält sich ein jeder Hohlzylinder sowohl wie der Spalt als auch wie der innen liegende Zylinder im vorherigen Beispiel - d. h. er wird zwischen den beiden angrenzenden Hohlzylindern geschert und bewegt sich um schneller in Richtung als der um weiter außen liegende.

Hierbei wirkt auf einen jeden Hohlzylinder als Scherkraft die Summe aller Kräfte, die auf die weiter innen liegenden Hohzylinder wirken. Im vorherigen Beispiel wurde die Kraft durch die mechanische Spannung im starren Zylinder auf den Spalt übertragen, in diesem Fall hier durch die Scherkräfte in jedem der innenliegenden Hohlzylindes. Letztendlich wirkt auf den Spalt die gleiche Kraft wie im vorherigen Beispiel.

Wir gehen davon aus, dass der am weitesten außen liegende Hohlzylinder 'an der Wand haftet', also die Geschwindigkeit hat. Die Geschwindigkeit eines Hohlzylinders mit Radius erhalten wir durch Integration.

Die Strömungsgeschwindigkeit als Funktion des Abstandes von der Achse des Rohres wird somit durch eine Parabel beschrieben. Deshalb nennt man diese Strömungsverhältnisse auch oft parabolisches Geschwindigkeitsprofil.

Ein jeder dieser Hohlzylinder trägt einen kleinen Beitrag zum Gesamtvolumenfluss bei, dieser ist proportional zur Grundfläche dieses Hohlzylinders, multipliziert mit seiner Geschwindigkeit, :

Den Gesamtvolumenfluss erhalten wir durch Integrieren dieser Gleichung:

Laminares Strömungsprofil

Dies ist identisch zu Gleichung (1).

Strömung inkompressibler Flüssigkeiten durch ein Rohr

Bei einer inkompressiblen Flüssigkeit, die druckgetrieben durch ein Rohr strömt, bleibt die Dichte und somit der Volumenfluss über die gesamte Länge des Rohres konstant. Wir können somit Gleichung (1) über die gesamte Länge integrieren und erhalten:

Dies ist identisch zu Gleichung (2).

Strömung von Gasen durch ein Rohr

Ein Gas, das druckgetrieben durch ein Rohr strömt, dehnt sich mit fallendem Druck entlang des Rohres aus. Somit ist zwar der Massenfluss entlang des Rohres konstant, nicht jedoch der Volumenfluss. Wir nehmen vereinfachend an, dass sich beim Durchfluss des Gases durch das Rohr seine Temperatur nicht ändert. Für die meisten Gase weit genug oberhalb der kritischen Temperatur ist bei isothermer Expansion das Produkt aus Druck und Volumen konstant. Somit können wir beide Seiten von Gleichung (1) mit dem Druck multiplizieren und erhalten somit auf der linken Seite der Gleichung erneut einen ortsunabhängigen Term:

Weiterhin nehmen wir vereinfachend an, dass die Viskosität des Gases unabhängig von Druck und Dichte ist, so dass wir diese Gleichung integrieren können, ohne die Viskosität mit in das Integral zu nehmen:

Dies ist identisch zu Gleichung (3).

Nehmen wir an, dass man die Beziehung zwischen Druck und Dichte über das ideale Gasgesetz beschreiben kann, ergibt sich hieraus für den Teilchenfluss bzw. den Stoffmengenfluss durch das Rohr:

Nicht kreisförmige Kanalquerschnitte Bearbeiten

Rechteck-Kanal Bearbeiten

Für einen schmalen Rechteck-Kanal der Breite und Höhe ergeben ähnliche Überlegungen wie oben:

wenn nicht ist, gilt näherungsweise:

mit:

Die Abweichung vom exakten Wert bei Berechnung von in erster Näherung () beträgt maximal 0,67 %, in zweiter Näherung 0,06 %, in dritter Näherung 0,01 %. Einige Beispielwerte, berechnet in dritter Näherung:

0 1/10 1/5 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1
1 0,9370 0,8740 0,8425 0,7900 0,6861 0,5873 0,5414 0,4218

Elliptischer Querschnitt Bearbeiten

Für elliptische Querschnitte ergibt sich:

wobei und die beiden Halbachsen der Ellipse repräsentieren. Für (= kreisförmiger Querschnitt) ergibt dies erwartungsgemäß wieder Gleichung (1).

Formeln für weitere Querschnittsformen findet man in Lehrbüchern zur Fluidik.

Eingeschränkte Gültigkeit im Blut Bearbeiten

Die Rheologie des Blutes wird als Hämorheologie (englisch hemorheology) bezeichnet.

Das Gesetz von Hagen-Poiseuille bezieht sich auf Newtonsche Fluide. Blutplasma kann man noch als newtonisch ansehen, doch Blut als ganzes ist eine inhomogene Suspension aus verschiedenen Zellen im Blutplasma und zeigt eine Viskosität, die von der Schergeschwindigkeit und dem Durchmesser des durchflossenen Blutgefäßes abhängt. Weiterhin beeinflussen auch die Deformierbarkeit und Wechselwirkungen der Erythrozyten die Viskosität. Diese können in dünnen Gefäßen zu Pfropfenströmung führen und darüber hinaus eine „geldrollenartige“ dichter gepackte Anordnung bilden, die auf ihre Art den Durchfluss beeinflusst.

Davon unabhängig ist in der Aorta und anderen herznahen Gefäßen mit großem Querschnitt die Strömung des Blutes eher turbulent als laminar.

Literatur Bearbeiten

  • Wolfgang Beitz; Karl-Heinrich Grote (Hrsg.): Dubbel. Taschenbuch für den Maschinenbau. 20. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 2001, ISBN 3-540-67777-1
  • James P. Hartnett; Milivoje Kostic: Heat Transfer to Newtonian and Non-Newtonian Fluids in Rectangular Ducts. In: Advances in Heat Transfer, Volume 19, 1989
  • Rainer Klinke (Hrsg.): Physiologie. Zahlreiche Tabellen. 5. Auflage. Georg Thieme Verlag, Stuttgart / New York 2005, ISBN 3-13-796005-3

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Aussprache von Poiseuille: Wie man Poiseuille auf Französisch ausspricht
  2. tec-science: Energetische Betrachtung des Hagen-Poiseuille-Gesetzes. In: tec-science. 2. April 2020, abgerufen am 7. Mai 2020 (deutsch).
  3. Henrik Bruus: Theoretical Microfluidics. Oxford University Press, 2008
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Das Gesetz von Hagen Poiseuille poaː zœj 1 nach Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen 1797 1884 und Jean Leonard Marie Poiseuille 1797 1869 beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Volumenstrom V d V d t displaystyle dot V mathrm d V mathrm d t eines homogenen Newton schen Fluids der dynamischen Viskositat h displaystyle eta durch ein kreiszylindrisches Rohr mit dem Radius r displaystyle r und der Lange l displaystyle l und dem Druck am Eingang p Eingang displaystyle p text Eingang und dem Druck am Ausgang p Ausgang displaystyle p text Ausgang bei einer laminaren stationaren Stromung Fur Gase wie Flussigkeiten gilt fur einen sehr kurzen Rohrabschnitt innerhalb eines langeren Rohres die folgende Beziehung zwischen Volumenstrom V displaystyle dot V und Gradienten des Druckes d p d x displaystyle mathrm d p mathrm d x V p r 4 8 h d p d x 1 displaystyle dot V frac pi cdot r 4 8 cdot eta frac mathrm d p mathrm d x qquad 1 fur Rohre einer merklichen Lange l r displaystyle l gg r gilt fur inkompressible Flussigkeiten V p r 4 8 h l p Eingang p Ausgang 2 displaystyle dot V frac pi cdot r 4 8 cdot eta cdot l cdot left p text Eingang p text Ausgang right qquad 2 fur Gase bei Temperaturen und Volumen weit oberhalb der kritischen Temperatur und des kritischen Druckes p V p r 4 16 h l p Eingang 2 p Ausgang 2 3 displaystyle p dot V frac pi cdot r 4 16 cdot eta cdot l left p text Eingang 2 p text Ausgang 2 right qquad 3 Bemerkenswert ist die Abhangigkeit des Volumendurchflusses von der vierten Potenz des Radius des Rohres Dadurch hangt der Stromungswiderstand sehr stark vom Radius des Rohres ab so erhoht beispielsweise eine Verringerung des Rohrdurchmessers auf die Halfte um 10 den Stromungswiderstand auf das 16fache um den Faktor 1 5 Das Gesetz gilt nur fur den stationaren Zustand in dem an jeder Stelle im Rohr die Stromungsgeschwindigkeit keine zeitliche Anderung erfahrt solange der Radius des Rohres gross ist im Vergleich zur fluiddynamischen Grenzschicht bei Gasen solange der Rohrdurchmesser gross ist im Vergleich zur freien Weglange l displaystyle lambda der Gasmolekule Ist 2 r l displaystyle 2r leq lambda lasst sich der Transport der Gasmolekule durch das Rohr uber die Gesetzmassigkeiten der Knudsenstromung bzw Knudsen Diffusion beschreiben fur laminare Stromungen Bei grosserem Volumenfluss und grosseren Abmessungen kommt es zu turbulenten Stromungen mit wesentlich hoherem Stromungswiderstand als nach Hagen Poiseuille zu erwarten ware Den Ubergang von laminarer zu turbulenter Stromung lasst sich aus der mittleren Stromungsgeschwindigkeit v m V p r 2 displaystyle v m dot V left pi r 2 right uber die Reynoldszahl R e r v m r h r p r h V r r 3 8 h 2 d p d x displaystyle Re rho v m r eta rho left pi r eta right cdot dot V rho r 3 left 8 eta 2 right cdot mathrm d p mathrm d x abschatzen Die konkreten Verhaltnisse turbulenter Stromungen werden u a mit den Formeln von Blasius Nikuradse bzw Prandtl Colebrook beschrieben Durchstromt ein Fluid ein Rohr das mit Fasern oder porosem Material gefullt ist befinden sich in einer stromenden Flussigkeit Vesikel biologische Zellen Partikel Tropfen oder Gasblasen mit einem Durchmesser vergleichbar dem Rohrdurchmesser z B Blut s u Mikrofluidsegmenttechnik oder zeigt das Fluid starke Scherverdunnung so bildet sich haufig Pfropfenstromung aus d h die Stromungsgeschwindigkeit ist fast uberall im Rohrquerschnitt gleich hoch solange die Volumenarbeit zu dominierendem Anteil Dissipation im Rohr bewirkt und das Verhaltnis der kinetischen Energie des ausstromenden Fluids zur geleisteten Volumenarbeit lt lt 1 ist bei vollstandig ausgebildetem hydrodynamischen Stromungsprofil parabolisches Geschwindigkeitsprofil Stromt bspw Flussigkeit aus einem Tank uber ein Rohr aus dann muss das Rohr hinreichend lang sein damit das Gesetz von Hagen Poiseuille gultig ist Im Eingang und Ausgang des Rohres muss das parabolische Stromungsprofil unter zusatzlichem Druckverlust erst ausgebildet bzw abgebaut werden 2 Diesen Bereich der Stromung kann man mit dem Sampson Roscoe Gesetz beschreiben In guter Naherung kann man den Druckverlust nach Sampson Roscoe zum Druckverlust nach Hagen Poiseuille addieren Bei Ostwald oder Ubbelohdeviskosimetern berucksichtigt man die beiden letztgenannten Effekte durch die sogenannte Hagenbach Couette KorrekturInhaltsverzeichnis 1 Anwendung 2 Herleitung 3 Nicht kreisformige Kanalquerschnitte 3 1 Rechteck Kanal 3 2 Elliptischer Querschnitt 4 Eingeschrankte Gultigkeit im Blut 5 Literatur 6 EinzelnachweiseAnwendung BearbeitenHagen Poiseuille ermoglicht im Datensatz Rohrdimensionen Druckdifferenz Viskositat Volumenfluss jeweils eine der unbekannten Grossen aus den anderen zu berechnen Die Gleichung wird eingesetzt um technische Anlagen auszulegen zur Bestimmung von Volumenstromen mittels eines Laminardurchflussmessers zur Bestimmung von Viskositaten mittels Ostwald oder Ubbelohdeviskosimetern nbsp Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Das Gesetz von Hagen Poiseuille bildet auch die Grundlage von Modellgleichungen zur Beschreibung der Durchstromung von Schuttgutern Herleitung BearbeitenVariable Bedeutung SI EinheitV displaystyle dot V nbsp Volumenstrom durch das Rohr m3 s 1x displaystyle x nbsp Ortskoordinate parallel zur Rohrachse mr displaystyle r nbsp Innenradius des Rohres ms displaystyle s nbsp S displaystyle S nbsp Abstand zur Achse des Rohres ml displaystyle l nbsp Lange des Rohres mh displaystyle eta nbsp dynamische Viskositat des Fluids Pa sp displaystyle p nbsp Druck Pad p d x displaystyle mathrm d p mathrm d x nbsp Druckgradient entlang der Rohrachse Pa m 1 nbsp Wir betrachten einen starren inkompressiblen sehr kurzen Kreiszylinder mit Lange d x displaystyle mathrm d x nbsp und Radius s displaystyle s nbsp einer Grundflache von A G p s 2 displaystyle A G pi cdot s 2 nbsp und einer Mantelflache von A M 2 p s d x displaystyle A M 2 pi cdot s cdot mathrm d x nbsp Die Ortskoordinate unseres Bezugsystems x displaystyle x nbsp verlauft entlang der Zylinderachse Der Zylinder ist von einer Hulse umgeben Zwischen der Hulse und dem Zylinder ist ein gleichmassig breiter Spalt der Breite d s displaystyle mathrm d s nbsp d s displaystyle mathrm d s nbsp hat positives Vorzeichen wenn wir von innen nach aussen gehen d s displaystyle mathrm d s nbsp ist so klein dass wir den Unterschied zwischen der Flache der Hulse und der Mantelflache des Zylinders vernachlassigen konnen Der Spalt ist gefullt mit einem Newtonschen Fluid der dynamischen Viskositat h displaystyle eta nbsp Auf die Grundflache des Zylinders wirkt eine Druckdifferenz d p displaystyle mathrm d p nbsp und somit eine Kraft in Richtung Ortskoordinate von F s d p A G displaystyle F left s right mathrm d p cdot A G nbsp Wobei wir das Vorzeichen so wahlen dass der Druck in Richtung unserer Ortskoordinate abfallt der Gradient des Druckes d p d x displaystyle mathrm d p mathrm d x nbsp somit negatives Vorzeichen hat Diese Kraft bewirkt dass der Zylinder sich relativ zur Hulse mit der Geschwindigkeit d v s displaystyle mathrm d v left s right nbsp in Richtung unserer Ortskoordinate x displaystyle x nbsp bewegt d v s F s h A M d s d p A G h A M d s d p p s 2 h 2 p d x s d s 1 2 h d p d x s d s displaystyle mathrm d v left s right frac F left s right eta cdot A M cdot left mathrm d s right frac mathrm d p cdot A G eta cdot A M cdot mathrm d s frac mathrm d p cdot pi cdot s 2 eta cdot 2 pi cdot mathrm d x cdot s cdot mathrm d s frac 1 2 eta frac mathrm d p mathrm d x cdot s mathrm d s nbsp nbsp Nun betrachten wir einen kurzen Kreiszylinder mit Radius r displaystyle r nbsp und Lange d x displaystyle mathrm d x nbsp der vollstandig mit einem Newtonschen Fluid gefullt ist Diesen Zylinder zerlegen wir in sehr viele konzentrische Hohlzylinder der Wanddicke d s displaystyle mathrm d s nbsp Wir nehmen an dass sich die Flussigkeit so durch das Rohr bewegt dass diese konzentrischen Hohlzylinder aneinander vorbeigleiten Wir gehen weiter davon aus dass wir uns in einem stationaren Zustand befinden also an jedem Ort Dichte und Geschwindigkeit der Flussigkeit zeitlich konstant bleibt Dieses Stromungsverhalten nennt man auch laminare Stromung bzw Stokes Stromung In diesem Bild verhalt sich ein jeder Hohlzylinder sowohl wie der Spalt als auch wie der innen liegende Zylinder im vorherigen Beispiel d h er wird zwischen den beiden angrenzenden Hohlzylindern geschert und bewegt sich um d v displaystyle mathrm d v nbsp schneller in Richtung x displaystyle x nbsp als der um d s displaystyle mathrm d s nbsp weiter aussen liegende Hierbei wirkt auf einen jeden Hohlzylinder als Scherkraft die Summe aller Krafte die auf die weiter innen liegenden Hohzylinder wirken Im vorherigen Beispiel wurde die Kraft durch die mechanische Spannung im starren Zylinder auf den Spalt ubertragen in diesem Fall hier durch die Scherkrafte in jedem der innenliegenden Hohlzylindes Letztendlich wirkt auf den Spalt die gleiche Kraft wie im vorherigen Beispiel Wir gehen davon aus dass der am weitesten aussen liegende Hohlzylinder an der Wand haftet also die Geschwindigkeit v r 0 displaystyle v r 0 nbsp hat Die Geschwindigkeit eines Hohlzylinders mit Radius S displaystyle S nbsp erhalten wir durch Integration v S s r S d v s 1 2 h d p d x s r S s d s 1 4 h d p d x S 2 r 2 displaystyle v left S right int s r S mathrm d v left s right frac 1 2 eta frac mathrm d p mathrm d x int s r S s mathrm d s frac 1 4 eta frac mathrm d p mathrm d x cdot left S 2 r 2 right nbsp Die Stromungsgeschwindigkeit als Funktion des Abstandes von der Achse des Rohres wird somit durch eine Parabel beschrieben Deshalb nennt man diese Stromungsverhaltnisse auch oft parabolisches Geschwindigkeitsprofil Ein jeder dieser Hohlzylinder tragt einen kleinen Beitrag d V S displaystyle mathrm d dot V left S right nbsp zum Gesamtvolumenfluss V displaystyle dot V nbsp bei dieser ist proportional zur Grundflache dieses Hohlzylinders A H 2 p S d S displaystyle A H 2 pi cdot S cdot mathrm d S nbsp multipliziert mit seiner Geschwindigkeit v S displaystyle v left S right nbsp d V S v S 2 p S d S p 2 h d p d x S 3 S r 2 d S displaystyle mathrm d dot V left S right v left S right 2 pi S mathrm d S frac pi 2 eta frac mathrm d p mathrm d x cdot left S 3 Sr 2 right mathrm d S nbsp Den Gesamtvolumenfluss erhalten wir durch Integrieren dieser Gleichung V p 2 h d p d x S 0 r S 3 S r 2 d S p 2 h d p d x r 4 4 r 4 2 p r 4 8 h d p d x displaystyle dot V frac pi 2 eta frac mathrm d p mathrm d x cdot int S 0 r left S 3 Sr 2 right mathrm d S frac pi 2 eta frac mathrm d p mathrm d x cdot left frac r 4 4 frac r 4 2 right frac pi cdot r 4 8 cdot eta frac mathrm d p mathrm d x nbsp nbsp Laminares StromungsprofilDies ist identisch zu Gleichung 1 Stromung inkompressibler Flussigkeiten durch ein RohrBei einer inkompressiblen Flussigkeit die druckgetrieben durch ein Rohr stromt bleibt die Dichte und somit der Volumenfluss uber die gesamte Lange des Rohres konstant Wir konnen somit Gleichung 1 uber die gesamte Lange integrieren und erhalten V p r 4 8 h p Eingang p Ausgang d p x 0 l d x p r 4 8 h p Eingang p Ausgang l displaystyle dot V frac pi cdot r 4 8 cdot eta cdot frac int p text Eingang p text Ausgang mathrm d p int x 0 l mathrm d x frac pi cdot r 4 8 cdot eta cdot frac p text Eingang p text Ausgang l nbsp Dies ist identisch zu Gleichung 2 Stromung von Gasen durch ein RohrEin Gas das druckgetrieben durch ein Rohr stromt dehnt sich mit fallendem Druck entlang des Rohres aus Somit ist zwar der Massenfluss entlang des Rohres konstant nicht jedoch der Volumenfluss Wir nehmen vereinfachend an dass sich beim Durchfluss des Gases durch das Rohr seine Temperatur nicht andert Fur die meisten Gase weit genug oberhalb der kritischen Temperatur ist bei isothermer Expansion das Produkt aus Druck und Volumen konstant Somit konnen wir beide Seiten von Gleichung 1 mit dem Druck multiplizieren und erhalten somit auf der linken Seite der Gleichung erneut einen ortsunabhangigen Term p V p r 4 8 h p d p d x displaystyle p dot V frac pi cdot r 4 8 cdot eta cdot frac p mathrm d p mathrm d x nbsp Weiterhin nehmen wir vereinfachend an dass die Viskositat des Gases unabhangig von Druck und Dichte ist so dass wir diese Gleichung integrieren konnen ohne die Viskositat mit in das Integral zu nehmen p V p r 4 8 h p Eingang p Ausgang p d p x 0 l d x p r 4 8 h p Ausgang 2 2 p Eingang 2 2 l 0 p r 4 16 h p Eingang 2 p Ausgang 2 l displaystyle p dot V frac pi cdot r 4 8 cdot eta cdot frac int p text Eingang p text Ausgang p mathrm d p int x 0 l mathrm d x frac pi cdot r 4 8 cdot eta cdot frac frac p text Ausgang 2 2 frac p text Eingang 2 2 l 0 frac pi cdot r 4 16 cdot eta frac p text Eingang 2 p text Ausgang 2 l nbsp Dies ist identisch zu Gleichung 3 Nehmen wir an dass man die Beziehung zwischen Druck und Dichte uber das ideale Gasgesetz p V N k B T displaystyle left pV Nk mathrm B T right nbsp beschreiben kann ergibt sich hieraus fur den Teilchenfluss bzw den Stoffmengenfluss durch das Rohr d N d t p r 4 16 h k B T l p Eingang 2 p Ausgang 2 displaystyle frac mathrm d N mathrm d t frac pi cdot r 4 16 cdot eta cdot k mathrm B T cdot l left p text Eingang 2 p text Ausgang 2 right nbsp d n d t p r 4 16 h R T l p Eingang 2 p Ausgang 2 displaystyle frac mathrm d n mathrm d t frac pi cdot r 4 16 cdot eta cdot R cdot T cdot l left p text Eingang 2 p text Ausgang 2 right nbsp Nicht kreisformige Kanalquerschnitte BearbeitenRechteck Kanal Bearbeiten Fur einen schmalen Rechteck Kanal der Breite b displaystyle b nbsp und Hohe b h displaystyle b gg h nbsp ergeben ahnliche Uberlegungen wie oben V h 3 b 12 h d p d x displaystyle dot V frac h 3 b 12 eta cdot frac mathrm d p mathrm d x nbsp wenn b displaystyle b nbsp nicht h displaystyle gg h nbsp ist gilt naherungsweise V K h 3 b 12 h d p d x displaystyle dot V K cdot frac h 3 b 12 eta cdot frac mathrm d p mathrm d x nbsp mit K 1 n 1 1 2 n 1 5 192 p 5 h b tanh 2 n 1 p 2 b h displaystyle K 1 sum n 1 infty frac 1 2n 1 5 cdot frac 192 pi 5 cdot frac h b tanh left 2n 1 frac pi 2 frac b h right nbsp Die Abweichung vom exakten Wert bei Berechnung von K displaystyle K nbsp in erster Naherung n 1 displaystyle n 1 nbsp betragt maximal 0 67 in zweiter Naherung 0 06 in dritter Naherung 0 01 Einige Beispielwerte berechnet in dritter Naherung h b displaystyle frac h b nbsp 0 1 10 1 5 1 4 1 3 1 2 2 3 3 4 1K displaystyle K nbsp 1 0 9370 0 8740 0 8425 0 7900 0 6861 0 5873 0 5414 0 4218Elliptischer Querschnitt Bearbeiten Fur elliptische Querschnitte ergibt sich V p 4 h a 3 b 3 a 2 b 2 d p d x displaystyle dot V frac pi 4 eta cdot frac a 3 cdot b 3 a 2 b 2 cdot frac mathrm d p mathrm d x nbsp wobei a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp die beiden Halbachsen der Ellipse reprasentieren Fur a b r displaystyle a b r nbsp kreisformiger Querschnitt ergibt dies erwartungsgemass wieder Gleichung 1 Formeln fur weitere Querschnittsformen findet man in Lehrbuchern zur Fluidik 3 Eingeschrankte Gultigkeit im Blut BearbeitenDie Rheologie des Blutes wird als Hamorheologie englisch hemorheology bezeichnet Das Gesetz von Hagen Poiseuille bezieht sich auf Newtonsche Fluide Blutplasma kann man noch als newtonisch ansehen doch Blut als ganzes ist eine inhomogene Suspension aus verschiedenen Zellen im Blutplasma und zeigt eine Viskositat die von der Schergeschwindigkeit und dem Durchmesser des durchflossenen Blutgefasses abhangt Weiterhin beeinflussen auch die Deformierbarkeit und Wechselwirkungen der Erythrozyten die Viskositat Diese konnen in dunnen Gefassen zu Pfropfenstromung fuhren und daruber hinaus eine geldrollenartige dichter gepackte Anordnung bilden die auf ihre Art den Durchfluss beeinflusst Davon unabhangig ist in der Aorta und anderen herznahen Gefassen mit grossem Querschnitt die Stromung des Blutes eher turbulent als laminar Literatur BearbeitenWolfgang Beitz Karl Heinrich Grote Hrsg Dubbel Taschenbuch fur den Maschinenbau 20 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2001 ISBN 3 540 67777 1 James P Hartnett Milivoje Kostic Heat Transfer to Newtonian and Non Newtonian Fluids in Rectangular Ducts In Advances in Heat Transfer Volume 19 1989 Rainer Klinke Hrsg Physiologie Zahlreiche Tabellen 5 Auflage Georg Thieme Verlag Stuttgart New York 2005 ISBN 3 13 796005 3Einzelnachweise Bearbeiten Aussprache von Poiseuille Wie man Poiseuille auf Franzosisch ausspricht tec science Energetische Betrachtung des Hagen Poiseuille Gesetzes In tec science 2 April 2020 abgerufen am 7 Mai 2020 deutsch Henrik Bruus Theoretical Microfluidics Oxford University Press 2008 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gesetz von Hagen Poiseuille amp oldid 238330260