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Gupta Bleuler Formalismus Der nach Suraj N Gupta 1 und Konrad Bleuler 2 ist eine Methode zur Quantisierung von Eichtheor

Gupta-Bleuler-Formalismus

Der Gupta-Bleuler-Formalismus (nach Suraj N. Gupta und Konrad Bleuler) ist eine Methode zur Quantisierung von Eichtheorien, mit der sich die Lorenz-Eichung der klassischen Elektrodynamik in die Quantenelektrodynamik übertragen lässt. Eine solche Eichfixierung ist notwendig, um das Auftreten von unphysikalischen Freiheitsgraden, wie zeitartig und longitudinal polarisierten Photonen im Rahmen der Quantenelektrodynamik zu vermeiden.

Beim Gupta-Bleuler-Formalismus wird die Lorenz-Eichung des Viererpotentials der klassischen Elektrodynamik, , durch die beiden schwächeren Bedingungen und ersetzt. Dies bewirkt, dass nicht die Ableitung an sich Null ist, sondern nur deren Erwartungswert für jeden Zustand .

Hintergrund Bearbeiten

Die naive Lagrangedichte des Photons lautete mit dem Feldstärketensor :

und führt ohne Eichfixierung zu diversen Problemen, da das Viererpotential mit vier Freiheitsgraden ein physikalisches Objekt mit nur zwei Freiheitsgraden, das Photon, adäquat beschreiben soll. Das Auftreten dieser Problematik wird durch Bilden der Euler-Lagrange-Gleichung und des konjugierten Impulses deutlich. Für die Euler-Lagrange-Gleichung gilt sodann

welche das klassische Ergebnis darstellt, und für den konjugierten Impuls

Da der Feldstärketensor nach Konstruktion antisymmetrisch ist, verschwindet die zeitartige Komponente des konjugierten Impulses . Daher kann die Kommutator-Relation

für den Fall nicht gültig sein.

Eichfixierung der Lagrangedichte Bearbeiten

Zur Behebung dieses Umstands kann gefordert werden, dass die Euler-Lagrange-Gleichung des Photons die Form einer Wellengleichung annimmt, wie es in der klassischen Elektrodynamik durch die Lorenz-Eichung der Fall ist. Dies geschieht im Gupta-Bleuler-Formalismus durch Einführung eines zusätzlichen Terms in der Lagrangedichte:

In diesem Artikel wird die Feynman-Eichung verwendet. Dadurch vereinfacht sich die Euler-Lagrange-Gleichung für den Viererpotential-Operator zu

wohingegen der konjugierte Impuls einen Zusatzterm enthält:

Nicht im Widerspruch zu den Formeln der klassischen Elektrodynamik stehend und somit das Korrespondenzprinzip nicht verletzend, ist bis dahin die Wahl von völlig frei. Es wäre sogar falsch zu behaupten, aus dem Vergleich der Euler-Lagrange-Gleichungen vor und nach Eichfixierung folge unweigerlich , da dadurch zur Eichfixierung einzig eine Null addiert wäre!

Zeitartig und longitudinal polarisierte Photonen Bearbeiten

Es ist aus der klassischen Elektrodynamik bekannt, dass elektromagnetische Wellen im Vakuum Transversalwellen sind und Photonen einzig zwei Freiheitsgrade besitzen, welche sich in den beiden transversalen Polarisationsrichtungen manifestieren. Stellt man jedoch das Viererpotential in Fourier-Zerlegung dar, so ergibt sich mit den vier Freiheitsgraden und vier linear unabhängig gewählten Basisvektoren

Die dabei eingeführten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren bzw. erfüllen dabei die Kommutatorrelation

wie durch explizites Aufstellen des konjugierten Impulses in Fourier-Darstellung gezeigt werden kann.

Durch Wahl eines Koordinatensystems lässt sich in -Richtung legen, sodass im Folgenden zeitartige, transversale und longitudinal polarisierte Photonen beschreiben. Der Hamilton-Operator für das Photon lautet sodann

wobei das Ergebnis impliziert, dass zeitartig polarisierte Photonen zu negativen Energien führen.

Anwendung des Formalismus Bearbeiten

Bildet man die Ableitung des Viererpotentials, so gilt mit der Wahl

In diesem Zusammenhang definiert man

Es folgt aus der eingangs erwähnten Bedingung des Gupta-Bleuler-Formalismus daher, dass bereits im Integranden

gelten muss. Aus dieser Beziehung ergibt sich für die Energie als Erwartungswert des Hamilton-Operators die nichtnegative Größe

da sich die Beiträge der longitudinalen und zeitartigen Polarisation gegenseitig aufheben.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Suraj N. Gupta: Theory of Longitudinal Photons in Quantum Electrodynamics. In: Proceedings of the Physical Society. Section A. Band 63, Nr. 7, 1950, S. 681, doi:10.1088/0370-1298/63/7/301.
  2. Konrad Bleuler: Eine neue Methode zur Behandlung der longitudinalen und skalaren Photonen. In: Helvetica Physica Acta. Band 23, Nr. 5, 1950, S. 567 ff., doi:10.5169/seals-112124 (Digitalisat).
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Der Gupta Bleuler Formalismus nach Suraj N Gupta 1 und Konrad Bleuler 2 ist eine Methode zur Quantisierung von Eichtheorien mit der sich die Lorenz Eichung der klassischen Elektrodynamik in die Quantenelektrodynamik ubertragen lasst Eine solche Eichfixierung ist notwendig um das Auftreten von unphysikalischen Freiheitsgraden wie zeitartig und longitudinal polarisierten Photonen im Rahmen der Quantenelektrodynamik zu vermeiden Beim Gupta Bleuler Formalismus wird die Lorenz Eichung des Viererpotentials der klassischen Elektrodynamik m A m 0 displaystyle partial mu A mu 0 durch die beiden schwacheren Bedingungen m A m PS 0 displaystyle partial mu A mu Psi rangle 0 und PS m A m 0 displaystyle langle Psi partial mu A mu 0 ersetzt Dies bewirkt dass nicht die Ableitung m A m displaystyle partial mu A mu an sich Null ist sondern nur deren Erwartungswert PS m A m PS displaystyle langle Psi partial mu A mu Psi rangle fur jeden Zustand PS displaystyle Psi rangle Inhaltsverzeichnis 1 Hintergrund 1 1 Eichfixierung der Lagrangedichte 1 2 Zeitartig und longitudinal polarisierte Photonen 2 Anwendung des Formalismus 3 EinzelnachweiseHintergrund BearbeitenSiehe auch Quantenelektrodynamik und Quantenfeldtheorie Die naive Lagrangedichte des Photons lautete mit dem Feldstarketensor F m n m A n n A m displaystyle F mu nu partial mu A nu partial nu A mu nbsp L 1 4 F m n F m n displaystyle mathcal L frac 1 4 F mu nu F mu nu nbsp und fuhrt ohne Eichfixierung zu diversen Problemen da das Viererpotential mit vier Freiheitsgraden ein physikalisches Objekt mit nur zwei Freiheitsgraden das Photon adaquat beschreiben soll Das Auftreten dieser Problematik wird durch Bilden der Euler Lagrange Gleichung und des konjugierten Impulses deutlich Fur die Euler Lagrange Gleichung gilt sodann A n n m A m 0 displaystyle Box A nu partial nu partial mu A mu 0 nbsp welche das klassische Ergebnis darstellt und fur den konjugierten Impuls p m L 0 A m F m 0 displaystyle pi mu frac partial mathcal L partial partial 0 A mu F mu 0 nbsp Da der Feldstarketensor nach Konstruktion antisymmetrisch ist verschwindet die zeitartige Komponente des konjugierten Impulses p 0 0 displaystyle pi 0 0 nbsp Daher kann die Kommutator Relation A m x t p n y t i g m n d 3 x y displaystyle left A mu vec x t pi nu vec y t right mathrm i g mu nu delta 3 vec x vec y nbsp fur den Fall m n 0 displaystyle mu nu 0 nbsp nicht gultig sein Eichfixierung der Lagrangedichte Bearbeiten Zur Behebung dieses Umstands kann gefordert werden dass die Euler Lagrange Gleichung des Photons die Form einer Wellengleichung annimmt wie es in der klassischen Elektrodynamik durch die Lorenz Eichung der Fall ist Dies geschieht im Gupta Bleuler Formalismus durch Einfuhrung eines zusatzlichen Terms in der Lagrangedichte L 1 4 F m n F m n 1 2 3 m A m 2 displaystyle mathcal L frac 1 4 F mu nu F mu nu frac 1 2 xi partial mu A mu 2 nbsp In diesem Artikel wird die Feynman Eichung 3 1 displaystyle xi 1 nbsp verwendet Dadurch vereinfacht sich die Euler Lagrange Gleichung fur den Viererpotential Operator zu A n 0 displaystyle Box A nu 0 nbsp wohingegen der konjugierte Impuls einen Zusatzterm enthalt p m F m 0 n A n d m 0 displaystyle pi mu F mu 0 partial nu A nu delta mu 0 nbsp Nicht im Widerspruch zu den Formeln der klassischen Elektrodynamik stehend und somit das Korrespondenzprinzip nicht verletzend ist bis dahin die Wahl von m A m displaystyle partial mu A mu nbsp vollig frei Es ware sogar falsch zu behaupten aus dem Vergleich der Euler Lagrange Gleichungen vor und nach Eichfixierung folge unweigerlich m A m 0 displaystyle partial mu A mu 0 nbsp da dadurch zur Eichfixierung einzig eine Null addiert ware Zeitartig und longitudinal polarisierte Photonen Bearbeiten Es ist aus der klassischen Elektrodynamik bekannt dass elektromagnetische Wellen im Vakuum Transversalwellen sind und Photonen einzig zwei Freiheitsgrade besitzen welche sich in den beiden transversalen Polarisationsrichtungen manifestieren Stellt man jedoch das Viererpotential in Fourier Zerlegung dar so ergibt sich mit den vier Freiheitsgraden l displaystyle lambda nbsp und vier linear unabhangig gewahlten Basisvektoren ϵ m k l displaystyle epsilon mu k lambda nbsp A m d 3 k 2 p 3 1 2 E k l 0 3 ϵ m k l a k l e i k x ϵ m k l a k l e i k x displaystyle A mu int frac mathrm d 3 vec k 2 pi 3 frac 1 sqrt 2E k sum lambda 0 3 left epsilon mu k lambda alpha k lambda e mathrm i kx epsilon mu k lambda alpha dagger k lambda e mathrm i kx right nbsp Die dabei eingefuhrten Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren a displaystyle alpha dagger nbsp bzw a displaystyle alpha nbsp erfullen dabei die Kommutatorrelation a k l a k l g l l 2 p 3 d 3 k k displaystyle left alpha k lambda alpha dagger k lambda right g lambda lambda 2 pi 3 delta 3 vec k vec k nbsp wie durch explizites Aufstellen des konjugierten Impulses in Fourier Darstellung gezeigt werden kann Durch Wahl eines Koordinatensystems lasst sich k displaystyle vec k nbsp in z displaystyle z nbsp Richtung legen sodass im Folgenden l 0 displaystyle lambda 0 nbsp zeitartige l 1 2 displaystyle lambda 1 2 nbsp transversale und l 3 displaystyle lambda 3 nbsp longitudinal polarisierte Photonen beschreiben Der Hamilton Operator H displaystyle H nbsp fur das Photon lautet sodann H d 3 k 2 p 3 E k l 1 3 a k l a k l a k 0 a k 0 displaystyle H int frac mathrm d 3 vec k 2 pi 3 E k left sum lambda 1 3 alpha dagger k lambda alpha k lambda alpha dagger k 0 alpha k 0 right nbsp wobei das Ergebnis impliziert dass zeitartig polarisierte Photonen zu negativen Energien fuhren Anwendung des Formalismus BearbeitenBildet man die Ableitung des Viererpotentials so gilt mit der Wahl k E k 0 0 k displaystyle k E k 0 0 k nbsp m A m d 3 k 2 p 3 i E k 2 a k 3 a k 0 e i k x a k 3 a k 0 e i k x displaystyle partial mu A mu int frac mathrm d 3 vec k 2 pi 3 mathrm i sqrt frac E k 2 left alpha k 3 alpha k 0 e mathrm i kx alpha dagger k 3 alpha dagger k 0 e mathrm i kx right nbsp In diesem Zusammenhang definiert man m A m 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Beitrage der longitudinalen und zeitartigen Polarisation gegenseitig aufheben Einzelnachweise Bearbeiten Suraj N Gupta Theory of Longitudinal Photons in Quantum Electrodynamics In Proceedings of the Physical Society Section A Band 63 Nr 7 1950 S 681 doi 10 1088 0370 1298 63 7 301 Konrad Bleuler Eine neue Methode zur Behandlung der longitudinalen und skalaren Photonen In Helvetica Physica Acta Band 23 Nr 5 1950 S 567 ff doi 10 5169 seals 112124 Digitalisat Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gupta Bleuler Formalismus amp oldid 185829823