www.wikidata.de-de.nina.az

Grothendieck Spektralsequenz In der Mathematik in der homologischen Algebra ist die eine Spektralsequenz zur Berechnung

Grothendieck-Spektralsequenz

In der Mathematik, in der homologischen Algebra, ist die Grothendieck-Spektralsequenz eine Spektralsequenz zur Berechnung des abgeleiteten Funktors der Komposition zweier Funktoren mithilfe der abgeleiteten Funktoren von und .

Sie wurde konstruiert und 1957 veröffentlicht von Alexander Grothendieck in seiner heute meist als Tôhoku bezeichneten Arbeit Sur quelques points d’algèbre homologique im Tôhoku Mathematical Journal.

Viele Spektralsequenzen in der algebraischen Geometrie sind Anwendungen der Grothendieck-Spektralsequenz, wie beispielsweise die Leray-Spektralsequenz oder die Lyndon-Hochschild-Serre-Spektralsequenz.

Aussage Bearbeiten

Seien und zwei linksexakte Funktoren zwischen abelschen Kategorien, wobei und jeweils genügend Injektive haben und injektive Objekte auf -azyklische Objekte abbildet (d. h. für alle ), dann existiert für jedes Objekt in eine Spektralsequenz

wobei jeweils die i-te rechte Ableitung des entsprechenden Funktors bezeichnet, und der Pfeil "" Konvergenz von Spektralsequenzen meint.

Fünfterm exakte Sequenz Bearbeiten

Die Fünfterm exakte Sequenz lautet

Beispiel Bearbeiten

Leray-Spektralsequenz Bearbeiten

Es sei eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Dann ist das direkte Bild ein linksexakter Funktor zwischen den Garben auf und den Garben auf . Wir nennen den globalen Schnittfunktor auf , analog auf . Dann gilt nach Definition von , und bildet injektive auf -azyklische Objekte ab. Also existiert für jede Garbe auf eine Spektralsequenz mit

genannt die Leray-Spektralsequenz.

Beweisidee Bearbeiten

Wähle eine -azyklische Auflösung von . Wir können eine injektive Auflösung für den Komplex konstruieren:

Nun ist ein Doppelkomplex, zu dem zwei Spektralsequenzen gebildet werden können:

was immer 0 ist für , da nach Voraussetzung -azyklisch ist. Also ist

Außerdem haben wir:

Da eine injektive Auflösung von ist, gilt:

Da die beiden Spektralsequenzen den gleichen Grenzterm haben, ist die Aussage gezeigt.

Literatur Bearbeiten

  • Roger Godement: Topologie algébrique et théorie des faisceaux. Hrsg.: Hermann. Paris 1973.
  • Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Nr. 211). Überarbeitete 3. Auflage. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X, S. 821.
  • Charles Weibel: An introduction to homological algebra. Hrsg.: Cambridge University Press (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics). 38. Auflage. 1994, ISBN 978-0-521-55987-4.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Charles Weibel: An introduction to homological algebra. Hrsg.: Cambridge University Press (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics). 38. Auflage. 1994, ISBN 978-0-521-55987-4.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik in der homologischen Algebra ist die Grothendieck Spektralsequenz eine Spektralsequenz zur Berechnung des abgeleiteten Funktors der Komposition zweier Funktoren G F displaystyle G circ F mithilfe der abgeleiteten Funktoren von F displaystyle F und G displaystyle G Sie wurde konstruiert und 1957 veroffentlicht von Alexander Grothendieck in seiner heute meist als Tohoku bezeichneten Arbeit Sur quelques points d algebre homologique im Tohoku Mathematical Journal Viele Spektralsequenzen in der algebraischen Geometrie sind Anwendungen der Grothendieck Spektralsequenz wie beispielsweise die Leray Spektralsequenz oder die Lyndon Hochschild Serre Spektralsequenz Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 1 1 Funfterm exakte Sequenz 2 Beispiel 2 1 Leray Spektralsequenz 3 Beweisidee 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseAussage BearbeitenSeien F A B displaystyle F colon mathcal A to mathcal B nbsp und G B C displaystyle G colon mathcal B to mathcal C nbsp zwei linksexakte Funktoren zwischen abelschen Kategorien wobei A displaystyle mathcal A nbsp und B displaystyle mathcal B nbsp jeweils genugend Injektive haben und F displaystyle F nbsp injektive Objekte auf G displaystyle G nbsp azyklische Objekte abbildet d h R i G 0 textstyle rm R i G 0 nbsp fur alle i 1 textstyle i geq 1 nbsp dann existiert fur jedes Objekt A displaystyle A nbsp in A displaystyle mathcal A nbsp eine Spektralsequenz E 2 p q R p G R q F A R p q G F A displaystyle E 2 p q rm R p G circ rm R q F A Longrightarrow rm R p q G circ F A nbsp wobei R i displaystyle rm R i nbsp jeweils die i te rechte Ableitung des entsprechenden Funktors bezeichnet und der Pfeil displaystyle Longrightarrow nbsp Konvergenz von Spektralsequenzen meint Funfterm exakte Sequenz Bearbeiten Die Funfterm exakte Sequenz lautet 0 R 1 G F A R 1 G F A G R 1 F A R 2 G F A R 2 G F A displaystyle 0 to rm R 1 G FA to rm R 1 GF A to G rm R 1 F A to rm R 2 G FA to rm R 2 GF A nbsp Beispiel BearbeitenLeray Spektralsequenz Bearbeiten Hauptartikel Leray Spektralsequenz Es sei f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp eine stetige Abbildung zwischen topologischen Raumen Dann ist das direkte Bild f A b X A b Y displaystyle f colon mathbf Ab X to mathbf Ab Y nbsp ein linksexakter Funktor zwischen den Garben auf X displaystyle X nbsp und den Garben auf Y displaystyle Y nbsp Wir nennen G X A b X A b F F X displaystyle Gamma X colon mathbf Ab X to mathbf Ab mathcal F mapsto mathcal F X nbsp den globalen Schnittfunktor auf X displaystyle X nbsp analog auf Y displaystyle Y nbsp Dann gilt G Y f G X displaystyle Gamma Y circ f Gamma X nbsp nach Definition von f displaystyle f nbsp und f displaystyle f nbsp bildet injektive auf G Y displaystyle Gamma Y nbsp azyklische Objekte ab Also existiert fur jede Garbe F displaystyle mathcal F nbsp auf X displaystyle X nbsp eine Spektralsequenz mit E 2 p q R p G Y R q f F H p Y R q f F R p q G f F H p q X F displaystyle E 2 p q rm R p Gamma Y circ rm R q f mathcal F H p Y rm R q f mathcal F Longrightarrow R p q Gamma circ f mathcal F H p q X mathcal F nbsp genannt die Leray Spektralsequenz Beweisidee BearbeitenWahle eine F textstyle F nbsp azyklische Auflosung 0 A A 0 A 1 textstyle 0 to A to A 0 to A 1 to nbsp von A displaystyle A nbsp Wir konnen eine injektive Auflosung fur den Komplex F A displaystyle F A bullet nbsp konstruieren 1 0 F A I 0 I 1 displaystyle 0 to F A bullet to I bullet 0 to I bullet 1 to nbsp Nun ist E 0 p q G I p q displaystyle E 0 pq G I p q nbsp ein Doppelkomplex zu dem zwei Spektralsequenzen gebildet werden konnen E 1 p q H q G I p R q G F A p displaystyle prime prime E 1 p q H q G I p bullet R q G F A p nbsp was immer 0 ist fur q 0 displaystyle q neq 0 nbsp da F A p displaystyle F A p nbsp nach Voraussetzung G displaystyle G nbsp azyklisch ist Also ist E 2 n R n G F A displaystyle prime prime E 2 n R n G circ F A nbsp und E 2 E displaystyle prime prime E 2 prime prime E infty nbsp Ausserdem haben wir E 1 p q H q G I p G H q I p displaystyle prime E 1 p q H q G I bullet p G H q I bullet p nbsp die letzte Gleichheit gilt wie leicht nachgepruft werden kann da I p displaystyle I bullet p nbsp injektiv und G displaystyle G nbsp linksexakt ist Da H q I 0 H q I 1 displaystyle H q I bullet 0 to H q I bullet 1 to cdots nbsp eine injektive Auflosung von H q F A R q F A displaystyle H q F A bullet R q F A nbsp ist gilt E 2 p q R p G R q F A displaystyle prime E 2 p q R p G R q F A nbsp Da die beiden Spektralsequenzen den gleichen Grenzterm haben ist die Aussage gezeigt Literatur BearbeitenRoger Godement Topologie algebrique et theorie des faisceaux Hrsg Hermann Paris 1973 Serge Lang Algebra Graduate Texts in Mathematics Nr 211 Uberarbeitete 3 Auflage Springer Verlag New York 2002 ISBN 0 387 95385 X S 821 Charles Weibel An introduction to homological algebra Hrsg Cambridge University Press Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38 Auflage 1994 ISBN 978 0 521 55987 4 Weblinks BearbeitenGrothendieck spectral sequence In PlanetMath englisch Einzelnachweise Bearbeiten Charles Weibel An introduction to homological algebra Hrsg Cambridge University Press Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38 Auflage 1994 ISBN 978 0 521 55987 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Grothendieck Spektralsequenz amp oldid 221476951