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Lyndon Hochschild Serre Spektralsequenz In der Mathematik genauer in der Gruppenkohomologie in der homologischen Algebra

Lyndon-Hochschild-Serre-Spektralsequenz

In der Mathematik, genauer in der Gruppenkohomologie, in der homologischen Algebra und in der Zahlentheorie, ist die Lyndon-Spektralsequenz oder Hochschild-Serre-Spektralsequenz eine Spektralsequenz zur Berechnung der Kohomologie einer Gruppe mithilfe der Kohomologie einer normalen Untergruppe und der zugehörigen Quotientengruppe. Die Spektralsequenz ist eine Anwendung der Grothendieck-Spektralsequenz und wurde benannt nach Roger Lyndon, Gerhard Hochschild und Jean-Pierre Serre.

Aussage Bearbeiten

Es sei eine Gruppe, eine normale Untergruppe, und es sei A ein -Modul. Dann gibt es eine kohomologische Spektralsequenz

und eine homologische Spektralsequenz

wobei die Pfeile "" Konvergenz von Spektralsequenzen meinen.

Fünfterm exakte Sequenz Bearbeiten

Die zugehörige Fünfterm exakte Sequenz lautet

Beispiel Bearbeiten

Sei die Heisenberg-Gruppe mit Einträgen aus ganzen Zahlen, d. h.

Dann ist eine zentrale Erweiterung der Gruppe , mit Zentrum zugehörig zur Untergruppe mit a=c=0. Mithilfe der Spektralsequenz kann die Homologie berechnet werden:

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Kevin P. Knudson: Homology of Linear Groups. Hrsg.: Birkhäuser Verlag (= Progress in Mathematics). 193. Auflage. Basel 2001, ISBN 3-7643-6415-7, doi:10.1007/978-3-0348-8338-2.
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik genauer in der Gruppenkohomologie in der homologischen Algebra und in der Zahlentheorie ist die Lyndon Spektralsequenz oder Hochschild Serre Spektralsequenz eine Spektralsequenz zur Berechnung der Kohomologie einer Gruppe mithilfe der Kohomologie einer normalen Untergruppe und der zugehorigen Quotientengruppe Die Spektralsequenz ist eine Anwendung der Grothendieck Spektralsequenz und wurde benannt nach Roger Lyndon Gerhard Hochschild und Jean Pierre Serre Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 1 1 Funfterm exakte Sequenz 2 Beispiel 3 Literatur 4 EinzelnachweiseAussage BearbeitenEs sei G displaystyle G nbsp eine Gruppe N displaystyle N nbsp eine normale Untergruppe und es sei A ein G displaystyle G nbsp Modul Dann gibt es eine kohomologische Spektralsequenz E 2 H p G N H q N A H p q G A displaystyle E 2 H p G N H q N A Longrightarrow H p q G A nbsp und eine homologische Spektralsequenz E 2 H p G N H q N A H p q G A displaystyle E 2 H p G N H q N A Longrightarrow H p q G A nbsp wobei die Pfeile displaystyle Longrightarrow nbsp Konvergenz von Spektralsequenzen meinen Funfterm exakte Sequenz Bearbeiten Die zugehorige Funfterm exakte Sequenz lautet 0 H 1 G N A N H 1 G A H 1 N A G N H 2 G N A N H 2 G A displaystyle 0 to H 1 G N A N to H 1 G A to H 1 N A G N to H 2 G N A N to H 2 G A nbsp Beispiel BearbeitenSei G displaystyle G nbsp die Heisenberg Gruppe mit Eintragen aus ganzen Zahlen d h G 1 a b 0 1 c 0 0 1 a b c Z displaystyle G left left begin array ccc 1 amp a amp b 0 amp 1 amp c 0 amp 0 amp 1 end array right a b c in mathbb Z right nbsp Dann ist G displaystyle G nbsp eine zentrale Erweiterung 0 Z G Z Z 0 displaystyle 0 to mathbb Z to G to mathbb Z oplus mathbb Z to 0 nbsp der Gruppe Z Z displaystyle mathbb Z oplus mathbb Z nbsp mit Zentrum Z displaystyle mathbb Z nbsp zugehorig zur Untergruppe mit a c 0 Mithilfe der Spektralsequenz kann die Homologie berechnet werden 1 H i G Z Z i 0 3 Z Z i 1 2 0 i gt 3 displaystyle H i G mathbb Z left begin array cc mathbb Z amp i 0 3 mathbb Z oplus mathbb Z amp i 1 2 0 amp i gt 3 end array right nbsp Literatur BearbeitenRoger Lyndon The cohomology theory of group extensions Hrsg Duke Mathematical Journal 15 Auflage 1948 ISSN 0012 7094 doi 10 1215 S0012 7094 48 01528 2 Gerhard Hochschild Jean Pierre Serre Cohomology of group extensions Hrsg Transactions of the American Mathematical Society 74 Auflage 1953 ISSN 0002 9947 doi 10 2307 1990851 JSTOR 1990851 Jurgen Neukirch Alexander Schmidt Kay Wingberg Cohomology of Number Fields Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften Hrsg Springerverlag 2000 ISBN 978 3 540 66671 4 Kevin P Knudson Homology of Linear Groups Hrsg Birkhauser Verlag Progress in Mathematics 193 Auflage Basel 2001 ISBN 3 7643 6415 7 doi 10 1007 978 3 0348 8338 2 Einzelnachweise Bearbeiten Kevin P Knudson Homology of Linear Groups Hrsg Birkhauser Verlag Progress in Mathematics 193 Auflage Basel 2001 ISBN 3 7643 6415 7 doi 10 1007 978 3 0348 8338 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lyndon Hochschild Serre Spektralsequenz amp oldid 222300936