Die Grassmann Zahlen nach Hermann Grassmann haufig auch in Englischer Sprache angepasster Schreibweise Grassmann sind antikommutierende Zahlen die im Rahmen des Pfadintegral Formalismus fur Fermionen in den Quantenfeldtheorien auftreten Ein Pionier ihrer Verwendung in der Quantenfeldtheorie war Felix Berezin Danach sind sie mathematisch der Teil ungerader Paritat einer Z 2 displaystyle mathbb Z 2 gradierten Algebra aus kommutierenden Paritat P 0 displaystyle P 0 und nicht kommutierenden Paritat P 1 displaystyle P 1 Elementen Superalgebra Fur die Multiplikation gilt darin fur je zwei Elemente A B displaystyle A B A B P A P B B A displaystyle A B P A cdot P B B A Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 1 1 Definitorische Eigenschaften 1 2 Folgerungen 2 Integration und Differentiation 3 Anwendung 4 Formale mathematische Definition 5 Literatur 6 WeblinksEigenschaften BearbeitenSeien z h 8 displaystyle zeta eta theta nbsp Grassmann Zahlen und a b c d C displaystyle a b c d in mathbb C nbsp komplexe Zahlen Dann gilt Definitorische Eigenschaften Bearbeiten Grassmann Zahlen sind antikommutativ bezuglich der Multiplikation h 8 8 h displaystyle eta theta theta eta nbsp Grassmann Zahlen sind kommutativ bezuglich der Addition h 8 8 h displaystyle eta theta theta eta nbsp Grassmann Zahlen sind kommutativ bezuglich der Multiplikation mit einer komplexen Zahl a h h a displaystyle a eta eta a nbsp Grassmann Zahlen sind assoziativ sowohl bezuglich Addition als auch der Multiplikation h 8 z h 8 z displaystyle eta theta zeta eta theta zeta nbsp h 8 z h 8 z displaystyle eta theta zeta eta theta zeta nbsp Es gelten alle Auspragungen des Distributivgesetzes a h 8 a h a 8 displaystyle a eta theta a eta a theta nbsp h 8 z h 8 h z displaystyle eta theta zeta eta theta eta zeta nbsp h a b a h b h displaystyle eta a b a eta b eta nbsp Folgerungen Bearbeiten Die Summe von zwei Grassmann Zahlen ist eine Grassmann Zahl z h 8 h 8 z displaystyle zeta eta theta eta theta zeta nbsp Das Produkt einer Grassmann Zahl mit einer komplexen Zahl ist eine Grassmann Zahl a h 8 8 a h displaystyle a eta theta theta a eta nbsp Das Produkt von zwei Grassmann Zahlen ist keine Grassmann Zahl z h 8 z 8 h 8 z h displaystyle zeta eta theta zeta theta eta theta zeta eta nbsp Insbesondere ist das Quadrat einer Grassmann Zahl Null 8 2 8 8 8 8 0 displaystyle theta 2 theta theta theta theta 0 nbsp Eine Funktion kann maximal erster Ordnung in einer Grassmann Variable sein f h 8 a b h c 8 d h 8 displaystyle f eta theta a b eta c theta d eta theta nbsp So ist beispielsweise mit der Reihendarstellung der Exponentialfunktion exp 8 1 8 displaystyle exp theta 1 theta nbsp Integration und Differentiation BearbeitenEs ist moglich Integral und Differentialrechnung in Bezug auf Grassmann Zahlen analog zu der in Bezug auf Funktionen komplexer Zahlen zu definieren Differentiation von Grassmann Zahlen geschieht von links Sei f h 8 a b h c 8 d h 8 displaystyle f eta theta a b eta c theta d eta theta nbsp Dann ist d f d h b d 8 displaystyle frac mathrm d f mathrm d eta b d theta nbsp d f d 8 c d h displaystyle frac mathrm d f mathrm d theta c d eta nbsp Die Integration soll wie gewohnlich ein lineares Funktional aus dem Funktionenraum in die komplexen Zahlen darstellen es soll also gelten f 8 d 8 C displaystyle int f theta mathrm d theta in mathbb C nbsp a f 8 b g 8 d 8 a f 8 d 8 b g 8 d 8 displaystyle int af theta bg theta mathrm d theta a int f theta mathrm d theta b int g theta mathrm d theta nbsp Es folgen daraus die Integrationsregeln fur Grassmann Zahlen 8 d 8 1 displaystyle int theta mathrm d theta 1 nbsp 1 d 8 0 displaystyle int 1 mathrm d theta 0 nbsp Anwendung BearbeitenGrassmann Variablen werden fur den Pfadintegral Formalismus fur Fermionen benotigt Dazu definiert man das erzeugende Funktional Z h h exp i d 4 x L ps ps h ps ps h displaystyle mathcal Z eta bar eta exp left mathrm i int mathrm d 4 x left mathcal L psi bar psi eta bar psi psi bar eta right right nbsp mit der Lagrangedichte fur Fermionen L displaystyle mathcal L nbsp den fermionischen Grassmann wertigen Feldern ps ps displaystyle psi bar psi nbsp und den Grassmann Zahlen h h displaystyle eta bar eta nbsp Dann gilt beispielsweise fur die 2 Punkt Korrelationsfunktion den fermionischen Propagator 0 T ps x ps y 0 D ps D ps ps x ps y Z D ps D ps Z h h 0 1 D ps D ps Z h h 0 i d d h x i d d h y D ps D ps Z h h 0 displaystyle langle 0 T psi x bar psi y 0 rangle frac int mathcal D psi mathcal D bar psi psi x bar psi y mathcal Z int mathcal D psi mathcal D bar psi mathcal Z Bigg eta bar eta 0 frac 1 int mathcal D psi mathcal D bar psi mathcal Z eta bar eta 0 left frac mathrm i delta delta bar eta x right left frac mathrm i delta delta eta y right int mathcal D psi mathcal D bar psi mathcal Z Bigg eta bar eta 0 nbsp Formale mathematische Definition BearbeitenSei V displaystyle V nbsp ein n displaystyle n nbsp dimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis 8 i i 1 n displaystyle theta i i 1 ldots n nbsp und L V C V V V V V V V V V n C L 1 V L 2 V L n V displaystyle Lambda V mathbb C oplus V oplus left V wedge V right oplus left V wedge V wedge V right oplus cdots oplus underbrace left V wedge V wedge cdots wedge V right n equiv mathbb C oplus Lambda 1 V oplus Lambda 2 V oplus cdots oplus Lambda n V nbsp die aussere Algebra Grassmann Algebra uber V displaystyle V nbsp wobei displaystyle wedge nbsp das aussere Produkt und displaystyle oplus nbsp die direkte Summe bezeichnet Die Grassmann Zahlen sind die Elemente dieser Algebra Das Symbol displaystyle wedge nbsp wird in der Notation fur Grassmann Zahlen meist weggelassen Grassmann Zahlen sind also von der Form z k 0 n i 1 i 2 i k c i 1 i 2 i k 8 i 1 8 i 2 8 i k displaystyle z sum k 0 n sum i 1 i 2 cdots i k c i 1 i 2 cdots i k theta i 1 theta i 2 cdots theta i k nbsp fur streng wachsende k displaystyle k nbsp Tupel i 1 i 2 i k displaystyle i 1 i 2 ldots i k nbsp mit 1 i j n 1 j k displaystyle 1 leq i j leq n 1 leq j leq k nbsp und komplexe antisymmetrische Tensoren c i 1 i 2 i k displaystyle c i 1 i 2 cdots i k nbsp vom Rang k displaystyle k nbsp Der Spezialfall n 1 displaystyle n 1 nbsp entspricht den 1873 von William Clifford eingefuhrten dualen Zahlen Fur unendlich dimensionale Vektorraume V displaystyle V nbsp bricht die Reihe L V C L 1 V L 2 V displaystyle Lambda infty V mathbb C oplus Lambda 1 V oplus Lambda 2 V oplus cdots nbsp nicht ab und die Grassmann Zahlen sind von der Form z k 0 i 1 i 2 i k 1 n c i 1 i 2 i k 8 i 1 8 i 2 8 i k z B z S z B k 1 i 1 i 2 i k 1 n c i 1 i 2 i k 8 i 1 8 i 2 8 i k displaystyle z sum k 0 infty sum i 1 i 2 cdots i k frac 1 n c i 1 i 2 cdots i k theta i 1 theta i 2 cdots theta i k equiv z B z S z B sum k 1 infty sum i 1 i 2 cdots i k frac 1 n c i 1 i 2 cdots i k theta i 1 theta i 2 cdots theta i k nbsp wobei dann z B displaystyle z B nbsp als Korper und z S displaystyle z S nbsp als Seele der Superzahl z displaystyle z nbsp bezeichnet wird Literatur BearbeitenMichael D Peskin und Daniel V Schroeder An Introduction to Quantum Field Theory Perseus Books Publishing 1995 ISBN 0 201 50397 2 Weblinks BearbeitenVarilly Grassmann Numbers in Quantum Mechanics Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Grassmann Zahl amp oldid 207226903
