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Friedmann Lemaître Robertson Walker Metrik Die kurz FLRW Metrik ist eine exakte Lösung der einsteinschen Feldgleichungen

Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik

Die Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik, kurz FLRW-Metrik, ist eine exakte Lösung der einsteinschen Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie und beschreibt eine homogene, isotrope (kosmologisches Prinzip) Expansion bzw. ein ebensolches Zusammenziehen des Universums. Sie ist unter unterschiedlichen Kombinationen der Namen der vier Wissenschaftler Alexander Friedmann, Georges Lemaître, Howard P. Robertson und Arthur Geoffrey Walker bekannt, z. B. Friedmann-Robertson-Walker (FRW) oder Robertson-Walker (RW).

Weil sie so einfach zu berechnen ist, wird die FLRW-Metrik als erste Näherung für das kosmologische Standard-Urknall-Modell des Universums verwendet. Da die FLRW Homogenität voraussetzt, wird oft fälschlicherweise behauptet, dass das Urknall-Modell nicht die Klumpigkeit des Universums erklären könne. Modelle, welche die Klumpigkeit des Universums errechnen werden, erweitern die FLRW. Im Jahr 2003 schienen die theoretischen Konsequenzen der verschiedenen Erweiterungen zur FLRW bereits gut verstanden. Das Ziel war es, diese mit den Beobachtungen der Projekte COBE und WMAP in Einklang zu bringen.

Formulierung Bearbeiten

Durch die Forderung nach Isotropie erhält man das Robertson-Walker-Linienelement

mit

Die Metrik kann auch bezogen auf die intrinsische Entfernung dargestellt werden als:

Wenn man die FLRW-Metrik sowie einen passenden Energie-Impuls-Tensor voraussetzt, reduzieren sich die einsteinschen Feldgleichungen auf die Friedmann-Gleichungen. Ihre Lösung ist der zeitliche Verlauf des Skalenfaktors der FLRW-Metrik.

Fast-FLRW-Modelle Bearbeiten

Alle Beobachtungen im Universum auf hinreichend großen Längenskalen (nämlich größer als die größten identifizierbaren Objekte im Universum, die Galaxienhaufen) lassen sich durch ein fast-FLRW-Modell gut erklären. Ein fast-FLRW-Modell folgt der FLRW-Metrik, wobei die Entwicklung der Materieverteilung aus primordialen Fluktuationen als kleine Störung berechnet werden kann. In einem exakten FLRW-Modell gibt es keine Galaxienhaufen, Sterne oder Menschen, da diese Objekte eine höhere Dichte aufweisen als der Durchschnitt des Universums. Trotzdem wird ein fast-FLRW-Model, der Kürze wegen, als FLRW-Modell (oder FRW-Modell) bezeichnet.

Literatur Bearbeiten

  • H. P. Robertson: Kinematics and world structure, Astrophysical Journal, Band 82, 1935, S. 284–301, Band 83, 1936, S. 187–201, S. 257–271
  • A. G. Walker: On Milne’s theory of world-structure, Proc. Lond. Math. Soc. (2), Band 42, 1937, S. 90–127
  • George F. R. Ellis, Henk van Elst: Cosmological Models (Cargèse lectures 1998). (englisch: arxiv.org)
  • Ray d'Inverno: Introducing Einstein's Relativity. Oxford University Press, Oxford 1992, ISBN 0-19-859686-3 (Kapitel 23 bietet eine kurze Einführung in die FLRW-Modelle).
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Veröffentlichungsdatum:
Die Friedmann Lemaitre Robertson Walker Metrik kurz FLRW Metrik ist eine exakte Losung der einsteinschen Feldgleichungen der allgemeinen Relativitatstheorie und beschreibt eine homogene isotrope kosmologisches Prinzip Expansion bzw ein ebensolches Zusammenziehen des Universums Sie ist unter unterschiedlichen Kombinationen der Namen der vier Wissenschaftler Alexander Friedmann Georges Lemaitre Howard P Robertson und Arthur Geoffrey Walker bekannt z B Friedmann Robertson Walker FRW oder Robertson Walker RW Weil sie so einfach zu berechnen ist wird die FLRW Metrik als erste Naherung fur das kosmologische Standard Urknall Modell des Universums verwendet Da die FLRW Homogenitat voraussetzt wird oft falschlicherweise behauptet dass das Urknall Modell nicht die Klumpigkeit des Universums erklaren konne Modelle welche die Klumpigkeit des Universums errechnen werden erweitern die FLRW Im Jahr 2003 schienen die theoretischen Konsequenzen der verschiedenen Erweiterungen zur FLRW bereits gut verstanden Das Ziel war es diese mit den Beobachtungen der Projekte COBE und WMAP in Einklang zu bringen Formulierung BearbeitenDurch die Forderung nach Isotropie erhalt man das Robertson Walker Linienelement d s 2 c 2 d t 2 a t 2 R C 2 d x 2 1 k x 2 x 2 d W 2 c 2 d t 2 a t 2 d r 2 1 k r 2 r 2 d W 2 displaystyle mathrm d s 2 c 2 mathrm d t 2 a t 2 R mathrm C 2 left frac mathrm d x 2 1 k x 2 x 2 mathrm d Omega 2 right c 2 mathrm d t 2 a t 2 left frac mathrm d r 2 1 k r 2 r 2 mathrm d Omega 2 right nbsp mit der Lichtgeschwindigkeit c displaystyle c nbsp dem Skalenfaktor a t displaystyle a t nbsp des Universums zur Zeit t displaystyle t nbsp dem Absolutwert R C displaystyle R mathrm C nbsp des heutigen Krummungsradius x r R C displaystyle x r R mathrm C nbsp dem Radius r U 2 p displaystyle r U 2 pi nbsp des Kleinkreises vom mitbewegten Beobachter dem Krummungsindex k 1 0 1 displaystyle k 1 0 1 nbsp d W 2 d 8 2 sin 2 8 d ϕ 2 displaystyle mathrm d Omega 2 mathrm d theta 2 sin 2 theta cdot mathrm d phi 2 nbsp Die Metrik kann auch bezogen auf die intrinsische Entfernung r displaystyle bar r nbsp dargestellt werden als d s 2 c 2 d t 2 a t 2 d r 2 r 2 d W 2 displaystyle mathrm d s 2 c 2 mathrm d t 2 a t 2 cdot mathrm d bar r 2 r 2 mathrm d Omega 2 nbsp r R C sin r R C fur k gt 0 bzw k 1 r fur k 0 R C sinh r R C fur k lt 0 bzw k 1 displaystyle r begin cases R mathrm C sin bar r R mathrm C amp text fur k gt 0 text bzw k 1 bar r amp text fur k 0 R mathrm C sinh bar r R mathrm C amp text fur k lt 0 text bzw k 1 end cases nbsp dd Wenn man die FLRW Metrik sowie einen passenden Energie Impuls Tensor voraussetzt reduzieren sich die einsteinschen Feldgleichungen auf die Friedmann Gleichungen Ihre Losung ist der zeitliche Verlauf a t displaystyle a t nbsp des Skalenfaktors der FLRW Metrik Fast FLRW Modelle BearbeitenAlle Beobachtungen im Universum auf hinreichend grossen Langenskalen namlich grosser als die grossten identifizierbaren Objekte im Universum die Galaxienhaufen lassen sich durch ein fast FLRW Modell gut erklaren Ein fast FLRW Modell folgt der FLRW Metrik wobei die Entwicklung der Materieverteilung aus primordialen Fluktuationen als kleine Storung berechnet werden kann In einem exakten FLRW Modell gibt es keine Galaxienhaufen Sterne oder Menschen da diese Objekte eine hohere Dichte aufweisen als der Durchschnitt des Universums Trotzdem wird ein fast FLRW Model der Kurze wegen als FLRW Modell oder FRW Modell bezeichnet Literatur BearbeitenH P Robertson Kinematics and world structure Astrophysical Journal Band 82 1935 S 284 301 Band 83 1936 S 187 201 S 257 271 A G Walker On Milne s theory of world structure Proc Lond Math Soc 2 Band 42 1937 S 90 127 George F R Ellis Henk van Elst Cosmological Models Cargese lectures 1998 englisch arxiv org Ray d Inverno Introducing Einstein s Relativity Oxford University Press Oxford 1992 ISBN 0 19 859686 3 Kapitel 23 bietet eine kurze Einfuhrung in die FLRW Modelle Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Friedmann Lemaitre Robertson Walker Metrik amp oldid 236627973