Fricke Raum Der nach Robert Fricke bezeichnet in der Mathematik einen Modulraum dessen Objekte markierte hyperbolische M

Fricke-Raum

Der Fricke-Raum (nach Robert Fricke) bezeichnet in der Mathematik einen Modulraum, dessen Objekte markierte hyperbolische Metriken auf einer geschlossenen Fläche sind. Bei diesen Objekten handelt es sich um Riemannsche Metriken der Krümmung konstant . Äquivalent ist er ein Modulraum der diskreten, treuen Darstellungen von der Fundamentalgruppe der Fläche in die Isometriegruppe der hyperbolischen Ebene.

Der vergleichbare Teichmüller-Raum behandelt eigentlich den Modulraum Riemannscher Flächen, der Fricke-Raum steht für den Modulraum hyperbolischer Metriken. Der große Riemannsche Abbildungssatz (Uniformisierungssatz) zeigt, dass es in jeder Äquivalenzklasse Riemannscher Flächen vom Geschlecht eine eindeutige hyperbolische Metrik gibt. Der Teichmüller-Raum entspricht also 1:1 dem Fricke-Raum.

Fläche vom Geschlecht 2

Koordinaten Bearbeiten

Der Fricke-Raum einer Fläche vom Geschlecht ist -dimensional und homöomorph zur offenen Einheitskugel im .

Eine mögliche Parametrisierung durch reelle Parameter liefern die Fenchel-Nielsen-Koordinaten. Andere Koordinatisierungen ergeben sich aus der Identifizierung mit dem Teichmüller-Raum.

In moderneren Zugängen identifiziert man den Fricke-Raum häufig mit einer Komponente der Charaktervarietät , nämlich der Komponente, die die Charaktere aller diskreten, treuen Darstellungen enthält. (Jeder hyperbolischen Metrik entspricht jeweils ihre Monodromie-Darstellung.) Als Fricke-Koordinaten bezeichnet man dann die folgenden bereits auf Fricke zurückgehenden Koordinaten.

Fricke-Koordinaten. Sei die kanonische Präsentierung der Flächengruppe und eine diskrete, treue Darstellung. Dann sind für

Äquivalenzklassen von Matrizen, wobei wir o. B. d. A. annehmen können. Die Parameter des Fricke-Raumes sind dann

Der Uniformisierungssatz identifiziert den Teichmüller-Raum mit dem Fricke-Raum und insbesondere liefern die Fricke-Koordinaten auch Koordinaten auf dem Teichmüller-Raum. Allerdings erhält man auf diese Weise nicht die komplexe Struktur auf dem Teichmüller-Raum, die erst von Teichmüller explizit koordinatisiert wurde.

Flächen mit Rand Bearbeiten

Eine Hose wird von 3 geschlossenen Kurven berandet.

Für Flächen mit Rand definiert man den Fricke-Raum als Modulraum der markierten hyperbolischen Metriken mit geodätischem Rand modulo randerhaltender Isotopien.

Beispiele Bearbeiten

Hose Bearbeiten

Der Fricke-Raum der Hose wird parametrisiert durch die Spuren der drei Randkurven für die nach gehobene Monodromiedarstellung . (Diese seien so orientiert, dass .) Mit diesen Koordinaten ist der Quotient von

(wobei die 4 Zusammenhangskomponenten durch die unterschiedlichen Hebungen der Monodromiedarstellung von nach zustande kommen) unter der Wirkung von , er kann also mit identifiziert werden.

Punktierter Torus Bearbeiten

Der Fricke-Raum des punktierten Torus wird parametrisiert durch die Spuren , wobei die Longitude und den Meridian des Torus bezeichnet. Mit diesen Koordinaten ist der Quotient von

unter der Wirkung von , er kann also mit identifiziert werden.

Literatur Bearbeiten

Fricke-Klein: Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen. Band I: Die gruppentheoretischen Grundlagen. Teubner, Leipzig 1897; Band II: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1912.
Imayoshi-Taniguchi: An introduction to Teichmüller spaces. Translated and revised from the Japanese by the authors. Springer-Verlag, Tokyo 1992, ISBN 4-431-70088-9, Kapitel 2.5
Goldman: Trace coordinates on Fricke spaces of some simple hyperbolic surfaces. In: Handbook of Teichmüller theory. Vol. II, S. 611–684. In: IRMA Lect. Math. Theor. Phys., 13, Eur. Math. Soc., Zürich 2009, arxiv:0901.1404v1.

Einzelnachweise Bearbeiten

Kapitel 4.3 in Goldman, op.cit.
Kapitel 4.4 in Goldman, op.cit.

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Veröffentlichungsdatum: November 25, 2023, 23:42 pm

Der Fricke Raum nach Robert Fricke bezeichnet in der Mathematik einen Modulraum dessen Objekte markierte hyperbolische Metriken auf einer geschlossenen Flache sind Bei diesen Objekten handelt es sich um Riemannsche Metriken der Krummung konstant 1 displaystyle 1 Aquivalent ist er ein Modulraum der diskreten treuen Darstellungen von der Fundamentalgruppe der Flache in die Isometriegruppe der hyperbolischen Ebene Der vergleichbare Teichmuller Raum behandelt eigentlich den Modulraum Riemannscher Flachen der Fricke Raum steht fur den Modulraum hyperbolischer Metriken Der grosse Riemannsche Abbildungssatz Uniformisierungssatz zeigt dass es in jeder Aquivalenzklasse Riemannscher Flachen vom Geschlecht 2 displaystyle geq 2 eine eindeutige hyperbolische Metrik gibt Der Teichmuller Raum entspricht also 1 1 dem Fricke Raum Flache vom Geschlecht 2Inhaltsverzeichnis 1 Koordinaten 2 Flachen mit Rand 2 1 Beispiele 2 1 1 Hose 2 1 2 Punktierter Torus 3 Literatur 4 EinzelnachweiseKoordinaten BearbeitenDer Fricke Raum F S g displaystyle mathcal F S g nbsp einer Flache S g displaystyle S g nbsp vom Geschlecht g 2 displaystyle g geq 2 nbsp ist 6 g 6 displaystyle 6g 6 nbsp dimensional und homoomorph zur offenen Einheitskugel im R 6 g 6 displaystyle mathbb R 6g 6 nbsp Eine mogliche Parametrisierung durch 6 g 6 displaystyle 6g 6 nbsp reelle Parameter liefern die Fenchel Nielsen Koordinaten Andere Koordinatisierungen ergeben sich aus der Identifizierung mit dem Teichmuller Raum In moderneren Zugangen identifiziert man den Fricke Raum haufig mit einer Komponente der Charaktervarietat X p 1 S g P S L 2 R displaystyle X pi 1 S g PSL 2 mathbb R nbsp namlich der Komponente die die Charaktere aller diskreten treuen Darstellungen enthalt Jeder hyperbolischen Metrik entspricht jeweils ihre Monodromie Darstellung Als Fricke Koordinaten bezeichnet man dann die folgenden bereits auf Fricke zuruckgehenden Koordinaten Fricke Koordinaten Sei p 1 S g a 1 b 1 a g b g P i 1 g a i b i displaystyle pi 1 S g langle alpha 1 beta 1 ldots alpha g beta g mid Pi i 1 g left alpha i beta i right rangle nbsp die kanonische Prasentierung der Flachengruppe und r p 1 S g P S L 2 R displaystyle rho colon pi 1 S g to PSL 2 mathbb R nbsp eine diskrete treue Darstellung Dann sind fur i 1 g displaystyle i 1 ldots g nbsp r a i a i b i c i d i r b i a i b i c i d i displaystyle rho alpha i left begin array cc a i amp b i c i amp d i end array right rho beta i left begin array cc a i prime amp b i prime c i prime amp d i prime end array right nbsp Aquivalenzklassen von Matrizen wobei wir o B d A c i gt 0 c i gt 0 displaystyle c i gt 0 c i prime gt 0 nbsp annehmen konnen Die 6 g 6 displaystyle 6g 6 nbsp Parameter des Fricke Raumes sind dann a 1 c 1 d 1 a 1 c 1 d 1 a g 1 c g 1 d g 1 a g 1 c g 1 d g 1 displaystyle a 1 c 1 d 1 a 1 prime c 1 prime d 1 prime ldots a g 1 c g 1 d g 1 a g 1 prime c g 1 prime d g 1 prime nbsp Der Uniformisierungssatz identifiziert den Teichmuller Raum mit dem Fricke Raum und insbesondere liefern die Fricke Koordinaten auch Koordinaten auf dem Teichmuller Raum Allerdings erhalt man auf diese Weise nicht die komplexe Struktur auf dem Teichmuller Raum die erst von Teichmuller explizit koordinatisiert wurde Flachen mit Rand Bearbeiten nbsp Eine Hose wird von 3 geschlossenen Kurven berandet Fur Flachen mit Rand definiert man den Fricke Raum als Modulraum der markierten hyperbolischen Metriken mit geodatischem Rand modulo randerhaltender Isotopien Beispiele Bearbeiten Hose Bearbeiten Der Fricke Raum der Hose H S 0 3 displaystyle H S 0 3 nbsp wird parametrisiert durch die Spuren x T r r A y T r r B z T r r C displaystyle x Tr rho A y Tr rho B z Tr rho C nbsp der drei Randkurven A B C displaystyle A B C nbsp fur die nach S L 2 R displaystyle SL 2 mathbb R nbsp gehobene Monodromiedarstellung r p 1 H P S L 2 R displaystyle rho colon pi 1 H to PSL 2 mathbb R nbsp Diese seien so orientiert dass A B C 1 p 1 H displaystyle ABC 1 in pi 1 H nbsp Mit diesen Koordinaten ist F S 0 3 displaystyle mathcal F S 0 3 nbsp der Quotient von 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R 3 displaystyle infty 2 3 bigcup infty 2 times 2 infty 2 bigcup 2 infty times infty 2 times 2 infty bigcup 2 infty 2 times infty 2 subset mathbb R 3 nbsp wobei die 4 Zusammenhangskomponenten durch die unterschiedlichen Hebungen der Monodromiedarstellung von P S L 2 R displaystyle PSL 2 mathbb R nbsp nach S L 2 R displaystyle SL 2 mathbb R nbsp zustande kommen unter der Wirkung von H o m p 1 H 1 displaystyle Hom pi 1 H pm 1 nbsp er kann also mit 2 3 displaystyle infty 2 3 nbsp identifiziert werden 1 Punktierter Torus Bearbeiten Der Fricke Raum des punktierten Torus T S 1 1 displaystyle T S 1 1 nbsp wird parametrisiert durch die Spuren x T r r L y T r r M z T r r L M displaystyle x Tr rho L y Tr rho M z Tr rho LM nbsp wobei L displaystyle L nbsp die Longitude und M displaystyle M nbsp den Meridian des Torus bezeichnet Mit diesen Koordinaten ist F S 1 1 displaystyle mathcal F S 1 1 nbsp der Quotient von x y z R 3 x 2 y 2 z 2 x y z 0 R 3 displaystyle left x y z in mathbb R 3 colon x 2 y 2 z 2 xyz leq 0 right subset mathbb R 3 nbsp unter der Wirkung von H o m p 1 T 1 displaystyle Hom pi 1 T pm 1 nbsp er kann also mit x y z 2 3 x 2 y 2 z 2 x y z 0 displaystyle left x y z in 2 infty 3 colon x 2 y 2 z 2 xyz leq 0 right nbsp identifiziert werden 2 Literatur BearbeitenFricke Klein Vorlesungen uber die Theorie der automorphen Funktionen Band I Die gruppentheoretischen Grundlagen Teubner Leipzig 1897 Band II Die funktionentheoretischen Ausfuhrungen und die Anwendungen 1912 Imayoshi Taniguchi An introduction to Teichmuller spaces Translated and revised from the Japanese by the authors Springer Verlag Tokyo 1992 ISBN 4 431 70088 9 Kapitel 2 5 Goldman Trace coordinates on Fricke spaces of some simple hyperbolic surfaces In Handbook of Teichmuller theory Vol II S 611 684 In IRMA Lect Math Theor Phys 13 Eur Math Soc Zurich 2009 arxiv 0901 1404v1 Einzelnachweise Bearbeiten Kapitel 4 3 in Goldman op cit Kapitel 4 4 in Goldman op cit Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fricke Raum amp oldid 235419347