Flächengruppe In der Gruppentheorie einem Teilgebiet der Mathematik werden die Fundamentalgruppen geschlossener orientie

Flächengruppe

In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, werden die Fundamentalgruppen geschlossener, orientierbarer Flächen als Flächengruppen (engl.: surface groups) bezeichnet.

Definition Bearbeiten

Sei eine natürliche Zahl und die geschlossene, orientierbare Fläche vom Geschlecht .

Die Fundamentalgruppen werden als Flächengruppen bezeichnet.

Präsentierung Bearbeiten

Die Flächengruppe hat die Präsentierung

Zum Beispiel ist .

Hyperbolizität Bearbeiten

Mit Ausnahme von sind alle Flächengruppen hyperbolisch. Max Dehn benutzte hyperbolische Geometrie, um das Wortproblem für Flächengruppen zu lösen. Diese Arbeit gilt als Vorläufer für die in den 1980er Jahren von Gromow entwickelte Theorie der hyperbolische Gruppen.

Flächengruppen sind – wie alle hyperbolischen Gruppen – automatische Gruppen, ihr Wortproblem lässt sich also in quadratischer Zeit lösen.

Darstellungen (Höhere Teichmüllertheorie) Bearbeiten

Die Theorie der Darstellungen von Flächengruppen in Lie-Gruppen wird als Höhere Teichmüller-Theorie bezeichnet. Klassische Teichmüller-Theorie ist der Spezialfall , in diesem Fall vermittelt die Holonomie eine Bijektion zwischen dem Teichmüller-Raum und einer Zusammenhangskomponente von .

Zusammenhangskomponenten der Darstellungsvarietät Bearbeiten

Im Folgenden bezeichnet die Darstellungsvarietät, deren Zusammenhangskomponenten – für zusammenhängende Lie-Gruppen – den Zusammenhangskomponenten von entsprechen.

Für kompakte, zusammenhängende Gruppen entsprechen die Zusammenhangskomponenten der Darstellungsvarietät den Elementen von .
Für werden die Zusammenhangskomponenten der Darstellungsvarietät durch die Werte der Euler-Klasse klassifiziert. Weil nach der Milnor-Wood-Ungleichung die Euler-Klasse genau die ganzzahligen Werte im Intervall annehmen kann, hat die Darstellungsvarietät Zusammenhangskomponenten. Eine Darstellung ist treu mit diskretem Bild genau dann, wenn .
Für hat die Darstellungsvarietät Zusammenhangskomponenten.
Für oder werden die Zusammenhangskomponenten von durch die Werte der zweiten Stiefel-Whitney-Klasse klassifiziert, die Darstellungsvarietät hat zwei Zusammenhangskomponenten.
Für oder ist die Darstellungsvarietät zusammenhängend.
Für mit hat die Darstellungsvarietät 3 Komponenten, falls ungerade ist, und 6 Komponenten, falls gerade ist. Der Beweis benutzt die Theorie der Higgs-Bündel.

Literatur Bearbeiten

Heiner Zieschang, Elmar Vogt, Hans-Dieter Coldewey: Flächen und ebene diskontinuierliche Gruppen (= Lecture Notes in Mathematics. Bd. 122). Springer, Berlin u. a. 1970.

Einzelnachweise Bearbeiten

Fridtjof Toenniessen: Topologie: Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie. Springer Spektrum, 2017, ISBN 978-3-662-54963-6, S. 61.
Max Dehn: Über unendliche diskontinuierliche Gruppen. In: Mathematische Annalen. Bd. 71, 1912, S. 116–144.
Michael F. Atiyah, Raoul Bott: The Yang-Mills equations over Riemann surfaces. In: Philosophical Transactions of the Royal Society. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. Bd. 305, Nr. 1505, 1983, S. 523–615, doi:10.1098/rsta.1983.0017.
William Mark Goldman : Discontinuous groups and the Euler class. University of California, Berkeley CA 1980 (Thesis (Ph. D. in Mathematics)).
Nigel J. Hitchin: Lie Groups and Teichmüller space. In: Topology. Bd. 31, Nr. 3, 1992, 449–473, doi:10.1016/0040-9383(92)90044-I.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 01, 2023, 17:39 pm

In der Gruppentheorie einem Teilgebiet der Mathematik werden die Fundamentalgruppen geschlossener orientierbarer Flachen als Flachengruppen engl surface groups bezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Prasentierung 3 Hyperbolizitat 4 Darstellungen Hohere Teichmullertheorie 4 1 Zusammenhangskomponenten der Darstellungsvarietat 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei g 1 displaystyle g geq 1 nbsp eine naturliche Zahl und S g displaystyle S g nbsp die geschlossene orientierbare Flache vom Geschlecht g displaystyle g nbsp nbsp g 1 displaystyle g 1 nbsp Torus nbsp g 2 displaystyle g 2 nbsp Doppeltorus nbsp g 3 displaystyle g 3 nbsp Brezelflache 1 Die Fundamentalgruppen p 1 S g displaystyle pi 1 S g nbsp werden als Flachengruppen bezeichnet Prasentierung BearbeitenDie Flachengruppe p 1 S g displaystyle pi 1 S g nbsp hat die Prasentierung p 1 S g a 1 b 1 a g b g P i 1 g a i b i 1 displaystyle pi 1 S g langle a 1 b 1 ldots a g b g mid Pi i 1 g left a i b i right 1 rangle nbsp Zum Beispiel ist p 1 S 1 Z 2 displaystyle pi 1 S 1 mathbb Z 2 nbsp Hyperbolizitat BearbeitenMit Ausnahme von p 1 S 1 Z 2 displaystyle pi 1 S 1 mathbb Z 2 nbsp sind alle Flachengruppen hyperbolisch Max Dehn benutzte hyperbolische Geometrie um das Wortproblem fur Flachengruppen zu losen 2 Diese Arbeit gilt als Vorlaufer fur die in den 1980er Jahren von Gromow entwickelte Theorie der hyperbolische Gruppen Flachengruppen sind wie alle hyperbolischen Gruppen automatische Gruppen ihr Wortproblem lasst sich also in quadratischer Zeit losen Darstellungen Hohere Teichmullertheorie BearbeitenDie Theorie der Darstellungen von Flachengruppen p 1 S g displaystyle pi 1 S g nbsp in Lie Gruppen G displaystyle G nbsp wird als Hohere Teichmuller Theorie bezeichnet Klassische Teichmuller Theorie ist der Spezialfall G P S L 2 R displaystyle G PSL 2 mathbb R nbsp in diesem Fall vermittelt die Holonomie eine Bijektion zwischen dem Teichmuller Raum und einer Zusammenhangskomponente von R e p p 1 S g G H o m p 1 S g P S L 2 R c o n j displaystyle Rep pi 1 S g G Hom pi 1 S g PSL 2 mathbb R conj nbsp Zusammenhangskomponenten der Darstellungsvarietat Bearbeiten Im Folgenden bezeichnet H o m p 1 S g G displaystyle Hom pi 1 S g G nbsp die Darstellungsvarietat deren Zusammenhangskomponenten fur zusammenhangende Lie Gruppen G displaystyle G nbsp den Zusammenhangskomponenten von R e p p 1 S g displaystyle Rep pi 1 S g nbsp entsprechen Fur kompakte zusammenhangende Gruppen G displaystyle G nbsp entsprechen die Zusammenhangskomponenten der Darstellungsvarietat den Elementen von p 1 G displaystyle pi 1 G nbsp 3 Fur G P S L 2 R displaystyle G PSL 2 mathbb R nbsp werden die Zusammenhangskomponenten der Darstellungsvarietat durch die Werte der Euler Klasse e displaystyle e nbsp klassifiziert Weil nach der Milnor Wood Ungleichung die Euler Klasse genau die ganzzahligen Werte im Intervall x S g x S g displaystyle left chi S g chi S g right nbsp annehmen kann hat die Darstellungsvarietat 4 g 3 displaystyle 4g 3 nbsp Zusammenhangskomponenten Eine Darstellung ist treu mit diskretem Bild genau dann wenn e x S g displaystyle mid e mid chi S g nbsp 4 Fur G S L 2 R displaystyle G SL 2 mathbb R nbsp hat die Darstellungsvarietat 2 2 g 1 2 g 3 displaystyle 2 2g 1 2g 3 nbsp Zusammenhangskomponenten Fur G P S L 2 C displaystyle G PSL 2 mathbb C nbsp oder G S O 3 displaystyle G SO 3 nbsp werden die Zusammenhangskomponenten von R e p p 1 S g G displaystyle Rep pi 1 S g G nbsp durch die Werte der zweiten Stiefel Whitney Klasse w 2 displaystyle w 2 nbsp klassifiziert die Darstellungsvarietat hat zwei Zusammenhangskomponenten Fur G S L 2 C displaystyle G SL 2 mathbb C nbsp oder G S U 2 displaystyle G SU 2 nbsp ist die Darstellungsvarietat zusammenhangend Fur G P S L n R displaystyle G PSL n mathbb R nbsp mit n 3 displaystyle n geq 3 nbsp hat die Darstellungsvarietat 3 Komponenten falls n displaystyle n nbsp ungerade ist und 6 Komponenten falls n displaystyle n nbsp gerade ist Der Beweis benutzt die Theorie der Higgs Bundel 5 Literatur BearbeitenHeiner Zieschang Elmar Vogt Hans Dieter Coldewey Flachen und ebene diskontinuierliche Gruppen Lecture Notes in Mathematics Bd 122 Springer Berlin u a 1970 Einzelnachweise Bearbeiten Fridtjof Toenniessen Topologie Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie Springer Spektrum 2017 ISBN 978 3 662 54963 6 S 61 Max Dehn Uber unendliche diskontinuierliche Gruppen In Mathematische Annalen Bd 71 1912 S 116 144 Michael F Atiyah Raoul Bott The Yang Mills equations over Riemann surfaces In Philosophical Transactions of the Royal Society Series A Mathematical Physical and Engineering Sciences Bd 305 Nr 1505 1983 S 523 615 doi 10 1098 rsta 1983 0017 William Mark Goldman Discontinuous groups and the Euler class University of California Berkeley CA 1980 Thesis Ph D in Mathematics Nigel J Hitchin Lie Groups and Teichmuller space In Topology Bd 31 Nr 3 1992 449 473 doi 10 1016 0040 9383 92 90044 I Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Flachengruppe amp oldid 227471500