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Higgs Bündel In der Mathematik sind ein Hilfsmittel in der Darstellungstheorie von Flächengruppen und Fundamentalgruppen

Higgs-Bündel

In der Mathematik sind Higgs-Bündel ein Hilfsmittel in der Darstellungstheorie von Flächengruppen und Fundamentalgruppen komplexer Mannigfaltigkeiten. Sie wurden von Nigel Hitchin eingeführt und wegen der Analogie zu Higgs-Bosonen nach Peter Higgs benannt.

Definition Bearbeiten

Ein Higgs-Bündel ist ein Paar bestehend aus einem holomorphen Vektorbündel über einer Riemannschen Fläche und einem Higgs-Feld, d. h. einer -wertigen holomorphen 1-Form .

Stabilität, Polystabilität Bearbeiten

Ein Higgs-Bündel heißt stabil, wenn für alle -invarianten holomorphen Unterbündel die Ungleichung

gilt. Hierbei bezeichnet den Grad eines Vektorbündels und seinen Rang, also die Dimension seiner Fasern. (Man beachte, dass die Ungleichung nur für -invariante Unterbündel gelten soll, ein stabiles Higgs-Bündel also nicht notwendig ein stabiles Vektorbündel sein muss.)

Ein Higgs-Bündel heißt polystabil, wenn es eine direkte Summe

stabiler Higgs-Bündel mit

für ist.

Darstellungstheorie Bearbeiten

Aufbauend auf Resultaten von Corlette und Donaldson bewiesen Hitchin und Simpson die folgenden Äquivalenzen für Riemannsche Flächen :

Höherdimensionale Verallgemeinerung Bearbeiten

Über höherdimensionalen komplexen Mannigfaltigkeiten definiert man ein Higgs-Bündel als ein Paar aus einem holomorphen Vektorbündel über und einer -wertigen holomorphen 1-Form , die die Gleichung erfüllt.

(Im Falle Riemannscher Flächen ist diese Gleichung trivialerweise erfüllt.)

Prinzipalbündel Bearbeiten

Sei eine kompakte Riemannsche Fläche mit kanonischem Linienbündel , und sei eine reelle reduktive Lie-Gruppe mit einer maximal kompakten Untergruppe . Sei die Komplexifizierung und die Komplexifizierung einer Cartan-Zerlegung. Die von der adjungierten Darstellung induzierte Isotropie-Darstellung ist holomorph und hängt nicht von der gewählten Cartan-Zerlegung ab.

Ein -Higgs-Bündel ist ein holomorphes -Prinzipalbündel mit einem holomorphen Schnitt des Vektorbündels .

Der Schnitt wird als Higgs-Feld bezeichnet.

Zwei Higgs-Bündel und heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von Prinzipalbündeln gibt, so dass der induzierte Isomorphismus den Schnitt auf abbildet.

Ein Higgs-Bündel heißt stabil, wenn für jedes -invariante echte Unterbündel gilt:

Literatur Bearbeiten

  • Corlette, Kevin: Flat G-bundles with canonical metrics. J. Differential Geom. 28 (1988), no. 3, 361–382.
  • Donaldson, Simon: Twisted harmonic maps and the self-duality equations. Proc. London Math. Soc. (3) 55 (1987), no. 1, 127–131.
  • Hitchin, Nigel: The self-duality equations on a Riemann surface. Proc. London Math. Soc. (3) 55 (1987), no. 1, 59–126.
  • Simpson, Carlos: Constructing variations of Hodge structure using Yang-Mills theory and applications to uniformization. J. Amer. Math. Soc. 1 (1988), no. 4, 867–918.

Weblinks Bearbeiten

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In der Mathematik sind Higgs Bundel ein Hilfsmittel in der Darstellungstheorie von Flachengruppen und Fundamentalgruppen komplexer Mannigfaltigkeiten Sie wurden von Nigel Hitchin eingefuhrt und wegen der Analogie zu Higgs Bosonen nach Peter Higgs benannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Stabilitat Polystabilitat 3 Darstellungstheorie 4 Hoherdimensionale Verallgemeinerung 5 Prinzipalbundel 6 Literatur 7 WeblinksDefinition BearbeitenEin Higgs Bundel ist ein Paar V ϕ displaystyle V phi nbsp bestehend aus einem holomorphen Vektorbundel V displaystyle V nbsp uber einer Riemannschen Flache S displaystyle Sigma nbsp und einem Higgs Feld d h einer End V displaystyle operatorname End V nbsp wertigen holomorphen 1 Form ϕ displaystyle phi nbsp Stabilitat Polystabilitat BearbeitenEin Higgs Bundel V ϕ displaystyle V phi nbsp heisst stabil wenn fur alle ϕ displaystyle phi nbsp invarianten holomorphen Unterbundel W V displaystyle W subset V nbsp die Ungleichung deg W rank W lt deg V rank V displaystyle frac deg W operatorname rank W lt frac deg V operatorname rank V nbsp gilt Hierbei bezeichnet deg displaystyle operatorname deg nbsp den Grad eines Vektorbundels und rank displaystyle operatorname rank nbsp seinen Rang also die Dimension seiner Fasern Man beachte dass die Ungleichung nur fur ϕ displaystyle phi nbsp invariante Unterbundel gelten soll ein stabiles Higgs Bundel also nicht notwendig ein stabiles Vektorbundel sein muss Ein Higgs Bundel V ϕ displaystyle V phi nbsp heisst polystabil wenn es eine direkte Summe V ϕ i 1 l V i ϕ i displaystyle V phi bigoplus i 1 l V i phi i nbsp stabiler Higgs Bundel mit deg V i rank V i deg V rank V displaystyle frac deg V i operatorname rank V i frac deg V operatorname rank V nbsp fur i 1 l displaystyle i 1 ldots l nbsp ist Darstellungstheorie BearbeitenAufbauend auf Resultaten von Corlette und Donaldson bewiesen Hitchin und Simpson die folgenden Aquivalenzen fur Riemannsche Flachen S displaystyle Sigma nbsp Stabile Higgs Bundel V F uber S Irreduzible Darstellungen r p 1 S G L n C displaystyle left begin array c mbox Stabile mbox Higgs Bundel V Phi mbox uber Sigma end array right left begin array c mbox Irreduzible mbox Darstellungen rho colon pi 1 Sigma to GL n mathbb C end array right nbsp Polystabile Higgs Bundel V F uber S Reduktive Darstellungen r p 1 S G L n C displaystyle left begin array c mbox Polystabile mbox Higgs Bundel V Phi mbox uber Sigma end array right left begin array c mbox Reduktive mbox Darstellungen rho colon pi 1 Sigma to GL n mathbb C end array right nbsp Hoherdimensionale Verallgemeinerung BearbeitenUber hoherdimensionalen komplexen Mannigfaltigkeiten X displaystyle X nbsp definiert man ein Higgs Bundel als ein Paar V ϕ displaystyle V phi nbsp aus einem holomorphen Vektorbundel V displaystyle V nbsp uber X displaystyle X nbsp und einer End V displaystyle operatorname End V nbsp wertigen holomorphen 1 Form ϕ displaystyle phi nbsp die die Gleichung ϕ ϕ 0 displaystyle phi wedge phi 0 nbsp erfullt Im Falle Riemannscher Flachen ist diese Gleichung trivialerweise erfullt Prinzipalbundel BearbeitenSei X displaystyle X nbsp eine kompakte Riemannsche Flache mit kanonischem Linienbundel K T X displaystyle K simeq T X nbsp und sei G displaystyle G nbsp eine reelle reduktive Lie Gruppe mit einer maximal kompakten Untergruppe H G displaystyle H subset G nbsp Sei H C displaystyle H mathbb C nbsp die Komplexifizierung und g C h C m C displaystyle mathfrak g mathbb C mathfrak h mathbb C oplus mathfrak m mathbb C nbsp die Komplexifizierung einer Cartan Zerlegung Die von der adjungierten Darstellung induzierte Isotropie Darstellung s H C G L m C displaystyle sigma colon H mathbb C to GL mathfrak m mathbb C nbsp ist holomorph und hangt nicht von der gewahlten Cartan Zerlegung ab Ein G displaystyle G nbsp Higgs Bundel E ϕ displaystyle E phi nbsp ist ein holomorphes H C displaystyle H mathbb C nbsp Prinzipalbundel E X displaystyle E to X nbsp mit einem holomorphen Schnitt ϕ displaystyle phi nbsp des Vektorbundels E s m C K X displaystyle E times sigma mathfrak m mathbb C otimes K to X nbsp Der Schnitt ϕ displaystyle phi nbsp wird als Higgs Feld bezeichnet Zwei Higgs Bundel E ϕ displaystyle E phi nbsp und E ϕ displaystyle E prime phi prime nbsp heissen isomorph wenn es einen Isomorphismus von Prinzipalbundeln E E displaystyle E simeq E prime nbsp gibt so dass der induzierte Isomorphismus E s m C K E s m C K displaystyle E times sigma mathfrak m mathbb C otimes K simeq E prime times sigma mathfrak m mathbb C otimes K nbsp den Schnitt ϕ displaystyle phi nbsp auf ϕ displaystyle phi prime nbsp abbildet Ein Higgs Bundel heisst stabil wenn fur jedes ϕ displaystyle phi nbsp invariante echte Unterbundel F E displaystyle F subset E nbsp gilt d e g F r a n k F lt d e g E r a n k E displaystyle frac deg F rank F lt frac deg E rank E nbsp Literatur BearbeitenCorlette Kevin Flat G bundles with canonical metrics J Differential Geom 28 1988 no 3 361 382 Donaldson Simon Twisted harmonic maps and the self duality equations Proc London Math Soc 3 55 1987 no 1 127 131 Hitchin Nigel The self duality equations on a Riemann surface Proc London Math Soc 3 55 1987 no 1 59 126 Simpson Carlos Constructing variations of Hodge structure using Yang Mills theory and applications to uniformization J Amer Math Soc 1 1988 no 4 867 918 Weblinks BearbeitenJoseph Le Potier Fibres de Higgs et systemes locaux Seminaire Bourbaki Steven B Bradlow Oscar Garcia Prada Peter B Gothen WHAT IS a Higgs bundle Notices of the AMS Richard A Wentworth Higgs bundles and local systems Peter B Gothen Surface group representations and Higgs bundles William M Goldman Higgs bundles and geometric structures on surfaces Jan Swoboda Higgsbundel und Darstellungsvarietaten Jahrbuch der Max Planck Gesellschaft Oliver Guichard An introduction to the differential geometry of flat bundles and of Higgs bundles Laura Schaposnik Higgs bundles recent applications Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Higgs Bundel amp oldid 236919567