In der Mathematik ist die nach Erik Ivar Fredholm benannte Fredholmsche Alternative ein Resultat der Fredholmtheorie Sie kann auf verschiedene Arten ausgedruckt werden als Theorem der linearen Algebra als ein Theorem uber Integralgleichungen oder als ein Theorem uber Fredholm Operatoren Insbesondere besagt es dass eine komplexe Zahl ungleich 0 im Spektrum eines kompakten Operators ein Eigenwert ist Inhaltsverzeichnis 1 Version der linearen Algebra 2 Fredholmsche Integralgleichungen 3 Fredholmsche Alternative 3 1 Aussage 3 2 Im Zusammenhang mit den Integralgleichungen 4 LiteraturVersion der linearen Algebra BearbeitenIn einem n displaystyle n nbsp dimensionalen Vektorraum V displaystyle V nbsp gilt fur eine lineare Abbildung A V V displaystyle A colon V to V nbsp genau eine der folgenden Aussagen Zu jedem Vektor v displaystyle v nbsp in V displaystyle V nbsp gibt es einen Vektor u displaystyle u nbsp in V displaystyle V nbsp so dass A u v displaystyle Au v nbsp Mit anderen Worten A displaystyle A nbsp ist surjektiv Es gibt ein u 0 displaystyle u neq 0 nbsp in V displaystyle V nbsp mit A u 0 displaystyle Au 0 nbsp das heisst A displaystyle A nbsp ist nicht injektiv Fredholmsche Integralgleichungen BearbeitenSei K x y displaystyle K x y nbsp ein Integralkern Betrachte die homogene Fredholmsche Integralgleichung l ϕ x a b K x y ϕ y d y 0 displaystyle lambda phi x int a b K x y phi y dy 0 nbsp sowie die inhomogene Gleichung l ϕ x a b K x y ϕ y d y f x displaystyle lambda phi x int a b K x y phi y dy f x nbsp Die Fredholmsche Alternative besagt nun dass fur eine komplexe Zahl 0 l C displaystyle 0 neq lambda in mathbb C nbsp entweder die erste Gleichung eine nichttriviale Losung hat oder die zweite Gleichung eine Losung fur beliebige rechte Seiten f x displaystyle f x nbsp besitzt Eine hinreichende Bedingung damit dieser Satz gilt ist die Quadratintegrierbarkeit von K x y displaystyle K x y nbsp auf dem Rechteck a b a b displaystyle a b times a b nbsp wobei a und oder b auch plus oder minus unendlich sein durfen Fredholmsche Alternative BearbeitenAussage Bearbeiten Sei K K X displaystyle K in K X nbsp ein kompakter Operator auf X displaystyle X nbsp und sei l C displaystyle lambda in mathbb C nbsp mit l 0 displaystyle lambda neq 0 nbsp Dann ist T x l x K x displaystyle Tx lambda x Kx nbsp ein Fredholm Operator mit Fredholm Index 0 Die Fredholmsche Alternative lautet nun Entweder haben sowohl die homogene Gleichungl x K x 0 displaystyle lambda x Kx 0 nbsp dd als auch die adjungierte Gleichungl x K x 0 displaystyle lambda x K x 0 nbsp dd nur die triviale Losung Null und somit sind die inhomogenen Gleichungenl x K x y displaystyle lambda x Kx y nbsp dd undl x K x y displaystyle lambda x K x y nbsp dd eindeutig losbar oder die homogene Gleichungl x K x 0 displaystyle lambda x Kx 0 nbsp dd und die adjungierte Gleichungl x K x 0 displaystyle lambda x K x 0 nbsp dd besitzen genau n dim ker l id K lt displaystyle n dim ker lambda operatorname id K lt infty nbsp linear unabhangige Losungen wobei id displaystyle operatorname id nbsp die identische Abbildung bezeichnet und somit ware die inhomogene Gleichungl x K x y displaystyle lambda x Kx y nbsp dd genau dann losbar wenn y ker l id K displaystyle y in ker lambda operatorname id K bot nbsp gilt Im Zusammenhang mit den Integralgleichungen Bearbeiten Beachte dass die Delta Distribution die Identitat der Faltung ist Sei X displaystyle X nbsp ein Banachraum beispielsweise X L 2 a b displaystyle X L 2 a b nbsp und sei T X X displaystyle T colon X to X nbsp ein Fredholm Operator welcher durch T ϕ x a b l d x y ϕ y k x y ϕ y d y l ϕ x a b k x y ϕ y d y displaystyle T phi x int a b lambda delta x y phi y k x y phi y dy lambda phi x int a b k x y phi y dy nbsp definiert ist wobei k L 2 a b displaystyle k in L 2 a b nbsp gelten muss um einen Fredholm Operator zu erhalten Dann ist a b k x y ϕ y d y displaystyle textstyle int a b k x y phi y dy nbsp ein kompakter Operator und man sieht dass diese Aussage die Aussage uber die Fredholmschen Integralgleichungen verallgemeinert Die Fredholmsche Alternative kann man dann wie folgt formulieren Ein l 0 displaystyle lambda neq 0 nbsp ist entweder ein Eigenwert von K displaystyle K nbsp oder es liegt in der Resolventenmenge r K l C l id K beschrankt invertierbar displaystyle rho K lambda in mathbb C lambda operatorname id K text beschrankt invertierbar nbsp Literatur BearbeitenPaul Monnig Die praktische Auflosung der fredholm schen Integralgleichung mit symmetrischem Produktkern Braunschweig 1947 Reihe Veroffentlichungen d Math Inst d Techn Hochsch Braunschweg 1947 4 nicht in DNB nachgewiesen Dirk Werner Funktionalanalysis Springer Verlag Berlin ISBN 978 3 540 72533 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fredholmsche Alternative amp oldid 238304547
