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Formfaktor Physik In der Kern und Teilchenphysik ist der Formfaktor F displaystyle F ein Faktor im Wirkungsquerschnitt b

Formfaktor (Physik)

In der Kern- und Teilchenphysik ist der Formfaktor ein Faktor im Wirkungsquerschnitt bei elastischen Stößen. Der Formfaktor hängt vom übertragenen Impuls ab, sollte also eigentlich als Formfunktion bezeichnet werden.

Der Formfaktor ist die Fourier-Transformierte der elektrischen Ladungsverteilung des Targets (z. B. Atomkerns). Das Betragsquadrat des Formfaktors ist der Quotient aus dem realen Wert des Wirkungsquerschnitts und demjenigen Wert, der sich ergeben würde, wenn das Targetteilchens (Streuzentrum) eine punktförmige Ladung wäre. Durch Messung des Wirkungsquerschnitts kann man auf den Formfaktor und dadurch auf die Ladungsverteilung des Targets rückschließen.

Bei tief inelastischer Streuung treten an der Stelle des Formfaktors die Strukturfunktionen auf.

Bei Streuung bzw. Beugung an einem Kristallgitter tritt an Stelle des Formfaktors der Strukturfaktor auf.

Formfaktor bei der Rutherford-Streuung Bearbeiten

Die Rutherfordsche Streuformel, die nur für die Streuung eines Teilchens an einer Punktladung (Coulombpotential) gilt, lässt sich für ausgedehnte Ladungsverteilungen erweitern. Der differentielle Wirkungsquerschnitt sieht dann wie folgt aus

wobei der Formfaktor der Ladungsverteilung ist. Er hängt ab vom Impulsübertrag des einfallenden Teilchens

und enthält alle Informationen über die räumliche Verteilung der Ladung im Streuzentrum. So kann man die Messung des Wirkungsquerschnittes bestimmter Streuprozesse in Abhängigkeit vom Impulsübertrag nutzen, um durch anschließenden Vergleich mit theoretischen Modellen Aussagen über die Form des Streupotentials zu machen.

In der Bornschen Näherung (d. h. das Potential der Wechselwirkung ist so schwach, dass Anfangs- und Endzustand näherungsweise als ebene Wellen behandelt werden können) ergibt sich der Formfaktor als Fourier-Transformierte der auf die Gesamtladung normierten Ladungsverteilungsfunktion :

Die Ladungsverteilungsfunktion ist definiert als:

wobei

sie genügt der Normierungsbedingung

Oft hat man nur eine radiale Abhängigkeit, so dass man nicht sondern angibt, denn hat keine Richtungsabhängigkeit. Integriert man über die Winkelabhängigkeit, ergibt sich für den sphärisch symmetrischen Formfaktor

Der Formfaktor enthält die Information über die Ladungsverteilung und damit über die interessierende Ladungsdichte . Er wird experimentell über die Messung von Wirkungsquerschnitten ermittelt und daraus die Ladungsverteilung bzw. Ladungsdichte errechnet. Als Ergebnis erhält man für schwerere Kerne eine Ladungsverteilung, die im inneren Bereich nahezu konstant ist und außen über einen Bereich von 2,4 fm abfällt. Bei leichten Kernen wie 4He, 6Li oder 9Be kann es noch nicht zur Ausbildung einer konstanten Ladungsdichte im Kerninneren kommen, hier beobachtet man eine gaußförmige Ladungsverteilung.

Formfaktoren der Nukleonen Bearbeiten

Bei der Ermittlung von Formfaktoren der Nukleonen sind wesentlich kleinere Strukturen aufzulösen. Dazu benötigt man eine kleinere De-Broglie-Wellenlänge und somit entsprechend höhere Energien, so dass wegen nicht mehr gültiger Näherungen präzisere Rechnungen erforderlich sind. Außerdem ist die Behandlung im Gegensatz zum Abschnitt Rutherford-Streuung nun relativistisch mit Vierervektoren statt Vektoren. Zudem treten hier mit und bezeichnete elektrische und magnetische Formfaktoren auf. Für den differentiellen Wirkungsquerschnitt erhält man die auf M. N. Rosenbluth zurückgehende Rosenbluth-Formel:

mit:

Hat man den Wirkungsquerschnitt bei festem für mehrere Streuwinkel gemessen, so macht man einen Rosenbluth-Plot, bei dem auf der -Achse und auf der -Achse aufgetragen werden. Die Rosenbluth-Formel ist dann von der linearen Form

wobei sich aus der Steigung und dem Achsenabschnitt die magnetischen und elektrischen Formfaktoren berechnen lassen:

und

Die experimentellen Befunde zeigen für beide Formfaktoren einen exponentiellen Abfall, was weder zu einem punktförmigen Teilchen noch zu einer homogenen Kugel passt. Man erhält damit einen Hinweis auf eine komplexere innere Struktur der Nukleonen.

Eine gute Übereinstimmung mit den experimentellen Daten liefert das erweiterte Vektor-Meson-Modell. Hierbei wird die Wechselwirkung sowohl als direkte Elektron-Nukleon-Wechselwirkung als auch über Vektormesonen beschrieben.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Bogdan Povh, Klaus Rith, Christoph Scholz, Frank Zetsche: Teilchen und Kerne, 8. Auflage, Springer Verlag 2009, Kapitel 5.4: Formfaktoren der Kerne
  2. M. N. Rosenbluth: High Energy Elastic Scattering of Electrons on Protons, Phys. Rev. (1950), Band 79, Seite 615
  3. Bogdan Povh, Klaus Rith, Christoph Scholz, Frank Zetsche: Teilchen und Kerne, 8. Auflage, Springer Verlag 2009, Kapitel 6.1: Formfaktoren des Nukleons, insbes. Seite 81
  4. K. Watanabe, H. Takahashi: Vector dominance model and Gari-Kruempelmann formula for the nucleon electromagnetic form factor. In: Physical Review, D (Particles Fields); (United States). Band 51:3, 1. Februar 1995, ISSN 0556-2821, doi:10.1103/PhysRevD.51.1423 (osti.gov [abgerufen am 27. Januar 2021]).
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In der Kern und Teilchenphysik ist der Formfaktor F displaystyle F ein Faktor im Wirkungsquerschnitt bei elastischen Stossen Der Formfaktor hangt vom ubertragenen Impuls ab sollte also eigentlich als Formfunktion bezeichnet werden Der Formfaktor ist die Fourier Transformierte der elektrischen Ladungsverteilung des Targets z B Atomkerns Das Betragsquadrat des Formfaktors ist der Quotient aus dem realen Wert des Wirkungsquerschnitts und demjenigen Wert der sich ergeben wurde wenn das Targetteilchens Streuzentrum eine punktformige Ladung ware Durch Messung des Wirkungsquerschnitts kann man auf den Formfaktor und dadurch auf die Ladungsverteilung des Targets ruckschliessen Bei tief inelastischer Streuung treten an der Stelle des Formfaktors die Strukturfunktionen auf Bei Streuung bzw Beugung an einem Kristallgitter tritt an Stelle des Formfaktors der Strukturfaktor auf Formfaktor bei der Rutherford Streuung BearbeitenDie Rutherfordsche Streuformel die nur fur die Streuung eines Teilchens 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hbar qr hbar r 2 f r nbsp Der Formfaktor F displaystyle F nbsp enthalt die Information uber die Ladungsverteilung f displaystyle f nbsp und damit uber die interessierende Ladungsdichte r displaystyle rho nbsp Er wird experimentell uber die Messung von Wirkungsquerschnitten ermittelt und daraus die Ladungsverteilung bzw Ladungsdichte errechnet Als Ergebnis erhalt man fur schwerere Kerne eine Ladungsverteilung die im inneren Bereich nahezu konstant ist und aussen uber einen Bereich von 2 4 fm abfallt Bei leichten Kernen wie 4He 6Li oder 9Be kann es noch nicht zur Ausbildung einer konstanten Ladungsdichte im Kerninneren kommen hier beobachtet man eine gaussformige Ladungsverteilung 1 Formfaktoren der Nukleonen BearbeitenBei der Ermittlung von Formfaktoren der Nukleonen sind wesentlich kleinere Strukturen aufzulosen Dazu benotigt man eine kleinere De Broglie Wellenlange und somit entsprechend hohere Energien so dass wegen nicht mehr gultiger Naherungen prazisere Rechnungen erforderlich sind Ausserdem ist die Behandlung im Gegensatz zum Abschnitt Rutherford Streuung nun relativistisch mit Vierervektoren statt Vektoren Zudem treten hier mit G E displaystyle G E nbsp und G M displaystyle G M nbsp bezeichnete elektrische und magnetische Formfaktoren auf Fur den differentiellen Wirkungsquerschnitt erhalt man die auf M N Rosenbluth zuruckgehende Rosenbluth Formel 2 d s d W d s d W Mott G E 2 Q 2 t G M 2 Q 2 1 t 2 t G M 2 Q 2 tan 2 8 2 displaystyle frac mathrm d sigma mathrm d Omega left frac mathrm d sigma mathrm d Omega right text Mott cdot left frac G E 2 Q 2 tau cdot G M 2 Q 2 1 tau 2 tau cdot G M 2 Q 2 cdot tan 2 theta 2 right nbsp mit d s d W Mott displaystyle left mathrm d sigma mathrm d Omega right text Mott nbsp der Mott Wirkungsquerschnitt Q 2 q 2 displaystyle Q 2 q 2 nbsp das negative Quadrat des ubertragenen Viererimpulses t Q 2 4 M 2 c 2 displaystyle tau Q 2 4M 2 c 2 nbsp die Wahrscheinlichkeit fur einen Spin Flip bei der Streuung 8 displaystyle theta nbsp der Streuwinkel Hat man den Wirkungsquerschnitt bei festem Q 2 displaystyle Q 2 nbsp fur mehrere Streuwinkel gemessen so macht man einen Rosenbluth Plot bei dem tan 2 8 2 displaystyle tan 2 theta 2 nbsp auf der x displaystyle x nbsp Achse und d s d W d s d W Mott displaystyle d sigma d Omega left mathrm d sigma mathrm d Omega right text Mott nbsp auf der y displaystyle y nbsp Achse aufgetragen werden Die Rosenbluth Formel ist dann von der linearen Form y x A x B displaystyle y x A cdot x B nbsp wobei sich aus der Steigung A 2 t G M 2 Q 2 displaystyle A 2 tau cdot G M 2 Q 2 nbsp und dem Achsenabschnitt B G E 2 Q 2 t G M 2 Q 2 1 t displaystyle B frac G E 2 Q 2 tau cdot G M 2 Q 2 1 tau nbsp die magnetischen und elektrischen Formfaktoren berechnen lassen G M Q 2 A 2 t displaystyle Rightarrow G M Q 2 sqrt frac A 2 tau nbsp und G E Q 2 B 1 t A 2 displaystyle Rightarrow G E Q 2 sqrt B 1 tau frac A 2 nbsp Die experimentellen Befunde zeigen fur beide Formfaktoren einen exponentiellen Abfall was weder zu einem punktformigen Teilchen noch zu einer homogenen Kugel passt Man erhalt damit einen Hinweis auf eine komplexere innere Struktur der Nukleonen 3 Eine gute Ubereinstimmung mit den experimentellen Daten liefert das erweiterte Vektor Meson Modell Hierbei wird die Wechselwirkung sowohl als direkte Elektron Nukleon Wechselwirkung als auch uber Vektormesonen beschrieben 4 Einzelnachweise Bearbeiten Bogdan Povh Klaus Rith Christoph Scholz Frank Zetsche Teilchen und Kerne 8 Auflage Springer Verlag 2009 Kapitel 5 4 Formfaktoren der Kerne M N Rosenbluth High Energy Elastic Scattering of Electrons on Protons Phys Rev 1950 Band 79 Seite 615 Bogdan Povh Klaus Rith Christoph Scholz Frank Zetsche Teilchen und Kerne 8 Auflage Springer Verlag 2009 Kapitel 6 1 Formfaktoren des Nukleons insbes Seite 81 K Watanabe H Takahashi Vector dominance model and Gari Kruempelmann formula for the nucleon electromagnetic form factor In Physical Review D Particles Fields United States Band 51 3 1 Februar 1995 ISSN 0556 2821 doi 10 1103 PhysRevD 51 1423 osti gov abgerufen am 27 Januar 2021 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Formfaktor Physik amp oldid 234525344