Der weierstrasssche Divisionssatz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionentheorie mehrerer Veranderlicher Der Satz erlaubt eine Division mit Rest bezuglich eines Weierstrass Polynoms Inhaltsverzeichnis 1 Einfuhrung und Formulierung des Satzes 2 Beweisidee 3 Der Fall n 1 4 Variante fur regulare Potenzreihen 5 Beziehung zum Vorbereitungssatz 6 Bedeutung 7 Variante fur Funktionen 8 EinzelnachweiseEinfuhrung und Formulierung des Satzes BearbeitenEs bezeichne n O displaystyle n mathcal O nbsp den Ring der konvergenten Potenzreihen um 0 Jedes f n 1 O displaystyle f in n 1 mathcal O nbsp kann mittels der Festlegung f z 1 z n f z 1 z n 1 displaystyle f z 1 ldots z n f z 1 ldots z n 1 nbsp als Element von n O displaystyle n mathcal O nbsp aufgefasst werden Insbesondere ist der Polynomring n 1 O z n displaystyle n 1 mathcal O z n nbsp in n O displaystyle n mathcal O nbsp enthalten Daher kann man vom Polynomgrad sprechen Das gilt insbesondere fur Weierstrass Polynome das heisst Polynome der Form z n m a m 1 z 1 z n 1 z n m 1 a 1 z 1 z n 1 z n a 0 z 1 z n 1 displaystyle z n m a m 1 z 1 ldots z n 1 cdot z n m 1 ldots a 1 z 1 ldots z n 1 cdot z n a 0 z 1 ldots z n 1 nbsp mit konvergenten Potenzreihen a 0 a 1 a m 1 a m n 1 O displaystyle a 0 a 1 ldots a m 1 a m in n 1 mathcal O nbsp die in 0 C n 1 displaystyle 0 in mathbb C n 1 nbsp verschwinden Mit diesen Begriffen gilt der folgende sogenannte weierstrasssche Divisionssatz 1 Es sei h n 1 O z n displaystyle h in n 1 mathcal O z n nbsp ein Weierstrass Polynom vom Grad k 0 displaystyle k geq 0 nbsp Dann hat jedes f n O displaystyle f in n mathcal O nbsp eine eindeutige Darstellung alsf g h r displaystyle f g cdot h r nbsp mit g n O displaystyle g in n mathcal O nbsp r n 1 O z n displaystyle r in n 1 mathcal O z n nbsp g r a d r lt k displaystyle mathrm grad r lt k nbsp Ist f n 1 O z n displaystyle f in n 1 mathcal O z n nbsp so ist auch g n 1 O z n displaystyle g in n 1 mathcal O z n nbsp Beweisidee BearbeitenDie Potenzreihen f displaystyle f nbsp und h displaystyle h nbsp konvergieren beide auf einem geeigneten Polykreis D 0 r 1 r n displaystyle Delta 0 r 1 ldots r n nbsp Da h displaystyle h nbsp ein Weierstrass Polynom ist kann man 0 lt d j lt r j displaystyle 0 lt delta j lt r j nbsp finden so dass h z 1 z n 0 displaystyle h z 1 ldots z n not 0 nbsp fur alle z 1 lt d 1 z n 1 lt d n 1 displaystyle z 1 lt delta 1 ldots z n 1 lt delta n 1 nbsp und z n d n displaystyle z n delta n nbsp Auf D 0 d 1 d n displaystyle Delta 0 delta 1 ldots delta n nbsp definiert man dann die Funktionen g z 1 z n 1 2 p i z d n f z 1 z n 1 z h z 1 z n 1 z 1 z z n d z displaystyle g z 1 ldots z n frac 1 2 pi mathrm i int zeta delta n frac f z 1 ldots z n 1 zeta h z 1 ldots z n 1 zeta cdot frac 1 zeta z n mathrm d zeta nbsp r z 1 z n f z 1 z n g z 1 z n h z 1 z n displaystyle r z 1 ldots z n f z 1 ldots z n g z 1 ldots z n cdot h z 1 ldots z n nbsp von denen man dann zeigen kann dass sie die behauptete eindeutige Darstellung liefern Der Fall n 1 BearbeitenFur n 1 displaystyle n 1 nbsp ist das Weierstrass Polynom h displaystyle h nbsp notwendig das normierte Monom z 1 k displaystyle z 1 k nbsp und fur jedes f z 1 j 0 a j z 1 j displaystyle textstyle f z 1 sum j 0 infty a j z 1 j nbsp erhalt man die einfache Beziehung f z 1 j k a j z 1 j j 0 k 1 a j z 1 j j 0 a j k z 1 j z 1 k j 0 k 1 a j z 1 j displaystyle f z 1 sum j k infty a j z 1 j sum j 0 k 1 a j z 1 j sum j 0 infty a j k z 1 j cdot z 1 k sum j 0 k 1 a j z 1 j nbsp Daher ist obiger Satz erst fur n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp nicht trivial Variante fur regulare Potenzreihen BearbeitenEine Potenzreihe h n O displaystyle h in n mathcal O nbsp heisst in z n displaystyle z n nbsp regular von der Ordnung k displaystyle k nbsp falls die holomorphe Funktion z n h 0 0 z n displaystyle z n mapsto h 0 ldots 0 z n nbsp eine Nullstelle der Ordnung k displaystyle k nbsp hat Fur ein Weierstrass Polynome des Grades k displaystyle k nbsp gilt h 0 0 z n z n k displaystyle h 0 ldots 0 z n z n k nbsp das heisst Weierstrass Polynome haben diese Regularitatseigenschaft Daher ist folgende Variante des weierstrassschen Divisionssatzes allgemeiner Es sei h n 1 O z n displaystyle h in n 1 mathcal O z n nbsp in z n displaystyle z n nbsp regular von der Ordnung k 0 displaystyle k geq 0 nbsp Dann hat jedes f n O displaystyle f in n mathcal O nbsp eine eindeutige Darstellung alsf g h r displaystyle f g cdot h r nbsp mit g n O displaystyle g in n mathcal O nbsp r n 1 O z n displaystyle r in n 1 mathcal O z n nbsp g r a d r lt k displaystyle mathrm grad r lt k nbsp Ist f n 1 O z n displaystyle f in n 1 mathcal O z n nbsp so ist auch g n 1 O z n displaystyle g in n 1 mathcal O z n nbsp Das folgt leicht aus der oben gegebenen Version denn nach dem weierstrassschen Vorbereitungssatz kann man h u h 0 displaystyle h uh 0 nbsp mit einer Einheit u n O displaystyle u in n mathcal O nbsp und einem Weierstrass Polynom h 0 n 1 O z n displaystyle h 0 in n 1 mathcal O z n nbsp schreiben Nach obiger Version des Divisionssatzes gibt es eindeutig bestimmte g n O displaystyle g in n mathcal O nbsp r n 1 O z n displaystyle r in n 1 mathcal O z n nbsp g r a d r lt k displaystyle mathrm grad r lt k nbsp so dass f g h 0 r displaystyle f g cdot h 0 r nbsp Dann ist f g u 1 u h 0 r g u h r displaystyle f g cdot u 1 cdot u cdot h 0 r gu cdot h r nbsp eine Divisionszerlegung der gewunschten Art Beziehung zum Vorbereitungssatz BearbeitenAus der zweiten Version in die ja der Vorbereitungssatz eingeflossen ist kann man letzteren leicht wieder zuruckgewinnen Ist namlich f n O displaystyle f in n mathcal O nbsp regular in z n displaystyle z n nbsp von der Ordnung k displaystyle k nbsp so gibt es nach obigem Satz g n O displaystyle g in n mathcal O nbsp r n 1 O z n displaystyle r in n 1 mathcal O z n nbsp g r a d r lt k displaystyle mathrm grad r lt k nbsp mit z n k g f r displaystyle z n k g cdot f r nbsp Wertet man diese Gleichung in 0 0 z n displaystyle 0 ldots 0 z n nbsp aus so folgt z n k g 0 0 z n f 0 0 z n j 0 k 1 r j 0 0 z n j displaystyle z n k g 0 ldots 0 z n cdot f 0 ldots 0 z n sum j 0 k 1 r j 0 ldots 0 z n j nbsp Also mussen alle r j 0 0 displaystyle r j 0 ldots 0 nbsp verschwinden und g displaystyle g nbsp muss zur Erhaltung der Nullstellenordnung eine Einheit sein Daher ist f g 1 z n k r displaystyle f g 1 cdot z n k r nbsp ein Produkt aus einer Einheit und einem Weierstrass Polynom was die Herleitung des weierstrassschen Vorbereitungssatzes aus obiger Version des Divisionssatzes beendet 2 Bedeutung BearbeitenDer weierstrasssche Divisionssatz ermoglicht zusammen mit dem weierstrassschen Vorbereitungssatz den Beweis wichtiger Eigenschaften der lokalen Integritatsringe n O displaystyle n mathcal O nbsp n O displaystyle n mathcal O nbsp ist ein faktorieller Ring 3 n O displaystyle n mathcal O nbsp ist ein noetherscher Ring Ruckertscher Basissatz 4 5 Jeder endlich erzeugte n O displaystyle n mathcal O nbsp Modul besitzt eine freie Auflosung der Lange n displaystyle leq n nbsp Hilbertscher Syzygiensatz 6 Variante fur Funktionen BearbeitenDie bisherigen Versionen des Divisionssatzes behandeln konvergente Potenzreihen um 0 das heisst Keime holomorpher Funktionen um 0 Im Folgenden soll eine Variante fur Funktionen vorgestellt werden die in Umgebungen eines festen kompakten Polykreises K D 0 r 1 r n C n displaystyle K overline Delta 0 r 1 ldots r n subset mathbb C n nbsp definiert sind wobei D displaystyle overline Delta nbsp fur den Abschluss des Polykreises steht n O K displaystyle n mathcal O K nbsp bezeichne den Ring der Keime holomorpher Funktionen um K displaystyle K nbsp das heisst die Menge aller in einer offenen Umgebung von K displaystyle K nbsp definierten holomorphen Funktionen wobei zwei solche Funktionen identifiziert werden wenn sie auf einer gemeinsamen offenen Umgebung von K displaystyle K nbsp ubereinstimmen Da K displaystyle K nbsp nicht leeres Inneres hat ist jedes f n O K displaystyle f in n mathcal O K nbsp wegen des Identitatsatzes schon durch seine Werte auf K displaystyle K nbsp bestimmt das heisst man hat es mit echten Funktionen zu tun und f K sup f z z K displaystyle f K sup f z z in K nbsp definiert eine Norm auf n O K displaystyle n mathcal O K nbsp Um dieselbe Beweisidee wie oben verwenden zu konnen muss der erste Teil dieser Beweisidee in die Voraussetzungen des Satzes aufgenommen werden Das erklart die nachfolgende Formulierung 7 Es sei K D 0 r 1 r n C n displaystyle K overline Delta 0 r 1 ldots r n subset mathbb C n nbsp ein kompakter Polykreis K D 0 r 1 r n 1 C n 1 displaystyle K overline Delta 0 r 1 ldots r n 1 subset mathbb C n 1 nbsp Sei weiter h n O K displaystyle h in n mathcal O K nbsp derart dass der Funktionskeim von h displaystyle h nbsp in 0 ein Weierstrass Polynom vom Grad k displaystyle k nbsp bzgl z n displaystyle z n nbsp ist und fur jedes a 1 a n 1 K displaystyle a 1 ldots a n 1 in K nbsp samtliche k displaystyle k nbsp Losungen von h a 1 a n 1 z n 0 displaystyle h a 1 ldots a n 1 z n 0 nbsp die Bedingung z n lt r n displaystyle z n lt r n nbsp erfullen Dann gibt es eine Konstante C gt 0 displaystyle C gt 0 nbsp so dass Folgendes gilt Jedes f n O K displaystyle f in n mathcal O K nbsp hat eine eindeutige Darstellung f g h r displaystyle f g cdot h r nbsp mit g n O K displaystyle g in n mathcal O K nbsp g K C f K displaystyle g K leq C f K nbsp und r z 1 z n j 0 k 1 r j z 1 z n 1 z n j displaystyle r z 1 ldots z n sum j 0 k 1 r j z 1 ldots z n 1 z n j nbsp r j n 1 O K displaystyle r j in n 1 mathcal O K nbsp r j K C f K displaystyle r j K leq C f K nbsp Wie bereits erwahnt funktioniert die oben vorgestellte Beweisidee Zusatzliche Arbeit entsteht fur die Ermittlung der nur von K displaystyle K nbsp und h displaystyle h nbsp abhangigen Konstanten C displaystyle C nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Gunning Rossi Analytic functions of several complex variables Prentice Hall 1965 Kap II B Theorem 3 Weierstrass Division Theorem Behnke Thullen Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veranderlicher Springer Verlag 1970 ISBN 3 642 62005 1 S 104 Anhang zu Kap V 1 Der Vorbereitungssatz Gunning Rossi Analytic functions of several complex variables Prentice Hall 1965 Kap II B Theorem 7 Jorg Eschmeier Funktionentheorie mehrerer Veranderlicher Springer Verlag 2017 ISBN 978 3 662 55541 5 Korollar 4 20 Gunning Rossi Analytic functions of several complex variables Prentice Hall 1965 Kap II B Theorem 9 Gunning Rossi Analytic functions of several complex variables Prentice Hall 1965 Kap II C Theorem 2 Gunning Rossi Analytic functions of several complex variables Prentice Hall 1965 Kap II D Theorem 1 Extended Weierstrass Division Theorem Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Divisionssatz von Weierstrass amp oldid 194545708
