Weierstraß Polynom Der mathematische Begriff des s benannt nach Karl Weierstraß tritt in der Funktionentheorie mehrerer

Weierstraß-Polynom

Der mathematische Begriff des Weierstraß-Polynoms, benannt nach Karl Weierstraß, tritt in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher auf. Es handelt sich um holomorphe Funktionen bzw. Funktionskeime in einem Punkt, die bezüglich einer der Variablen ein normiertes Polynom mit Koeffizienten aus dem Ring der holomorphen Funktionen in den anderen Variablen ist, so dass die Koeffizienten in diesem Punkt ebenfalls verschwinden.

Definitionen Bearbeiten

Es sei der Ring der konvergenten Potenzreihen in . Dieser Ring ist isomorph zum Ring der Funktionskeime holomorpher Funktionen in 0, weshalb diese Begriffsbildung auch für Keime durchgeführt werden kann. Durch die injektive Abbildung

fasst man als Unterring von auf. Das heißt, wird dadurch zu einem Element aus , dass man bei einer Auswertung in den Variable die letzte Variable einfach ignoriert.

Die Variable ist selbst ein Polynom und daher ein Element aus . Adjungiert man zum Unterring , so erhält man den Polynomring mit Koeffizienten aus , und man hat die Inklusionen

Jedes Element aus hat eine eindeutige Darstellung

mit konvergenten Potenzreihen .

Ein solches Element heißt Weierstraß-Polynom, falls

ist die konstante Einsfunktion, das heißt, ist ein normiertes Polynom über , und
für alle .

Beispiele Bearbeiten

Für Funktionen einer Variablen ist ein Weierstraß-Polynom nichts weiter als ein normiertes Monom, also von der Form .

Das Polynom ist kein Weierstraß-Polynom, da es nicht normiert ist.

Das Polynom ist ebenfalls kein Weierstraß-Polynom, da der Koeffizient von nicht in 0 verschwindet.

Das Polynom ist ein Weierstraß-Polynom.

Bemerkung Bearbeiten

Weierstraß-Polynome spielen eine wichtige Rolle in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher, da sie eine Art Division mit Rest erlauben, wie sie im Divisionssatz von Weierstraß vorkommt. Die irreduziblen Elemente im Ring sind im Wesentlichen die im Polynomring irreduziblen Weierstraß-Polynome.

Siehe auch Bearbeiten

Weierstraßscher Vorbereitungssatz

Einzelnachweise Bearbeiten

Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall, 1965, Kap. II .B, Definition 1.
Jörg Eschmeier: Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher. Springer-Verlag, 2017, ISBN 978-3-662-55541-5, Definition 4.18.
Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall, 1965, Kap. II.B, Theorem 7.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 24, 2023, 16:52 pm

Der mathematische Begriff des Weierstrass Polynoms benannt nach Karl Weierstrass tritt in der Funktionentheorie mehrerer Veranderlicher auf Es handelt sich um holomorphe Funktionen bzw Funktionskeime in einem Punkt die bezuglich einer der Variablen ein normiertes Polynom mit Koeffizienten aus dem Ring der holomorphen Funktionen in den anderen Variablen ist so dass die Koeffizienten in diesem Punkt ebenfalls verschwinden Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Beispiele 3 Bemerkung 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenEs sei n O displaystyle n mathcal O nbsp der Ring der konvergenten Potenzreihen in 0 C n displaystyle 0 in mathbb C n nbsp Dieser Ring ist isomorph zum Ring der Funktionskeime holomorpher Funktionen in 0 weshalb diese Begriffsbildung auch fur Keime durchgefuhrt werden kann Durch die injektive Abbildung n 1 O n O f f f z 1 z n f z 1 z n 1 displaystyle n 1 mathcal O rightarrow n mathcal O quad f mapsto tilde f quad tilde f z 1 ldots z n f z 1 ldots z n 1 nbsp fasst man n 1 O displaystyle n 1 mathcal O nbsp als Unterring von n O displaystyle n mathcal O nbsp auf Das heisst f n 1 O displaystyle f in n 1 mathcal O nbsp wird dadurch zu einem Element aus n O displaystyle n mathcal O nbsp dass man bei einer Auswertung in den Variable z 1 z n displaystyle z 1 ldots z n nbsp die letzte Variable einfach ignoriert Die Variable z n displaystyle z n nbsp ist selbst ein Polynom und daher ein Element aus n O n 1 O displaystyle n mathcal O setminus n 1 mathcal O nbsp Adjungiert man z n displaystyle z n nbsp zum Unterring n 1 O displaystyle n 1 mathcal O nbsp so erhalt man den Polynomring n 1 O z n displaystyle n 1 mathcal O z n nbsp mit Koeffizienten aus n 1 O displaystyle n 1 mathcal O nbsp und man hat die Inklusionen n 1 O n 1 O z n n O displaystyle n 1 mathcal O subset n 1 mathcal O z n subset n mathcal O nbsp Jedes Element aus f n 1 O z n displaystyle f in n 1 mathcal O z n nbsp hat eine eindeutige Darstellung f z 1 z n a m z 1 z n 1 z n m a m 1 z 1 z n 1 z n m 1 a 1 z 1 z n 1 z n a 0 z 1 z n 1 displaystyle f z 1 ldots z n a m z 1 ldots z n 1 cdot z n m a m 1 z 1 ldots z n 1 cdot z n m 1 ldots a 1 z 1 ldots z n 1 cdot z n a 0 z 1 ldots z n 1 nbsp mit konvergenten Potenzreihen a 0 a 1 a m 1 a m n 1 O displaystyle a 0 a 1 ldots a m 1 a m in n 1 mathcal O nbsp Ein solches Element heisst Weierstrass Polynom falls 1 2 a m displaystyle a m nbsp ist die konstante Einsfunktion das heisst f displaystyle f nbsp ist ein normiertes Polynom uber n 1 O displaystyle n 1 mathcal O nbsp und a k 0 0 0 displaystyle a k 0 ldots 0 0 nbsp fur alle k 0 m 1 displaystyle k 0 ldots m 1 nbsp Beispiele BearbeitenFur Funktionen einer Variablen ist ein Weierstrass Polynom nichts weiter als ein normiertes Monom also von der Form z 1 m displaystyle z 1 m nbsp Das Polynom z 1 z 2 1 O z 2 displaystyle z 1 z 2 in 1 mathcal O z 2 nbsp ist kein Weierstrass Polynom da es nicht normiert ist Das Polynom z 2 3 exp z 1 z 2 z 1 4 1 O z 2 displaystyle z 2 3 exp z 1 z 2 z 1 4 in 1 mathcal O z 2 nbsp ist ebenfalls kein Weierstrass Polynom da der Koeffizient von z 2 displaystyle z 2 nbsp nicht in 0 verschwindet Das Polynom z 2 3 sin z 1 z 2 z 1 4 1 O z 2 displaystyle z 2 3 sin z 1 z 2 z 1 4 in 1 mathcal O z 2 nbsp ist ein Weierstrass Polynom Bemerkung BearbeitenWeierstrass Polynome spielen eine wichtige Rolle in der Funktionentheorie mehrerer Veranderlicher da sie eine Art Division mit Rest erlauben wie sie im Divisionssatz von Weierstrass vorkommt Die irreduziblen Elemente im Ring n O displaystyle n mathcal O nbsp sind im Wesentlichen die im Polynomring n 1 O z n displaystyle n 1 mathcal O z n nbsp irreduziblen Weierstrass Polynome 3 Siehe auch BearbeitenWeierstrassscher VorbereitungssatzEinzelnachweise Bearbeiten Gunning Rossi Analytic functions of several complex variables Prentice Hall 1965 Kap II B Definition 1 Jorg Eschmeier Funktionentheorie mehrerer Veranderlicher Springer Verlag 2017 ISBN 978 3 662 55541 5 Definition 4 18 Gunning Rossi Analytic functions of several complex variables Prentice Hall 1965 Kap II B Theorem 7 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Weierstrass Polynom amp oldid 204405279